第2课时 补集、全集
【课程标准要求】 1.在具体情境中,了解补集与全集的含义,提升数学抽象的核心素养.
2.能求给定子集的补集,培养数学运算的核心素养.
1.补集
设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为 SA(读作
“A在S中的补集”),即 SA={x|x∈S,且x A},可用图中的阴影部分来表示.
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U.
[思考] 全集是固定不变的吗
【提示】 全集不是固定不变的,是相对于研究的问题而言的,如在整数范围内研究问题,Z是全集,而在实数范围内研究问题,R是全集.只讨论大于0且小于5的实数,{x|0
[做一做] 若全集U=R,集合A={x|x≥1},则 UA= .
【答案】 {x|x<1}
【解析】 由补集的定义,结合数轴可得 UA={x|x<1}.
探究点一 借助定义或Venn图求补集
[例1] (1)已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
(2)已知全集U={x|3≤|x|≤5,x∈Z},若A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则 UA= ,
UB= .
【答案】 (1){2,3,5,7} (2){-5,-4,3,4} {-5,-4,5}
【解析】 (1)法一(定义法)
因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法)
满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},
所以 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
求补集的方法
(1)定义法:当集合中元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:当集合用列举法表示时,可借助Venn图直观地求解.
[针对训练]设全集U={x∈N|-2[A]{1,3} [B]{0,1,3}
[C]{-1,1,3} [D]{-1,0,1,3}
【答案】 A
【解析】 因为U={x∈N|-2所以 UA={1,3}.故选A.
探究点二 借助数轴求补集
[例2] 若集合A={x|-1≤x<1},当S分别取下列集合时,求 SA.
(1)S=R;(2)S={x|x≤2};(3)S={x|-4≤x≤1}.
【解】 (1)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 SA={x|x<-1,或x≥1}.
(2)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图易知 SA={x|x<-1,或1≤x≤2}.
(3)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 SA={x|-4≤x<-1,或x=1}.
借助数轴求补集的策略
当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,需注意端点值的取舍问题.
[针对训练] 已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 UA= .
【答案】 {x|x<-3,或x=5}
【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集定义可得 UA={x|x<-3,或x=5}.
探究点三 利用有限集的补集求参数的取值
[例3] 设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6}, UA={5},求实数m的值.
【解】 因为 UA={5},所以5∈U但5 A,
所以m2-m-1=5,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,|3-2m|=3≠5,
此时U={3,5,6},A={3,6},满足 UA={5};
当m=-2时,|3-2m|=7≠5,
此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意,舍去.
综上,可知m=3.
由有限集的补集求参数取值的策略
如果所给集合是有限集,由补集求参数的取值时,可利用补集定义并结合数学计算求解.
[针对训练] 设U={0,1,2,3},A={x|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m= .
【答案】 -3
【解析】 因为 UA={1,2},所以A={0,3},
所以0,3是方程x2+mx=0的两个根,
所以m=-3.
探究点四 利用无限集的补集求参数的取值范围
[例4] 已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0},若全集U=R,且A UB,则a的取值范围为 .
【答案】 {a|a>-2}
【解析】 UB={x|x因为A UB,所以a>-2.
由无限集的补集求参数取值范围的策略
如果所给集合是无限集,由补集求参数的取值范围时,一般利用数轴分析法求解.
[针对训练] 设全集U=R,集合A={x|x>1},B={x|x<-a},且B UA,则实数a的取值范围是
.
【答案】 {a|a≥-1}
【解析】 如图,因为 UA={x|x≤1},且B UA,
所以-a≤1,所以a≥-1,即实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
学海拾贝
补集思想的应用
“正难则反”策略是补集思想的应用,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A,求A.特别当“正面”情况较多或较复杂时,从结论的“反面”入手是简化问题的一种常用手段,但要注意,从补集入手,必须明确全集是什么.
[典例探究] 若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
【解】 假设集合A含有两个元素,
即方程ax2+3x+2=0有两个不相等的实数根,
则有解得a<且a≠0.
在全集R中,集合{a|a<,且a≠0}的补集是{a|a≥,或a=0},
所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥,或a=0}.
[应用探究] 若集合A={x|x2-x+m=0,x∈R}中至少含有一个元素,则实数m的取值范围是
.
【答案】 {m|m≤}
【解析】 集合A中至少含有一个元素的“反面”是集合A中没有元素,即Δ=1-4m<0,即m>.
因此若集合A中至少含有一个元素,则m≤,
即实数m的取值范围是{m|m≤}.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合U={x|1[A]4∈A [B]6 A
[C]8∈A [D]9 A
【答案】 A
【解析】 因为U={x|1所以A={2,4,6,7,9}.故选A.
2.已知全集U={x|-3[A]{x|-2[B]{x|-3[C]{x|-3[D]{x|-3【答案】 D
【解析】 因为全集U={x|-3所以 UA={x|-33.若全集U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2},则( )
[A]A B [B]B A
[C] UA B [D]B UA
【答案】 D
【解析】 因为U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2},所以集合A不是集合B的子集,集合B不是集合A的子集,又 UA={x|x≥-2},所以B UA.故选D.
4.(多选)如果集合U,S,T,F的关系如图所示,那么下列关系正确的是( )
[A]S T
[B]T US
[C]F US
[D]T UF
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,S是T的子集,故A正确;
T不是 US的子集,故B错误;
F是 US的子集,故C正确;
T不是 UF的子集,故D错误.故选AC.
5.已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且 UA={-1},则a的值是( )
[A]-1 [B]1 [C]3 [D]±1
【答案】 A
【解析】 由题意可知A={1,3}.又a2+2≥2,所以a+2=1且a2+2=3,解得a=-1.故选A.
6.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则图中阴影部分表示的集合为( )
[A]{x|x≥1} [B]{x|x≥2}
[C]{x|1≤x≤2} [D]{x|1≤x<2}
【答案】 D
【解析】 由x-1≥0,得x≥1,则A={x|y=}={x|x≥1}.由x2+2≥2,得B={y|y≥2},则题图中阴影部分表示的集合是 AB={x|1≤x<2}.故选D.
7.(5分)已知集合M={x∈N|x≤6},A={-2,-1,0,1,2},B={y|y=x2,x∈A},则 MB= .
【答案】 {2,3,5,6}
【解析】 由题可知M={0,1,2,3,4,5,6},B={0,1,4},所以 MB={2,3,5,6}.
8.(5分)已知U={-1,2,3,6},集合A U,A={x|x2-5x+m=0}.若 UA={2,3},则m的值为 .
【答案】 -6
【解析】 因为U={-1,2,3,6}, UA={2,3},
所以A={-1,6},又-1+6=5,-1×6=m,
故m=-6.
9.(13分)设集合A={2,3,a+2},B={1-2a,2}.
(1)若 AB={1},求实数a的值;
(2)若B A,求实数a的取值集合.
【解】 (1)由 AB={1}得解得a=-1.
(2)若1-2a=3,解得a=-1,此时A={2,3,1},B={3,2},满足题意;
若1-2a=a+2,解得a=-,此时A={2,3,},B={,2},满足题意.
综上所述,实数a的取值集合为{-1,-}.
10.(14分)已知全集U=R,集合M={x|x<0,或x>4},N={x|m-1≤x≤3m+1}.
(1)若 UN=M,求m的值;
(2)若N M,求m的取值范围.
【解】 (1)由N={x|m-1≤x≤3m+1},
得 UN={x|x3m+1}.
因为 UN=M,M={x|x<0,或x>4},
所以
解得m=1.
(2)当N= M时,m-1>3m+1,
解得m<-1;
当N≠ 时,由N M,
得或
解得-1≤m<-或m>5,
综上,m的取值范围为{m|m<-,或m>5}.
11.(5分)设集合U={-2,,2,3},A={x|2x2-5x+2=0},B={,},若 UA=B,则a+b= .
【答案】 -1
【解析】 因为集合A={x|2x2-5x+2}={x|(2x-1)(x-2)=0},即集合A={,2},
所以 UA={-2,3}={,},
因为≥0,所以=3,即a=1,所以=-2,可得b=-2,
所以a+b=-1.
12.(5分)已知全集U={(x,y)|y=2x-1,x∈R},P={(x,y)|=2},则 UP= .
【答案】 {(1,1)}
【解析】 U={(x,y)|y=2x-1,x∈R},P={(x,y)|y=2x-1,x∈R且x≠1},
当x=1时,y=1,故 UP={(1,1)}.
13.(17分)已知全集U={2,4,6,8,10},A={x∈U|x2-tx+16=0}.
(1)若 UA中有三个元素,求实数t的值;
(2)若 UA中有四个元素,求实数t的值.
【解】 (1)由 UA中有三个元素,知集合A中有两个元素,
即方程x2-tx+16=0有两个不等的实根x1,x2,
则且x1,x2∈U,
则{x1,x2}={2,8},t=2+8=10.
(2)由 UA中有四个元素,知集合A中有且只有一个元素,
则方程x2-tx+16=0有且只有一个实数根x0,
则且x0∈U,
则x0=4,t=8.
14.设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若 UP S,则这样的集合P共有( )
[A]5个 [B]6个 [C]7个 [D]8个
【答案】 D
【解析】 U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为 U( UP)=P,所以存在一个 UP,就有一个相应的P(如当 UP={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2},当 UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等),由于S的子集共有8个,所以集合P也有8个.故选D.
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第2课时 补集、全集
【课程标准要求】
1.在具体情境中,了解补集与全集的含义,提升数学抽象的核心素养.2.能求给定子集的补集,培养数学运算的核心素养.
1.补集
设A S,由S中 A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为 SA(读作“A在S中的补集”),即 SA= ,可用图中的阴影部分来表示.
不属于
{x|x∈S,且x A}
2.全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集,全集通常记作U.
[思考] 全集是固定不变的吗
所有元素
【提示】 全集不是固定不变的,是相对于研究的问题而言的,如在整数范围内研究问题,Z是全集,而在实数范围内研究问题,R是全集.只讨论大于0且小于5的实数,{x|0[做一做] 若全集U=R,集合A={x|x≥1},则 UA= .
{x|x<1}
【解析】 由补集的定义,结合数轴可得 UA={x|x<1}.
探究点一 借助定义或Venn图求补集
[例1] (1)已知全集U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
{2,3,5,7}
【解析】 (1)法一(定义法)
因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法)
满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)已知全集U={x|3≤|x|≤5,x∈Z},若A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},
则 UA= , UB= .
{-5,-4,3,4}
【解析】 (2)在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},
所以 UA={-5,-4,3,4}, UB={-5,-4,5}.
{-5,-4,5}
·方法总结·
求补集的方法
(1)定义法:当集合中元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:当集合用列举法表示时,可借助Venn图直观地求解.
[针对训练]设全集U={x∈N|-2[A]{1,3} [B]{0,1,3}
[C]{-1,1,3} [D]{-1,0,1,3}
A
【解析】 因为U={x∈N|-2所以 UA={1,3}.故选A.
探究点二 借助数轴求补集
[例2] 若集合A={x|-1≤x<1},当S分别取下列集合时,求 SA.
(1)S=R;
【解】 (1)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 SA={x|x<-1,或x≥1}.
(2)S={x|x≤2};
【解】 (2)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图易知 SA={x|x<-1,或1≤x≤2}.
(3)S={x|-4≤x≤1}.
【解】 (3)把集合S和A表示在数轴上,如图所示,
由图知 SA={x|-4≤x<-1,或x=1}.
·方法总结·
借助数轴求补集的策略
当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,需注意端点值的取舍问题.
[针对训练] 已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 UA= .
{x|x<-3,或x=5}
【解析】 将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集定义可得 UA={x|x<-3,或x=5}.
[例3] 设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6}, UA={5},求实数m的值.
探究点三 利用有限集的补集求参数的取值
【解】 因为 UA={5},所以5∈U但5 A,所以m2-m-1=5,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,|3-2m|=3≠5,
此时U={3,5,6},A={3,6},满足 UA={5};
当m=-2时,|3-2m|=7≠5,此时U={3,5,6},A={6,7},不符合题意,舍去.
综上,可知m=3.
·方法总结·
由有限集的补集求参数取值的策略
如果所给集合是有限集,由补集求参数的取值时,可利用补集定义并结合数学计算求解.
[针对训练] 设U={0,1,2,3},A={x|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m= .
-3
【解析】 因为 UA={1,2},所以A={0,3},
所以0,3是方程x2+mx=0的两个根,
所以m=-3.
探究点四 利用无限集的补集求参数的取值范围
[例4] 已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0},若全集U=R,且A UB,则a的取值范围为 .
{a|a>-2}
【解析】 UB={x|x因为A UB,所以a>-2.
·方法总结·
由无限集的补集求参数取值范围的策略
如果所给集合是无限集,由补集求参数的取值范围时,一般利用数轴分析法求解.
[针对训练] 设全集U=R,集合A={x|x>1},B={x|x<-a},且B UA,则实数a的取值范围是 .
{a|a≥-1}
【解析】 如图,因为 UA={x|x≤1},且B UA,
所以-a≤1,所以a≥-1,即实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
补集思想的应用
“正难则反”策略是补集思想的应用,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求 UA,再由 U( UA)=A,求A.特别当“正面”情况较多或较复杂时,从结论的“反面”入手是简化问题的一种常用手段,但要注意,从补集入手,必须明确全集是什么.
『学海拾贝』
[典例探究] 若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
[应用探究] 若集合A={x|x2-x+m=0,x∈R}中至少含有一个元素,则实数m的
取值范围是 . 第2课时 补集、全集
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合U={x|1[A]4∈A [B]6 A
[C]8∈A [D]9 A
【答案】 A
【解析】 因为U={x|1所以A={2,4,6,7,9}.故选A.
2.已知全集U={x|-3[A]{x|-2[B]{x|-3[C]{x|-3[D]{x|-3【答案】 D
【解析】 因为全集U={x|-3所以 UA={x|-33.若全集U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2},则( )
[A]A B [B]B A
[C] UA B [D]B UA
【答案】 D
【解析】 因为U=R,A={x|x<-2},B={x|x>2},所以集合A不是集合B的子集,集合B不是集合A的子集,又 UA={x|x≥-2},所以B UA.故选D.
4.(多选)如果集合U,S,T,F的关系如图所示,那么下列关系正确的是( )
[A]S T
[B]T US
[C]F US
[D]T UF
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,S是T的子集,故A正确;
T不是 US的子集,故B错误;
F是 US的子集,故C正确;
T不是 UF的子集,故D错误.故选AC.
5.已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且 UA={-1},则a的值是( )
[A]-1 [B]1 [C]3 [D]±1
【答案】 A
【解析】 由题意可知A={1,3}.又a2+2≥2,所以a+2=1且a2+2=3,解得a=-1.故选A.
6.已知集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则图中阴影部分表示的集合为( )
[A]{x|x≥1} [B]{x|x≥2}
[C]{x|1≤x≤2} [D]{x|1≤x<2}
【答案】 D
【解析】 由x-1≥0,得x≥1,则A={x|y=}={x|x≥1}.由x2+2≥2,得B={y|y≥2},则题图中阴影部分表示的集合是 AB={x|1≤x<2}.故选D.
7.(5分)已知集合M={x∈N|x≤6},A={-2,-1,0,1,2},B={y|y=x2,x∈A},则 MB= .
【答案】 {2,3,5,6}
【解析】 由题可知M={0,1,2,3,4,5,6},B={0,1,4},所以 MB={2,3,5,6}.
8.(5分)已知U={-1,2,3,6},集合A U,A={x|x2-5x+m=0}.若 UA={2,3},则m的值为 .
【答案】 -6
【解析】 因为U={-1,2,3,6}, UA={2,3},
所以A={-1,6},又-1+6=5,-1×6=m,
故m=-6.
9.(13分)设集合A={2,3,a+2},B={1-2a,2}.
(1)若 AB={1},求实数a的值;
(2)若B A,求实数a的取值集合.
【解】 (1)由 AB={1}得解得a=-1.
(2)若1-2a=3,解得a=-1,此时A={2,3,1},B={3,2},满足题意;
若1-2a=a+2,解得a=-,此时A={2,3,},B={,2},满足题意.
综上所述,实数a的取值集合为{-1,-}.
10.(14分)已知全集U=R,集合M={x|x<0,或x>4},N={x|m-1≤x≤3m+1}.
(1)若 UN=M,求m的值;
(2)若N M,求m的取值范围.
【解】 (1)由N={x|m-1≤x≤3m+1},
得 UN={x|x3m+1}.
因为 UN=M,M={x|x<0,或x>4},
所以
解得m=1.
(2)当N= M时,m-1>3m+1,
解得m<-1;
当N≠ 时,由N M,
得或
解得-1≤m<-或m>5,
综上,m的取值范围为{m|m<-,或m>5}.
11.(5分)设集合U={-2,,2,3},A={x|2x2-5x+2=0},B={,},若 UA=B,则a+b= .
【答案】 -1
【解析】 因为集合A={x|2x2-5x+2}={x|(2x-1)(x-2)=0},即集合A={,2},
所以 UA={-2,3}={,},
因为≥0,所以=3,即a=1,所以=-2,可得b=-2,
所以a+b=-1.
12.(5分)已知全集U={(x,y)|y=2x-1,x∈R},P={(x,y)|=2},则 UP= .
【答案】 {(1,1)}
【解析】 U={(x,y)|y=2x-1,x∈R},P={(x,y)|y=2x-1,x∈R且x≠1},
当x=1时,y=1,故 UP={(1,1)}.
13.(17分)已知全集U={2,4,6,8,10},A={x∈U|x2-tx+16=0}.
(1)若 UA中有三个元素,求实数t的值;
(2)若 UA中有四个元素,求实数t的值.
【解】 (1)由 UA中有三个元素,知集合A中有两个元素,
即方程x2-tx+16=0有两个不等的实根x1,x2,
则且x1,x2∈U,
则{x1,x2}={2,8},t=2+8=10.
(2)由 UA中有四个元素,知集合A中有且只有一个元素,
则方程x2-tx+16=0有且只有一个实数根x0,
则且x0∈U,
则x0=4,t=8.
14.设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若 UP S,则这样的集合P共有( )
[A]5个 [B]6个 [C]7个 [D]8个
【答案】 D
【解析】 U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为 U( UP)=P,所以存在一个 UP,就有一个相应的P(如当 UP={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2},当 UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等),由于S的子集共有8个,所以集合P也有8个.故选D.
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