第2课时 充要条件
【课程标准要求】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义及数学定义与
充要条件的关系.2.通过对充分条件、必要条件及充要条件的判定与证明,加深逻辑推理的核心素养.
充要条件
如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p,可记作p q.
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
[做一做] 若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的 .
【答案】 充要条件
【解析】 因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充要条件.
探究点一 充要条件的判断
[例1] 已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则下列各结论中正确的为( )
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;
③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;
④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
[A]③ [B]①②
[C]①②③ [D]①②③④
【答案】 D
【解析】 首先我们应清楚Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件.利用该结论可知,①②③是正确的.同时当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根,故④也是正确的.故选D.
当p是q的充要条件是正确的时,p是q的充分条件及p是q的必要条件都是正确的,故上述结论③正确时,结论①②也正确.应该指出的是:p是q的充分条件包含了两种可能,p是q的充分且不必要条件与p是q的充要条件;同样,p是q的必要条件也包含了两种可能,p是q的必要且不充分条件与p是q的充要条件.其实结论④可进一步明确成Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分且不必要条件.
[针对训练]给出下列各组条件:
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;
(3)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有( )
[A]0组 [B]1组
[C]2组 [D]3组
【答案】 A
【解析】 对于(1),ab=0指其中至少有一个为零,而a2+b2=0指两个都为零,因此q p,但pq,
p是q的必要且不充分条件;对于(2),方程x2-x-m=0有实根的充要条件是Δ=1+4m≥0,
即m≥-,所以p q但qp,p是q的充分且不必要条件;对于(3),|x-1|>2 x>3或x<-1,
所以pq但q p,所以p是q的必要且不充分条件.故选A.
探究点二 证明充要条件
[例2] 已知ab≠0.求证:a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【证明】 先证必要性.因为a+b=1,
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=a2-ab+b2+ab-a2-b2=0.
所以必要性成立.
再证充分性.因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,
从而a2-ab+b2=(a-)2+≠0.
所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立.
所以a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题为真:“若p,则q”为真,且“若q,则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论.
[针对训练] 求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
【证明】 充分性:
因为a+b=-(c+d),
所以a+b+c+d=0,
所以a×13+b×12+c×1+d=0成立,
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
必要性:
因为关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1,
所以a+b+c+d=0,
所以a+b=-(c+d)成立.
故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
探究点三 利用充要条件求参数
[例3] 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.
【解】 当a=0时,方程为2x+1=0,所以x=-为一负根,符合题意.
当a<0时,因为Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1x2=<0,x1+x2=->0,为一正根、一负根,符合题意.
当a>0时,得0
综上,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是a≤1.
充要条件是一种等价转化,解决问题的关键就是找清原问题的充要条件.
[针对训练]函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m= .
【答案】 -2
【解析】 当m=-2时,y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智,少年富则国富,少年强则国强”的口号.其中“国强”是“少年强”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 “少年强则国强”,国强不一定少年强,
所以“国强”是“少年强”的必要且不充分条件.故选B.
2.若x,y∈R,则“x2=y2”是“|x|=|y|”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 x2=y2 |x|=|y|.故选C.
3.已知p: m<1且m≠0,q:关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数解,则p是q的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 因为关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数解,
所以解得m<1且m≠0,
所以p是q的充要条件.故选C.
4.已知命题p:-3≤x≤1,q:x≤a,若q的一个充分且不必要条件是p,则a的取值范围是( )
[A]{a|a>-3} [B]{a|a≥-3}
[C]{a|a>1} [D]{a|a≥1}
【答案】 D
【解析】 若p是q的充分且不必要条件,则{x|-3≤x≤1} {x|x≤a},则a≥1.故选D.
5.“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的( )
[A]必要且不充分条件
[B]充分且不必要条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立,由根与系数的关系可得x1x2=<0,则“ac<0”成立;反之,若“ac<0”成立,则一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ>0,此时方程有两个不相等的根,由根与系数的关系可得x1x2=<0,则方程两个根的符号相反,
即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立.
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的充要条件.故选C.
6.(多选)设全集U,则下列四个命题中是“A B”的充要条件的命题是( )
[A]A∩B=A [B]( UA) ( UB)
[C]( UB)∩A= [D]( UA)∩B=
【答案】 ABC
【解析】 A∩B=A A B,故A满足条件;
( UA) ( UB) A B,故B满足条件;
( UB)∩A= A B,故C满足条件;
由( UA)∩B= ,可得B A,不能推出A B,故“( UA)∩B= ”不是“A B”的充要条件,故D不满足条件.故选ABC.
7.(5分)在平面直角坐标系中,点(x,1-x)在第一象限的充要条件是 .
【答案】 0【解析】 由点(x,1-x)在第一象限,可得x>0,且1-x>0,所以08.(5分)已知命题p:4-x≤6,q:x≥a-1,若p是q的充要条件,则实数a= .
【答案】 -1
【解析】 由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p是q的充要条件,所以a-1=-2,即a=-1.
9.(13分)已知关于x的方程(m∈Z).
①mx2-4x+4=0,
②x2-4mx+4m2-4m-5=0,
求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或解得m≤1;
方程②有实数解的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
所以方程①和②都有实数解的充要条件是-≤m≤1.
又m∈Z,所以m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,方程①即-x2-4x+4=0,无整数解;
当m=0时,方程②即x2-5=0,无整数解;
当m=1时,方程①即x2-4x+4=0有整数解x=2,
方程②即x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,
从而方程①和②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
10.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B.
【证明】 (1)充分性:若A=B,则a=b,
所以a2-b2-ac+bc=a2-a2-ac+ac=0成立.
(2)必要性:若a2-b2-ac+bc=0成立,
则(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
所以(a-b)(a+b-c)=0,
又因为在△ABC中,a+b>c,即a+b-c>0,
所以a-b=0,
故a=b,则A=B.
由(1)(2)可知,a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B.
11.(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合;q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分且不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要且不充分条件;电路图D中,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
12.(5分)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A (A∩B)的充要条件为 ,一个充分且不必要条件可为 .
【答案】 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)
【解析】 A (A∩B) A B,B={x|3≤x≤22}.
若A= ,则2a+1>3a-5,解得a<6;
若A≠ ,则A B 6≤a≤9.
综上可知,A (A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分且不必要条件可为6≤a≤9.
13.(16分)设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】 ①充分性.如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.
若xy=0,不妨设x=0,则|y|=|y|,
所以等式成立.
若xy>0,则x>0,y>0或x<0,y<0,
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,
所以等式成立;
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
②必要性.若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
综上可知,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
14.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .
【答案】 3或4
【解析】 一元二次方程x2-4x+n=0有实数根 Δ=(-4)2-4n≥0 n≤4.又n∈N*,所以n=1,2,3,4.当n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;当n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;当n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;当n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.
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第2课时 充要条件
【课程标准要求】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义及数学定义与充要条件的关系.2.通过对充分条件、必要条件及充要条件的判定与证明,加深逻辑推理的核心素养.
充要条件
如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的 ,也称q的充要条件是p,可记作p q.
充要条件
·拓展总结·
如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p q,那么p与q互为充要条件.
[做一做] 若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的 .
充要条件
【解析】 因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充要条件.
探究点一 充要条件的判断
[例1] 已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),则下列各结论中正确的为
( )
①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;
②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;
③Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;
④Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件.
[A]③ [B]①②
[C]①②③ [D]①②③④
D
【解析】 首先我们应清楚Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)有实根的充要条件.利用该结论可知,①②③是正确的.同时当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根,故④也是正确的.故选D.
·方法总结·
当p是q的充要条件是正确的时,p是q的充分条件及p是q的必要条件都是正确的,故上述结论③正确时,结论①②也正确.应该指出的是:p是q的充分条件包含了两种可能,p是q的充分且不必要条件与p是q的充要条件;同样,p是q的必要条件也包含了两种可能,p是q的必要且不充分条件与p是q的充要条件.其实结论④可进一步明确成Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分且不必要条件.
[针对训练]给出下列各组条件:
(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;
(2)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;
(3)p:|x-1|>2,q:x<-1.
其中p是q的充要条件的有( )
[A]0组 [B]1组
[C]2组 [D]3组
A
探究点二 证明充要条件
[例2] 已知ab≠0.求证:a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
【证明】 先证必要性.因为a+b=1,
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2-b2=a2-ab+b2+ab-a2-b2=0.
所以必要性成立.
再证充分性.因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
·方法总结·
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题为真:“若p,则q”为真,且“若q,则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论.
[针对训练] 求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
【证明】 充分性:
因为a+b=-(c+d),
所以a+b+c+d=0,
所以a×13+b×12+c×1+d=0成立,
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
必要性:
因为关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1,
所以a+b+c+d=0,
所以a+b=-(c+d)成立.
故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).
[例3] 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.
探究点三 利用充要条件求参数
·方法总结·
充要条件是一种等价转化,解决问题的关键就是找清原问题的充要条件.
[针对训练]函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m= .
-2
【解析】 当m=-2时,y=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.第2课时 充要条件
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智,少年富则国富,少年强则国强”的口号.其中“国强”是“少年强”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 “少年强则国强”,国强不一定少年强,
所以“国强”是“少年强”的必要且不充分条件.故选B.
2.若x,y∈R,则“x2=y2”是“|x|=|y|”的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 x2=y2 |x|=|y|.故选C.
3.已知p: m<1且m≠0,q:关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数解,则p是q的( )
[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 因为关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不相等的实数解,
所以解得m<1且m≠0,
所以p是q的充要条件.故选C.
4.已知命题p:-3≤x≤1,q:x≤a,若q的一个充分且不必要条件是p,则a的取值范围是( )
[A]{a|a>-3} [B]{a|a≥-3}
[C]{a|a>1} [D]{a|a≥1}
【答案】 D
【解析】 若p是q的充分且不必要条件,则{x|-3≤x≤1} {x|x≤a},则a≥1.故选D.
5.“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的( )
[A]必要且不充分条件
[B]充分且不必要条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 C
【解析】 若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立,由根与系数的关系可得x1x2=<0,则“ac<0”成立;反之,若“ac<0”成立,则一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ>0,此时方程有两个不相等的根,由根与系数的关系可得x1x2=<0,则方程两个根的符号相反,
即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立.
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac<0”的充要条件.故选C.
6.(多选)设全集U,则下列四个命题中是“A B”的充要条件的命题是( )
[A]A∩B=A [B]( UA) ( UB)
[C]( UB)∩A= [D]( UA)∩B=
【答案】 ABC
【解析】 A∩B=A A B,故A满足条件;
( UA) ( UB) A B,故B满足条件;
( UB)∩A= A B,故C满足条件;
由( UA)∩B= ,可得B A,不能推出A B,故“( UA)∩B= ”不是“A B”的充要条件,故D不满足条件.故选ABC.
7.(5分)在平面直角坐标系中,点(x,1-x)在第一象限的充要条件是 .
【答案】 0【解析】 由点(x,1-x)在第一象限,可得x>0,且1-x>0,所以08.(5分)已知命题p:4-x≤6,q:x≥a-1,若p是q的充要条件,则实数a= .
【答案】 -1
【解析】 由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p是q的充要条件,所以a-1=-2,即a=-1.
9.(13分)已知关于x的方程(m∈Z).
①mx2-4x+4=0,
②x2-4mx+4m2-4m-5=0,
求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或解得m≤1;
方程②有实数解的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
所以方程①和②都有实数解的充要条件是-≤m≤1.
又m∈Z,所以m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,方程①即-x2-4x+4=0,无整数解;
当m=0时,方程②即x2-5=0,无整数解;
当m=1时,方程①即x2-4x+4=0有整数解x=2,
方程②即x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,
从而方程①和②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
10.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B.
【证明】 (1)充分性:若A=B,则a=b,
所以a2-b2-ac+bc=a2-a2-ac+ac=0成立.
(2)必要性:若a2-b2-ac+bc=0成立,
则(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
所以(a-b)(a+b-c)=0,
又因为在△ABC中,a+b>c,即a+b-c>0,
所以a-b=0,
故a=b,则A=B.
由(1)(2)可知,a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B.
11.(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合;q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分且不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要且不充分条件;电路图D中,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
12.(5分)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A (A∩B)的充要条件为 ,一个充分且不必要条件可为 .
【答案】 a≤9 6≤a≤9(答案不唯一)
【解析】 A (A∩B) A B,B={x|3≤x≤22}.
若A= ,则2a+1>3a-5,解得a<6;
若A≠ ,则A B 6≤a≤9.
综上可知,A (A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分且不必要条件可为6≤a≤9.
13.(16分)设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】 ①充分性.如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.
若xy=0,不妨设x=0,则|y|=|y|,
所以等式成立.
若xy>0,则x>0,y>0或x<0,y<0,
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,
所以等式成立;
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
②必要性.若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
综上可知,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
14.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .
【答案】 3或4
【解析】 一元二次方程x2-4x+n=0有实数根 Δ=(-4)2-4n≥0 n≤4.又n∈N*,所以n=1,2,3,4.当n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;当n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;当n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;当n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.
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