第2课时 集合的表示
【课程标准要求】 1.掌握集合的常用表示方式——列举法、描述法,发展数学抽象的
核心素养.2.掌握直观地表示集合的方法——Venn图法.3.理解两个集合相等的概念并能应用.4.了解集合的分类.
1.集合的表示方式
(1)列举法.
将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关.
[思考1]{0,1}与{(0,1)}是相同的集合吗
【提示】 {0,1}是数集,而{(0,1)}是点集,它们是不同的集合.
[做一做1] 直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( )
[A]{0,1} [B]{(0,1)}
[C]{-,0} [D]{(-,0)}
【答案】 B
【解析】 解方程组得故该集合为{(0,1)}.故选B.
(2)描述法.
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.
[思考2] 集合{x|x2-2x+1=0}用列举法表示为{1,1},对吗
【提示】 不对,应表示为{1}.
[做一做2] 设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,那么如何用列举法表示集合A
【解】 因为4∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,
所以A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
(3)Venn图法.
为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为
Venn图.
2.两个集合相等的概念
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等.
[思考3]集合{x|x>3}与{y|y>3},集合A={x|x-1=0}与B={1}都相等吗
【提示】 都相等.
3.集合的分类
一般地,含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集.
我们把不含任何元素的集合称为空集,记作 .
[做一做3] 集合A={x∈Z|-2[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 D
【解析】 因为A={x∈Z|-2探究点一 用列举法表示集合
[例1] 用列举法表示下列集合.
(1)方程2x2-x-1=0的解构成的集合;
(2)由单词“look”的字母构成的集合;
(3)由所有正整数构成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
【解】 (1)方程2x2-x-1=0的解为-,1,所求集合为{-,1}.
(2)单词“look”有三个互不相同的字母,分别为“l”“o”“k”,所求集合为{l,o,k}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
(4)联立方程组解得所求集合为{(1,1)}.
(1)用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例(1)是数集,本例(4)是点集.
(2)使用列举法表示集合时应注意以下几点:
①对于含有有限个元素且个数较少的集合,采用列举法表示较合适;对于元素个数较多的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,在不发生误解的情况下,可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示,如N*={1,2,3,…}.
②“{}”表示“所有”的含义,不能省略;元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;列元素时无顺序,
但要做到不重复、不遗漏.
[针对训练] 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
(2)满足x∈N,y∈N的直线x+y=2上的点的坐标组成的集合D.
【解】 (1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.
(2)由于x∈N,y∈N,因此满足x+y=2的解为或或
所以D={(0,2),(1,1),(2,0)}.
探究点二 用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合.
(1)不等式3x-2≥0的解构成的集合;
(2)偶数集;
(3)在平面直角坐标系中,第一、第三象限内点的集合.
【解】 (1)A={x|3x-2≥0}或A=.
(2)B={x|x=2k,k∈Z}.
(3)第一、第三象限中点(x,y)满足xy>0,于是这个集合可以表示为C={(x,y)|xy>0}.
[变式探究1] 若把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=2k,1≤k≤5且k∈Z}.
[变式探究2] 若把本例(2)换成“奇数集”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=2k+1,k∈Z}.
[变式探究3] 若把本例(2)换成“除以3余1的整数”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=3k+1,k∈Z}.
(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母,则对新字母要说明其含义或指出其取值范围,如本例(2).
探究点三 求集合中参数的取值范围
[例3] 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【解】 ①当k=0时,原方程变为-8x+16=0,
此时x=2,集合A={2}.
②当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,
只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
[变式探究] 若将本例改为“集合A中至少有一个元素,求k的取值范围”,如何求解
【解】 由集合A至少有一个元素可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论.
①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题可知k=0或k=1;
②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足k≠0,且Δ=64-64k>0,解得k≠0且k<1.
综上所述,k的取值范围是{k|k≤1}.
对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是否为零,否则容易漏解.
探究点四 集合相等的应用
[例4] 已知集合A={-1,3},B={x|x2+ax+b=0},若A=B,求实数a,b的值.
【解】 因为A=B,
所以B={x|x2+ax+b=0}={-1,3},
即方程x2+ax+b=0的两个解为-1,3,
所以解得所以实数a,b的值分别为-2,-3.
由集合相等求参数的方法
从集合相等的含义出发,把集合间的关系转化为元素间的关系:一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值;二是利用元素相同,则元素的和与积分别相同建立方程组求参数的值.
提醒:在利用集合相等求出参数的值后注意回代进行检验,判断是否满足集合中元素的互异性.
[针对训练] 设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
【解】 因为集合A,B相等,所以x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去.
②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,
由①知x=0应舍去.
综上可知,x=1,y=0.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.集合A={x||x|<2,x∈Z}用列举法表示正确的是( )
[A]{-2,-1,0,1,2} [B]{-2,-1,1,2}
[C]{-1,0,1} [D]{-1,1}
【答案】 C
【解析】 因为|x|<2,x∈Z,所以-22.(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为( )
[A]{x|x是不大于9的非负奇数}
[B]{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}
[C]{x|x≤9,x∈N*}
[D]{x|0≤x≤9,x∈Z}
【答案】 AB
【解析】 对于A,{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确;
对于B,{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确;
对于C,{x|x≤9,x∈N*}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误;
对于D,{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误.故选AB.
3.若集合P={x∈N|x≤},a=2,则( )
[A]a∈P [B]{a}∈P
[C]{a} P [D]a P
【答案】 D
【解析】 因为x∈N,a=2,所以a P.故选D.
4.若1∈{x,x2+1,2},则实数x的取值为( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 A
【解析】 若x=1,则x2+1=2,不满足集合中元素的互异性,故x≠1; 若x2+1=1,则x=0,满足集合中元素的互异性,所以x=0.故选A.
5.(多选)下列说法正确的是( )
[A]由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
[B]集合{(2,3)}与{(3,2)}是同一个集合
[C]集合{x|y=x2}与集合{y|y=x2}是同一个集合
[D]集合{x|x2+5x+6=0}与集合{-2,-3}是同一个集合
【答案】 AD
【解析】 对于A,根据集合元素的无序性可得{1,2,3},{3,2,1}表示同一个集合,元素有1,2,3,故A正确;对于B,集合{(2,3)}里的元素是点(2,3),集合{(3,2)}里的元素是点(3,2),坐标是有序的,故B错误;对于C,{x|y=x2}=R,而{y|y=x2}={y|y≥0},故两个集合不是同一个集合,故C
错误;对于D,{x|x2+5x+6=0}={-2,-3},故D正确.故选AD.
6.(多选)方程组的解集可表示为( )
[A]{(x,y)|}
[B]{(x,y)|}
[C]{1,2}
[D]{(1,2)}
【答案】 ABD
【解析】 因为方程组的解为
所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,
所以{(x,y)|},{(x,y)|},{(1,2)}均符合题意.故选ABD.
7.(5分)若非空集合M={x|x2-2x+m=0,x∈R}不是单元素集,则其中所有元素之和S= .
【答案】 2
【解析】 由题意可知,集合M有两个元素,设为x1,x2,即M={x1,x2},
则方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2=2,
所以S=x1+x2=2.
8.(5分)已知A={1,a2,3},B={a+2,1,a2-1}.若A=B,则a= .
【答案】 2
【解析】 因为A=B,
所以解得a=2.
9.(12分)下列三个集合:
①A={x|y=x2+1};
②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合
(2)它们各自的含义分别是什么
【解】 (1)它们是互不相同的集合.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,即A=R;
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,即B={y|≥1};
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是抛物线y=x2+1上的点.
10.(13分)已知集合A={a-3,2a-1,a2+1},a∈R.
(1)若-3∈A,求实数a的值.
(2)当a为何值时,集合A的表示不正确
【解】 (1)由题意知,A中的任意一个元素都有等于-3的可能,故需要讨论.
当a-3=-3时,a=0,集合A={-3,-1,1},满足题意;
当2a-1=-3时,a=-1,集合A={-4,-3,2},满足题意;
当a2+1=-3时,方程无解.
综上所述,a=0或a=-1.
(2)若集合中的元素不互异,则集合A的表示不正确.
若 a-3=2a-1,则a=-2;
若a-3=a2+1,则方程无解;
若2a-1=a2+1,则方程无解.
所以满足条件的a的值为-2.
11.(多选)已知集合A={x∈Z|∈Z},则满足A中有8个元素的m的值可能为( )
[A]6 [B]7 [C]8 [D]9
【答案】 AC
【解析】 当m=6时,满足x∈Z,∈Z的x有6,3,2,1,-1,-2,-3,-6,即集合A中有8个元素,符合题意,故A正确;
当m=7时,满足x∈Z,∈Z的x有7,1,-1,-7,即集合A中有4个元素,不符合题意,故B
错误;
当m=8时,满足x∈Z,∈Z的x有8,4,2,1,-1,-2,-4,-8,即集合A中有8个元素,符合题意,故C正确;
当m=9时,满足x∈Z,∈Z的x有9,3,1,-1,-3,-9,即集合A中有6个元素,不符合题意,故D错误.故选AC.
12.(5分)设a∈R,若集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3,则a= .
【答案】 1
【解析】 因为集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3,
所以3∈{-1,a,a2+2},所以a=3或a2+2=3,解得a=3或a=1或a=-1.
当a=3时,a2+2=11>3不符合题意;
当a=-1时,不符合集合中元素的互异性;
当a=1时,集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3.
所以a=1.
13.(15分)已知集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},若A=B,求a2 026+b2 027的值.
【解】 因为A=B,集合B中有一元素为0,所以a=0显然不成立,
故只能b=0,此时A={a,0,1},B={a2,a,0},
故满足解得a=-1.
经检验A=B={-1,0,1},
故a2 026+b2 027=(-1)2 026+02 027=1.
14.(多选)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数. 三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二. 问:物几何 ”现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N*},
B={x|x=5n+3,n∈N*},C={x|x=7n+2,n∈N*},若a同时满足a∈A,a∈B,a∈C,则下列选项中符合题意的整数a为( )
[A]23 [B]68 [C]128 [D]233
【答案】 ACD
【解析】 若a同时满足a∈A,a∈B,a∈C,则a除以3余数为2,除以5余数为3,除以7余数为2,且a为整数.
对于A,易知23÷3=7……2,23÷5=4……3,23÷7=3……2,即A正确;
对于B,易知68÷3=22……2,68÷5=13……3,68÷7=9……5,不符合题意,即B错误;
对于C,易知128÷3=42……2,128÷5=25……3,128÷7=18……2,即C正确;
对于D,易知233÷3=77……2,233÷5=46……3,233÷7=33……2,即D正确.故选ACD.
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课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.集合A={x||x|<2,x∈Z}用列举法表示正确的是( )
[A]{-2,-1,0,1,2} [B]{-2,-1,1,2}
[C]{-1,0,1} [D]{-1,1}
【答案】 C
【解析】 因为|x|<2,x∈Z,所以-22.(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为( )
[A]{x|x是不大于9的非负奇数}
[B]{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}
[C]{x|x≤9,x∈N*}
[D]{x|0≤x≤9,x∈Z}
【答案】 AB
【解析】 对于A,{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确;
对于B,{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确;
对于C,{x|x≤9,x∈N*}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误;
对于D,{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误.故选AB.
3.若集合P={x∈N|x≤},a=2,则( )
[A]a∈P [B]{a}∈P
[C]{a} P [D]a P
【答案】 D
【解析】 因为x∈N,a=2,所以a P.故选D.
4.若1∈{x,x2+1,2},则实数x的取值为( )
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 A
【解析】 若x=1,则x2+1=2,不满足集合中元素的互异性,故x≠1; 若x2+1=1,则x=0,满足集合中元素的互异性,所以x=0.故选A.
5.(多选)下列说法正确的是( )
[A]由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
[B]集合{(2,3)}与{(3,2)}是同一个集合
[C]集合{x|y=x2}与集合{y|y=x2}是同一个集合
[D]集合{x|x2+5x+6=0}与集合{-2,-3}是同一个集合
【答案】 AD
【解析】 对于A,根据集合元素的无序性可得{1,2,3},{3,2,1}表示同一个集合,元素有1,2,3,故A正确;对于B,集合{(2,3)}里的元素是点(2,3),集合{(3,2)}里的元素是点(3,2),坐标是有序的,故B错误;对于C,{x|y=x2}=R,而{y|y=x2}={y|y≥0},故两个集合不是同一个集合,故C
错误;对于D,{x|x2+5x+6=0}={-2,-3},故D正确.故选AD.
6.(多选)方程组的解集可表示为( )
[A]{(x,y)|}
[B]{(x,y)|}
[C]{1,2}
[D]{(1,2)}
【答案】 ABD
【解析】 因为方程组的解为
所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,
所以{(x,y)|},{(x,y)|},{(1,2)}均符合题意.故选ABD.
7.(5分)若非空集合M={x|x2-2x+m=0,x∈R}不是单元素集,则其中所有元素之和S= .
【答案】 2
【解析】 由题意可知,集合M有两个元素,设为x1,x2,即M={x1,x2},
则方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则x1+x2=2,
所以S=x1+x2=2.
8.(5分)已知A={1,a2,3},B={a+2,1,a2-1}.若A=B,则a= .
【答案】 2
【解析】 因为A=B,
所以解得a=2.
9.(12分)下列三个集合:
①A={x|y=x2+1};
②B={y|y=x2+1};
③C={(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合
(2)它们各自的含义分别是什么
【解】 (1)它们是互不相同的集合.
(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,即A=R;
集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,即B={y|≥1};
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是抛物线y=x2+1上的点.
10.(13分)已知集合A={a-3,2a-1,a2+1},a∈R.
(1)若-3∈A,求实数a的值.
(2)当a为何值时,集合A的表示不正确
【解】 (1)由题意知,A中的任意一个元素都有等于-3的可能,故需要讨论.
当a-3=-3时,a=0,集合A={-3,-1,1},满足题意;
当2a-1=-3时,a=-1,集合A={-4,-3,2},满足题意;
当a2+1=-3时,方程无解.
综上所述,a=0或a=-1.
(2)若集合中的元素不互异,则集合A的表示不正确.
若 a-3=2a-1,则a=-2;
若a-3=a2+1,则方程无解;
若2a-1=a2+1,则方程无解.
所以满足条件的a的值为-2.
11.(多选)已知集合A={x∈Z|∈Z},则满足A中有8个元素的m的值可能为( )
[A]6 [B]7 [C]8 [D]9
【答案】 AC
【解析】 当m=6时,满足x∈Z,∈Z的x有6,3,2,1,-1,-2,-3,-6,即集合A中有8个元素,符合题意,故A正确;
当m=7时,满足x∈Z,∈Z的x有7,1,-1,-7,即集合A中有4个元素,不符合题意,故B
错误;
当m=8时,满足x∈Z,∈Z的x有8,4,2,1,-1,-2,-4,-8,即集合A中有8个元素,符合题意,故C正确;
当m=9时,满足x∈Z,∈Z的x有9,3,1,-1,-3,-9,即集合A中有6个元素,不符合题意,故D错误.故选AC.
12.(5分)设a∈R,若集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3,则a= .
【答案】 1
【解析】 因为集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3,
所以3∈{-1,a,a2+2},所以a=3或a2+2=3,解得a=3或a=1或a=-1.
当a=3时,a2+2=11>3不符合题意;
当a=-1时,不符合集合中元素的互异性;
当a=1时,集合S={-1,a,a2+2}中的最大元素为3.
所以a=1.
13.(15分)已知集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},若A=B,求a2 026+b2 027的值.
【解】 因为A=B,集合B中有一元素为0,所以a=0显然不成立,
故只能b=0,此时A={a,0,1},B={a2,a,0},
故满足解得a=-1.
经检验A=B={-1,0,1},
故a2 026+b2 027=(-1)2 026+02 027=1.
14.(多选)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数. 三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二. 问:物几何 ”现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N*},
B={x|x=5n+3,n∈N*},C={x|x=7n+2,n∈N*},若a同时满足a∈A,a∈B,a∈C,则下列选项中符合题意的整数a为( )
[A]23 [B]68 [C]128 [D]233
【答案】 ACD
【解析】 若a同时满足a∈A,a∈B,a∈C,则a除以3余数为2,除以5余数为3,除以7余数为2,且a为整数.
对于A,易知23÷3=7……2,23÷5=4……3,23÷7=3……2,即A正确;
对于B,易知68÷3=22……2,68÷5=13……3,68÷7=9……5,不符合题意,即B错误;
对于C,易知128÷3=42……2,128÷5=25……3,128÷7=18……2,即C正确;
对于D,易知233÷3=77……2,233÷5=46……3,233÷7=33……2,即D正确.故选ACD.
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第2课时 集合的表示
【课程标准要求】
1.掌握集合的常用表示方式——列举法、描述法,发展数学抽象的核心素养.
2.掌握直观地表示集合的方法——Venn图法.3.理解两个集合相等的概念并能应用.4.了解集合的分类.
1.集合的表示方式
(1)列举法.
将集合的元素 出来,并置于 内,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序无关.
[思考1]{0,1}与{(0,1)}是相同的集合吗
一一列举
花括号“{}”
【提示】 {0,1}是数集,而{(0,1)}是点集,它们是不同的集合.
[做一做1] 直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( )
B
(2)描述法.
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成 的形式.
[思考2] 集合{x|x2-2x+1=0}用列举法表示为{1,1},对吗
{x|p(x)}
【提示】 不对,应表示为{1}.
[做一做2] 设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,那么如何用列举法表示集合A
【解】 因为4∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,
所以A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
(3)Venn图法.
为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图.
2.两个集合相等的概念
如果两个集合所含的元素 (即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等.
[思考3]集合{x|x>3}与{y|y>3},集合A={x|x-1=0}与B={1}都相等吗
完全相同
【提示】 都相等.
3.集合的分类
一般地,含有 个元素的集合称为有限集,含有 个元素的集合称为无限集.
我们把不含 元素的集合称为空集,记作 .
有限
无限
任何
[做一做3] 集合A={x∈Z|-2[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
D
【解析】 因为A={x∈Z|-2[例1] 用列举法表示下列集合.
(1)方程2x2-x-1=0的解构成的集合;
探究点一 用列举法表示集合
(2)由单词“look”的字母构成的集合;
【解】 (2)单词“look”有三个互不相同的字母,分别为“l”“o”“k”,所求集合为{l,o,k}.
(3)由所有正整数构成的集合;
【解】 (3)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
·方法总结·
(1)用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例(1)是数集,本例(4)是点集.
(2)使用列举法表示集合时应注意以下几点:
①对于含有有限个元素且个数较少的集合,采用列举法表示较合适;对于元素个数较多的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,在不发生误解的情况下,可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示,如N*={1,2,3,…}.
②“{}”表示“所有”的含义,不能省略;元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;列元素时无顺序,但要做到不重复、不遗漏.
[针对训练] 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;
【解】 (1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.
(2)满足x∈N,y∈N的直线x+y=2上的点的坐标组成的集合D.
探究点二 用描述法表示集合
[例2] 用描述法表示下列集合.
(1)不等式3x-2≥0的解构成的集合;
(2)偶数集;
【解】 (2)B={x|x=2k,k∈Z}.
(3)在平面直角坐标系中,第一、第三象限内点的集合.
【解】 (3)第一、第三象限中点(x,y)满足xy>0,于是这个集合可以表示为C={(x,y)|xy>0}.
[变式探究1] 若把本例(2)换成“{2,4,6,8,10}”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=2k,1≤k≤5且k∈Z}.
[变式探究2] 若把本例(2)换成“奇数集”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=2k+1,k∈Z}.
[变式探究3] 若把本例(2)换成“除以3余1的整数”如何求解
【解】 该集合用描述法表示为B={x|x=3k+1,k∈Z}.
·方法总结·
(1)用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母,则对新字母要说明其含义或指出其取值范围,如本例(2).
[例3] 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
探究点三 求集合中参数的取值范围
【解】 ①当k=0时,原方程变为-8x+16=0,
此时x=2,集合A={2}.
②当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,
只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
[变式探究] 若将本例改为“集合A中至少有一个元素,求k的取值范围”,如何求解
【解】 由集合A至少有一个元素可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论.
①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题可知k=0或k=1;
②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足k≠0,且Δ=64-64k>0,解得k≠0且k<1.
综上所述,k的取值范围是{k|k≤1}.
·方法总结·
对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是否为零,否则容易漏解.
探究点四 集合相等的应用
[例4] 已知集合A={-1,3},B={x|x2+ax+b=0},若A=B,求实数a,b的值.
·方法总结·
由集合相等求参数的方法
从集合相等的含义出发,把集合间的关系转化为元素间的关系:一是利用分类讨论的方法建立方程组求参数的值;二是利用元素相同,则元素的和与积分别相同建立方程组求参数的值.
提醒:在利用集合相等求出参数的值后注意回代进行检验,判断是否满足集合中元素的互异性.
[针对训练] 设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.
【解】 因为集合A,B相等,所以x=0或y=0.
①当x=0时,x2=0,则B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去.
②当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1,
由①知x=0应舍去.
综上可知,x=1,y=0.
