第1课时 集合的概念
【课程标准要求】 1.通过实例了解集合的含义,掌握集合中元素的三大特征,达成数学抽象的核心素养.2.理解元素与集合的“属于”关系,并能用符号“∈”或“ ()”来表示.3.掌握常用数集的表示符号并会应用.
1.集合的有关概念
一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.
我们通常用大写拉丁字母来表示集合,例如集合A、集合B等.集合的元素常用小写拉丁字母表示.
集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
[思考]方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合含有一个还是两个元素呢
【提示】 一个.
[做一做1] (多选)考察下列每组对象,能组成集合的是( )
[A]二十国集团的所有成员
[B]某中学高一(1)班的高个子同学
[C]方程x2-2=0的所有实数根
[D]平面内到定点的距离等于定长的所有点
【答案】 ACD
【解析】
选项 能否组成集合 原因
A 能 二十国集团的所有成员是确定的
B 不能 “高个子”标准不明确,不具有确定性,不能组成集合
C 能 因为方程x2-2=0的根x1=,x2=-确定,所以可以组成具有两个元素的集合
D 能 平面内到定点的距离等于定长的点是确定的
2.元素与集合的关系
如果a是集合A的元素,那么就记作a∈A,读作“a属于A”;如果a不是集合A的元素,那么就记作a A或aA,读作“a不属于A”.
[做一做2] 设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的是( )
[A]0∈A [B]a∈A
[C]a A [D]a=A
【答案】 B
3.常见的数集及表示符号
数集 非负整数集 (自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*或N+ Z Q R
[做一做3] 下列元素与集合的关系中,正确的是( )
[A] R [B]∈Q
[C]0 N* [D]-1∈N
【答案】 C
【解析】 ∈R,A错误; Q,B错误;0 N*,C正确;-1 N,D错误.故选C.
探究点一 集合的概念
[例1] 考察下列每组对象,能组成集合的是( )
①中国各地最美的乡村;
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④参加某次考试的所有学生.
[A]③④ [B]②③④
[C]②③ [D]②④
【答案】 B
【解析】 ①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可组成集合.故选B.
判定一组对象能否构成集合,关键是看所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
[针对训练] 下列各组对象能组成集合的是( )
[A]接近0的数
[B]数学成绩好的同学
[C]中国古代四大发明
[D]跑得快的运动员
【答案】 C
【解析】 对于选项A,B,D,没有明确的判断标准,均不满足确定性,A,B,D均错误;对于选项C,中国古代四大发明是确定的,符合确定性,能组成集合,C正确.故选C.
探究点二 元素与集合的关系
[例2] 已知集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为 .
【答案】 0,1,2
【解析】 由∈N,x∈N知x≥0,>0,且x≠3,故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.当x=0时,=2∈N;当x=1时,=3∈N;当x=2时,=6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
[变式探究1] 若集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A,则10-x∈A”,则集合A中的元素至多有多少个
【解】 由x∈A,则10-x∈A,得x>0,10-x>0,
解得0若1∈A,则9∈A.同理可得2,3,4,5,6,7,8都属于集合A,
因此集合A中的元素至多有9个.
[变式探究2] 若集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)(例如数2-1)的数组成的,判断是不是集合A中的元素.
【解】 =+1=1×+1,
而1∈Z,所以+1∈A,即∈A.
判断元素和集合的关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提:集合中的元素是直接给出的.
②判断方法:首先明确集合由哪些元素构成,然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
(2)推理法.
①使用前提:集合中的元素不便直接表示.
②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
探究点三 集合中元素的特性及应用
[例3] 已知集合A中含有三个元素-1,x与x+1,若0∈A,求实数x的值.
【解】 因为0∈A,所以x=0或x+1=0.
若x=0,则x+1=1,此时集合A中有三个元素-1,0,1,符合题意.
若x+1=0,则x=-1,不符合集合中元素的互异性,舍去.
综上所述,满足题意的实数x的值为0.
[变式探究] 若将本例集合A中的三个元素改为“1,0与x”,且“0∈A”改为“x2∈A”,求实数x的值.
【解】 由题意知,x2=1或x2=0或x2=x,解得x=0或x=±1,由集合中元素的互异性知,x≠0且 x≠1,所以x=-1.
(1)解答此类问题一般先根据集合中元素的确定性解出参数所有可能的取值,再根据集合中元素的互异性对参数进行检验.
(2)在解决含有参数的问题时,常用到分类讨论的思想.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列说法正确的是( )
[A]与定点A,B等距离的点不能构成集合
[B]很小的实数可以构成集合
[C]若一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形
[D]高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】 C
【解析】 A错误,与定点A,B等距离的点在线段AB的垂直平分线上,能构成集合;B错误,很小的实数是一个不确定的概念,不可以构成集合;C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形;D错误,“游泳能手”没有确定的标准,故不能构成集合.故选C.
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )
[A]-5 [B] [C]1.41 [D]
【答案】 D
【解析】 由题意知a应为无理数,故a可以为.故选D.
3.给出下列关系:①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.其中正确的个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 对于①,因为为实数,R表示实数集,所以∈R,即①正确;
对于②,因为2为整数,Z表示整数集,所以2∈Z,即②正确;
对于③,因为|-3|=3为正整数,N*表示正整数集,所以|-3|∈N*,即③错误;
对于④,因为|-|=为无理数,Q表示有理数集,所以|-| Q,即④错误.故选B.
4.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )
[A]梯形 [B]平行四边形
[C]菱形 [D]矩形
【答案】 A
【解析】 由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边长都不相等.
故选A.
5.(多选)下列结论正确的是( )
[A]若a∈N,则-a N
[B]若a∈Z,则a2 Z
[C]若a∈Q,则|a|∈Q
[D]若a∈R,则a3∈R
【答案】 CD
【解析】 对于A,当a=0时,显然不成立;对于B,当a∈Z时,其平方数仍为整数,显然不成立;对于C,当a∈Q时,其绝对值仍为有理数,正确;对于D,当a∈R时,其立方仍为实数,正确.故选CD.
6.已知集合A中的元素x满足x-1>2,则下列选项正确的是( )
[A]5∈A,且-4 A [B]5∈A,且-4∈A
[C]5 A,且-4 A [D]5 A,且-4∈A
【答案】 A
【解析】 由x-1>2,解得x>3.
因为5>3,-4<3,所以5∈A,且-4 A.故选A.
7.(5分)英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素.
【答案】 3
【解析】 英语单词“banana”所含的字母共3个,分别为b,a,n,所以单词“banana”所含的字母组成的集合中含有3个元素.
8.(5分)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素.
【答案】 3
【解析】 方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-x-2=0的根是-1,2.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
9.(13分)判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:
(1)平面上到∠AOB两边等距离的点;
(2)所有大于0且小于25的偶数;
(3)汉字“木”中所有的笔画;
(4)高中学生中的灌篮高手;
(5)未来世界的高科技产品.
【解】 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的平分线上,故元素是明确的,可以组成集合.
(2)大于0且小于25的偶数有2,4,6,…,22,24,元素是确定的,且互不相同,可以组成集合.
(3)汉字“木”的笔画包括“横”“竖”“撇”“捺”,满足集合元素的确定性和互异性,可以组成
集合.
(4)对于“灌篮高手”没有明确的标准,故不能组成集合.
(5)对于“高科技”的定义不明确,故不能组成集合.
10.(13分)已知集合A是由三个数1,a+9,a2+a组成的,若6∈A,求实数a的值.
【解】 因为6∈A,所以a+9=6或a2+a=6.
①当a+9=6时,a=-3,则a2+a=6,不满足集合元素的互异性,所以a=-3不符合题意;
②当a2+a=6时,a=-3或a=2,
由①知a=-3,不符合题意,
当a=2时,a+9=11,符合题意.
综上可知,实数a的值为2.
11.(多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项属于集合M的是( )
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
【答案】 AD
【解析】 当a=b=0时,x=0,所以0∈M,A正确;
因为=0+×,而 Z,所以 M,B错误;
因为====-+×,而 Z,所以 M,C错误;
当a=-1,b=3时,x=3-1∈M,D正确.故选AD.
12.(5分)已知集合M中含有2个元素x+1,x2-2x-3,写出一个满足条件的x的值: .
【答案】 x=1(答案不唯一)
【解析】 由集合中元素的互异性可知,x+1≠x2-2x-3,解得x≠-1且x≠4.
当x=1时,x+1=2,x2-2x-3=-4,满足题意.
13.(16分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).
求证:(1)若2∈A,则A中还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
【证明】 (1)因为2∈A,所以=-1∈A,
因为-1∈A,所以=∈A,
因为∈A,所以=2∈A.
所以A中还有另外两个元素,且另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,
即a2-a+1=0,该方程无实数解.
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
14.(多选)已知非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A.则下列判断正确的有( )
[A]-1 A
[B]1∈A
[C]若x,y∈A,则xy∈A
[D]若x,y∈A,则x-y A
【答案】 ABC
【解析】 由性质①,若0∈A,则没有意义,所以0 A,若x∈A,则=1∈A,所以B选项正确;
由性质②,若-1∈A,而1∈A,则-1+1=0∈A,与上述分析矛盾,所以-1 A,所以A选项正确;
若1∈A,x∈A,则∈A,若y∈A,∈A,则=xy∈A,所以C选项正确;
由1∈A,得1+1=2∈A,则2-1=1∈A,所以D选项错误.故选ABC.
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1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
第1章 集合
【课程标准要求】
1.集合的有关概念
一般地,一定范围内某些 的、 的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的 ,简称 .
我们通常用大写拉丁字母来表示集合,例如集合A、集合B等.集合的元素常用小写拉丁字母表示.
确定
不同
元素
元
·拓展总结·
集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.
[思考]方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合含有一个还是两个元素呢
【提示】 一个.
[做一做1] (多选)考察下列每组对象,能组成集合的是( )
[A]二十国集团的所有成员
[B]某中学高一(1)班的高个子同学
[C]方程x2-2=0的所有实数根
[D]平面内到定点的距离等于定长的所有点
ACD
【解析】
2.元素与集合的关系
如果a是集合A的元素,那么就记作 ,读作“a A”;如果a不是集合A的元素,那么就记作 或 ,读作“a A”.
a∈A
属于
a A
不属于
[做一做2] 设集合A只含有一个元素a,则下列各式正确的是( )
[A]0∈A [B]a∈A
[C]a A [D]a=A
B
数集 非负整数集
(自然数集) 正整
数集 有理
数集
符号 N N*或N+ Z Q R
3.常见的数集及表示符号
整数集
实数集
[做一做3] 下列元素与集合的关系中,正确的是( )
C
[例1] 考察下列每组对象,能组成集合的是( )
①中国各地最美的乡村;
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④参加某次考试的所有学生.
[A]③④ [B]②③④
[C]②③ [D]②④
探究点一 集合的概念
B
【解析】 ①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可组成集合.故选B.
·方法总结·
判定一组对象能否构成集合,关键是看所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
[针对训练] 下列各组对象能组成集合的是( )
[A]接近0的数
[B]数学成绩好的同学
[C]中国古代四大发明
[D]跑得快的运动员
C
【解析】 对于选项A,B,D,没有明确的判断标准,均不满足确定性,A,B,D均错误;对于选项C,中国古代四大发明是确定的,符合确定性,能组成集合,C正确.故选C.
探究点二 元素与集合的关系
0,1,2
[变式探究1] 若集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A,则10-x∈A”,则集合A中的元素至多有多少个
【解】 由x∈A,则10-x∈A,得x>0,10-x>0,
解得0若1∈A,则9∈A.同理可得2,3,4,5,6,7,8都属于集合A,
因此集合A中的元素至多有9个.
·方法总结·
判断元素和集合的关系的两种方法
(1)直接法.
①使用前提:集合中的元素是直接给出的.
②判断方法:首先明确集合由哪些元素构成,然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
·方法总结·
(2)推理法.
①使用前提:集合中的元素不便直接表示.
②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
[例3] 已知集合A中含有三个元素-1,x与x+1,若0∈A,求实数x的值.
探究点三 集合中元素的特性及应用
【解】 因为0∈A,所以x=0或x+1=0.
若x=0,则x+1=1,此时集合A中有三个元素-1,0,1,符合题意.
若x+1=0,则x=-1,不符合集合中元素的互异性,舍去.
综上所述,满足题意的实数x的值为0.
[变式探究] 若将本例集合A中的三个元素改为“1,0与x”,且“0∈A”改为“x2∈A”,求实数x的值.
【解】 由题意知,x2=1或x2=0或x2=x,解得x=0或x=±1,由集合中元素的互异性知,x≠0且 x≠1,所以x=-1.
·方法总结·
(1)解答此类问题一般先根据集合中元素的确定性解出参数所有可能的取值,再根据集合中元素的互异性对参数进行检验.
(2)在解决含有参数的问题时,常用到分类讨论的思想.第1课时 集合的概念
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列说法正确的是( )
[A]与定点A,B等距离的点不能构成集合
[B]很小的实数可以构成集合
[C]若一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形
[D]高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】 C
【解析】 A错误,与定点A,B等距离的点在线段AB的垂直平分线上,能构成集合;B错误,很小的实数是一个不确定的概念,不可以构成集合;C正确,一个集合中有三个元素a,b,c,故a,b,c互异,故不可能构成等腰三角形;D错误,“游泳能手”没有确定的标准,故不能构成集合.故选C.
2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )
[A]-5 [B] [C]1.41 [D]
【答案】 D
【解析】 由题意知a应为无理数,故a可以为.故选D.
3.给出下列关系:①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.其中正确的个数为( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 对于①,因为为实数,R表示实数集,所以∈R,即①正确;
对于②,因为2为整数,Z表示整数集,所以2∈Z,即②正确;
对于③,因为|-3|=3为正整数,N*表示正整数集,所以|-3|∈N*,即③错误;
对于④,因为|-|=为无理数,Q表示有理数集,所以|-| Q,即④错误.故选B.
4.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是( )
[A]梯形 [B]平行四边形
[C]菱形 [D]矩形
【答案】 A
【解析】 由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边长都不相等.
故选A.
5.(多选)下列结论正确的是( )
[A]若a∈N,则-a N
[B]若a∈Z,则a2 Z
[C]若a∈Q,则|a|∈Q
[D]若a∈R,则a3∈R
【答案】 CD
【解析】 对于A,当a=0时,显然不成立;对于B,当a∈Z时,其平方数仍为整数,显然不成立;对于C,当a∈Q时,其绝对值仍为有理数,正确;对于D,当a∈R时,其立方仍为实数,正确.故选CD.
6.已知集合A中的元素x满足x-1>2,则下列选项正确的是( )
[A]5∈A,且-4 A [B]5∈A,且-4∈A
[C]5 A,且-4 A [D]5 A,且-4∈A
【答案】 A
【解析】 由x-1>2,解得x>3.
因为5>3,-4<3,所以5∈A,且-4 A.故选A.
7.(5分)英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素.
【答案】 3
【解析】 英语单词“banana”所含的字母共3个,分别为b,a,n,所以单词“banana”所含的字母组成的集合中含有3个元素.
8.(5分)以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有 个元素.
【答案】 3
【解析】 方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-x-2=0的根是-1,2.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
9.(13分)判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:
(1)平面上到∠AOB两边等距离的点;
(2)所有大于0且小于25的偶数;
(3)汉字“木”中所有的笔画;
(4)高中学生中的灌篮高手;
(5)未来世界的高科技产品.
【解】 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的平分线上,故元素是明确的,可以组成集合.
(2)大于0且小于25的偶数有2,4,6,…,22,24,元素是确定的,且互不相同,可以组成集合.
(3)汉字“木”的笔画包括“横”“竖”“撇”“捺”,满足集合元素的确定性和互异性,可以组成
集合.
(4)对于“灌篮高手”没有明确的标准,故不能组成集合.
(5)对于“高科技”的定义不明确,故不能组成集合.
10.(13分)已知集合A是由三个数1,a+9,a2+a组成的,若6∈A,求实数a的值.
【解】 因为6∈A,所以a+9=6或a2+a=6.
①当a+9=6时,a=-3,则a2+a=6,不满足集合元素的互异性,所以a=-3不符合题意;
②当a2+a=6时,a=-3或a=2,
由①知a=-3,不符合题意,
当a=2时,a+9=11,符合题意.
综上可知,实数a的值为2.
11.(多选)已知集合M中的元素x满足x=a+b,其中a,b∈Z,则下列选项属于集合M的是( )
[A]0 [B]
[C] [D]3-1
【答案】 AD
【解析】 当a=b=0时,x=0,所以0∈M,A正确;
因为=0+×,而 Z,所以 M,B错误;
因为====-+×,而 Z,所以 M,C错误;
当a=-1,b=3时,x=3-1∈M,D正确.故选AD.
12.(5分)已知集合M中含有2个元素x+1,x2-2x-3,写出一个满足条件的x的值: .
【答案】 x=1(答案不唯一)
【解析】 由集合中元素的互异性可知,x+1≠x2-2x-3,解得x≠-1且x≠4.
当x=1时,x+1=2,x2-2x-3=-4,满足题意.
13.(16分)设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1,且a≠0).
求证:(1)若2∈A,则A中还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
【证明】 (1)因为2∈A,所以=-1∈A,
因为-1∈A,所以=∈A,
因为∈A,所以=2∈A.
所以A中还有另外两个元素,且另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,
即a2-a+1=0,该方程无实数解.
所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.
14.(多选)已知非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A.则下列判断正确的有( )
[A]-1 A
[B]1∈A
[C]若x,y∈A,则xy∈A
[D]若x,y∈A,则x-y A
【答案】 ABC
【解析】 由性质①,若0∈A,则没有意义,所以0 A,若x∈A,则=1∈A,所以B选项正确;
由性质②,若-1∈A,而1∈A,则-1+1=0∈A,与上述分析矛盾,所以-1 A,所以A选项正确;
若1∈A,x∈A,则∈A,若y∈A,∈A,则=xy∈A,所以C选项正确;
由1∈A,得1+1=2∈A,则2-1=1∈A,所以D选项错误.故选ABC.
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