课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合A={x||x|≤1,x∈Z},B={x|-1≤x≤2,x∈N*},则A∪B=( )
[A]{0,1} [B]{-1,0,1}
[C]{-1,0,1,2} [D]{0,1,2}
【答案】 C
【解析】 因为A={x||x|≤1,x∈Z}={-1,0,1},
B={x|-1≤x≤2,x∈N*}={1,2},
所以A∪B={-1,0,1,2}.故选C.
2.已知集合A={(x,y)|y=-2x+1},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=( )
[A]{(1,-1)} [B]{(-1,1)}
[C]{(-1,-1)} [D]{1,-1}
【答案】 A
【解析】 解方程组得所以A∩B={(1,-1)}.故选A.
3.设全集U=R,A={x|1≤x≤10,x∈N},B={x|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )
[A]{-3,2} [B]{-3}
[C]{2} [D]{-2,3}
【答案】 C
【解析】 因为A={x|1≤x≤10,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={x|x2+x-6=0}={2,-3},因为题图中阴影部分表示的集合为A∩B,所以A∩B={2}.故选C.
4.已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若A∩B={9},则实数a的值为( )
[A]5或-3 [B]±3
[C]5 [D]-3
【答案】 D
【解析】 因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9.
若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},此时A∩B={0,9},故不成立.
若a2=9,则a=3或a=-3,
当a=3时,1-a=-2,a-5=-2,B中有两元素相等,故不成立;
当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},成立.
综上,a=-3.故选D.
5.(多选)设全集U={x|-3
[A]U={-2,-1,0,1,2,3,4}
[B]A∩B={-2}
[C]A∪B={-2}
[D]( UA)∪B={-2,-1,0,1,3,4}
【答案】 ABD
【解析】 因为U={x|-3因为A={-2,2},B={-2,4},所以A∩B={-2},A∪B={-2,2,4},故B正确,C错误;
由题意得 UA={-1,0,1,3,4},则( UA)∪B={-2,-1,0,1,3,4},故D正确.故选ABD.
6.(多选)已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若A∪B=A,则实数m的值为( )
[A]-1 [B]0 [C]1 [D]2
【答案】 BD
【解析】 因为A∪B=A,所以B A.
因为B={1,m},所以1∈A且m∈A.
因为A={1,2,m2},所以m=2或m=m2.
①当m=2时,A={1,2,4},B={1,2}满足题意;
②当m=m2时,解得m=1或m=0,
若m=1,集合A与B均不满足集合中元素的互异性;
若m=0,A={1,2,0},B={1,0}满足题意.
综上所述,m=2或m=0.故选BD.
7.(5分)若全集U={n|n是小于9的正整数},A={n|n是奇数,n∈U},B={n|n是3的倍数,n∈U},
则( UA)∩B= , U(A∪B)= .
【答案】 {6} {2,4,8}
【解析】 因为U={n|n是小于9的正整数},所以U={1,2,3,4,5,6,7,8},则A={1,3,5,7},B={3,6},所以 UA={2,4,6,8},A∪B={1,3,5,6,7},所以( UA)∩B={6}, U(A∪B)={2,4,8}.
8.(5分)已知集合A={(x,y)|y>x,x,y∈N*},B={(x,y)|x+y=7},则A∩B的子集个数为 .
【答案】 8
【解析】 因为A={(x,y)|y>x,x,y∈N*},B={(x,y)|x+y=7},
所以A∩B={(x,y)|x+y=7,y>x,x,y∈N*}={(3,4),(2,5),(1,6)},
所以A∩B的子集个数为8.
9.(13分)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2(1)求A∩B;
(2)求 R(A∪B).
【解】 (1)由题意可知A∩B={x|3≤x<7}.
(2)由题意可知A∪B={x|210.(14分)已知集合A={x|0<2x+a≤3},B={x|-(1)当a=-1时,求A∪B和 R(A∩B);
(2)若A B,求实数a的取值集合.
【解】 (1)当a=-1时,集合A={x|0<2x+a≤3}={x|又B={x|-A∩B={x|所以 R(A∩B)={x|x≤或x≥2}.
(2)A={x|0<2x+a≤3}={x|-由A B,得解得-1所以实数a的取值集合是{a|-111.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是( )
[A][-,1)
[B][-,1]
[C](-∞,-1)∪[0,+∞)
[D][-,0)∪(0,1)
【答案】 A
【解析】 因为A∩B=B,所以B A,且集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.
当a=0时,B= A,符合题意;
当a>0时,B={x|ax+1≤0}={x|x≤-},因为B A,所以-<-1,解得0当a<0时,B={x|ax+1≤0}={x|x≥-},
因为B A,所以-≥3,解得a≥-,此时-≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是[-,1).故选A.
12.(5分)已知集合M={x|x2-(a+3)x+3a=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},若M∩N≠ ,则M∪N= .
【答案】 {1,3,4}
【解析】 因为N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},M={x|x2-(a+3)x+3a=0}={x|(x-a)(x-3)=0},
且M∩N≠ ,所以a=1或a=4,则M={a,3},故M∪N={1,3,4}.
13.(16分)已知全集U=R,集合A={x||2x-1|≤7},B={x|2m-1≤x≤4m-2}.
(1)若m=2,求A∩B和A∪( UB);
(2)若A∪B=A,求m的取值范围.
【解】 (1)因为|2x-1|≤7,所以-7≤2x-1≤7,解得-3≤x≤4,即A={x|-3≤x≤4},
当m=2时,B={x|3≤x≤6},
所以A∩B={x|3≤x≤4},
UB={x|x<3或x>6},
所以A∪( UB)={x|x≤4或x>6}.
(2)由A∪B=A,得B A.
当B= 时,2m-1>4m-2,得m<;
当B≠ 时,解得≤m≤.
所以m的取值范围是{m|m≤}.
14.(5分)某年级举行数学、物理、化学三项竞赛,共有88名学生参赛,其中参加数学竞赛的有48人,参加物理竞赛的有48人,参加化学竞赛的有38人,同时参加物理、化学竞赛的有18人,同时参加数学、物理竞赛的有28人,同时参加数学、化学竞赛的有18人,则这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 名.
【答案】 18
【解析】 将参加三种竞赛的人数情况画出Venn图,如图所示.
设这个年级三个学科竞赛都参加的学生有x人,
则只参加数学、化学竞赛的有(18-x)人,只参加物理、化学竞赛的有(18-x)人,只参加数学、物理竞赛的有(28-x)人,
只参加数学竞赛的有48-(18-x)-(28-x)-x=2+x(人),
只参加物理竞赛的有48-(18-x)-(28-x)-x=2+x(人),
只参加化学竞赛的有38-(18-x)-(18-x)-x=2+x(人),
所以参加竞赛的总人数为2+x+2+x+2+x+18-x+18-x+28-x+x=88,
解得x=18,即这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有18名.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【课程标准要求】 1.理解集合的交集与并集的含义,达成数学抽象的核心素养.2.能求集合的交集与并集,培养数学运算的核心素养.
1.交集
(1)定义.
由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作
“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B},可用Venn图表示.
(2)性质.
①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩ = ;④若A B,则A∩B=A;⑤A∩B A;⑥A∩B B.
[做一做1] 已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},则A∩B= .
【答案】 {x|x是正方形}
2.并集
(1)定义.
由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B},可用Venn图表示.
(2)性质.
①A∪B=B∪A;②A∪A=A;③A∪ = ∪A=A;④A A∪B;⑤B A∪B;⑥A∪B=A B A;⑦A∪B=B A B.
[思考] 并集定义中“x∈A,或x∈B”包含三种情况,你知道是哪三种情况吗
【提示】 “x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A,但x B;x∈B,但x A;x∈A,且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.可用下图表示.
[做一做2] 若集合A={x|-2≤x<3},B={x|0≤x<4},则A∪B= .
【答案】 {x|-2≤x<4}
【解析】 将集合A与集合B在数轴上表示出来,如图所示.
根据并集的定义,可知图中阴影部分即为所求,所以A∪B={x|-2≤x<4}.
A∪ UA=U,A∩ UA= , U( UA)=A, U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
3.区间
设a,b∈R,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|xR (-∞,+∞)
[做一做3] 区间[1,2)表示的集合为 .
【答案】 {x|1≤x<2}
【解析】 根据区间的定义,[1,2)可表示为{x|1≤x<2}.
探究点一 求交集、并集
[例1](1)已知集合A={0,1,2,5,6},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
[A]{1,2} [B]{0,1,2}
[C]{-2,-1} [D]
(2)若集合A={x|-1≤x<2},B={x|0【答案】 (1)B (2){x|-1≤x≤3} {x|0【解析】 (1)因为A={0,1,2,5,6},B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选B.
(2)如图所示.
A∪B={x|-1≤x≤3},A∩B={x|0求两个集合并集、交集的方法
若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析法写出结果.
提醒:(1)求并集时,不是单纯地合并元素,相同的元素只能写一次.
(2)利用数轴时,要注意端点值的取舍及表示.
[针对训练] 若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},求:
(1)A∩B;
(2)A∪B.
【解】 (1)当a<-2时,A∩B=A={x|-2≤x≤3};
当-2≤a<3时,A∩B={x|a当a≥3时,A∩B= .
(2)当a<-2时,A∪B=B={x|x>a};
当-2≤a≤3时,A∪B={x|x≥-2};
当a>3时,A∪B={x|-2≤x≤3,或x>a}.
探究点二 利用集合的并、交运算求参数
角度1 利用集合的并、交运算求参数的取值
[例2] 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
【解】 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.
又A∪B=A,所以B A.
①若B= ,即方程ax-2=0无解,此时a=0.
②若B≠ ,则B={1}或B={2}.
当B={1}时,有a-2=0,即a=2;
当B={2}时,有2a-2=0,即a=1.
综上可知,符合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}.
对于已知两集合的并、交运算,求参数的取值,常采用分类讨论求解.
提醒:对于用列举法表示的集合,在求出参数后不要忘记验证集合中元素的互异性.
[针对训练] 设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R}.若A∩B=B,求a的值.
【解】 因为A∩B=B,所以B A.
当B= 时,方程ax+1=0无解,此时a=0,符合题意.
当B≠ 时,a≠0,则B={-},
所以-∈A,即有-=-2,解得a=.
综上,得a=0或a=.
角度2 利用集合的并、交运算求参数的取值范围
[例3] 已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
【解】 因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,有m+1>1-m,解得m>0,符合题意.
当B≠ 时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
因为B A,所以解得-1≤m≤0.
综上可得,实数m的取值范围是{m|m≥-1}.
[变式探究1] 将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解】 因为A∩B=A,所以A B.如图,
所以解得m≤-3.
故实数m的取值范围是{m|m≤-3}.
[变式探究2] 将本例中“A∪B=A”改为“A∩B= ”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解】 因为A∩B= ,且A={x|0≤x≤4}≠ ,所以B= 或B≠ .
当B= 时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠ 时,用数轴表示集合A和B的关系,如图所示,
所以或
解得m∈ .
综上可得,实数m的取值范围是{m|m>0}.
[变式探究3] 将本例中“A={x|0≤x≤4}”改为“A={x|x<0,或x>4}”,“A∪B=A”改为“A∪B=R”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【解】 因为A∪B=R,且A={x|x<0,或x>4},所以B≠ ,所以解得m≤-3,
即实数m的取值范围是{m|m≤-3}.
在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A= 的情况,切不可漏掉.
探究点三 区间的应用
[例4] 将下列集合用区间以及数轴表示出来.
(1){x|x<2};
(2){x|x=0,或1≤x≤5};
(3){x|x=3,或4≤x≤8};
(4){x|2≤x≤8,且x≠5};
(5){x|3【解】 (1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①.
(2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图②.
(3){x|x=3,或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4,8];用数轴表示如图③.
(4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图④.
(5){x|3用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
[针对训练] (1)集合{x|x≥0,且x≠2}用区间表示为 .
(2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是 .
【答案】 (1)[0,2)∪(2,+∞) (2)(-1,+∞)
【解析】 (1){x|x≥0,且x≠2}=[0,2)∪(2,+∞).
(2)由2a+1>a,得a>-1,则a的取值范围为(-1,+∞).
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.已知集合A={x||x|≤1,x∈Z},B={x|-1≤x≤2,x∈N*},则A∪B=( )
[A]{0,1} [B]{-1,0,1}
[C]{-1,0,1,2} [D]{0,1,2}
【答案】 C
【解析】 因为A={x||x|≤1,x∈Z}={-1,0,1},
B={x|-1≤x≤2,x∈N*}={1,2},
所以A∪B={-1,0,1,2}.故选C.
2.已知集合A={(x,y)|y=-2x+1},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=( )
[A]{(1,-1)} [B]{(-1,1)}
[C]{(-1,-1)} [D]{1,-1}
【答案】 A
【解析】 解方程组得所以A∩B={(1,-1)}.故选A.
3.设全集U=R,A={x|1≤x≤10,x∈N},B={x|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )
[A]{-3,2} [B]{-3}
[C]{2} [D]{-2,3}
【答案】 C
【解析】 因为A={x|1≤x≤10,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={x|x2+x-6=0}={2,-3},因为题图中阴影部分表示的集合为A∩B,所以A∩B={2}.故选C.
4.已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若A∩B={9},则实数a的值为( )
[A]5或-3 [B]±3
[C]5 [D]-3
【答案】 D
【解析】 因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9或a2=9.
若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},此时A∩B={0,9},故不成立.
若a2=9,则a=3或a=-3,
当a=3时,1-a=-2,a-5=-2,B中有两元素相等,故不成立;
当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},成立.
综上,a=-3.故选D.
5.(多选)设全集U={x|-3[A]U={-2,-1,0,1,2,3,4}
[B]A∩B={-2}
[C]A∪B={-2}
[D]( UA)∪B={-2,-1,0,1,3,4}
【答案】 ABD
【解析】 因为U={x|-3因为A={-2,2},B={-2,4},所以A∩B={-2},A∪B={-2,2,4},故B正确,C错误;
由题意得 UA={-1,0,1,3,4},则( UA)∪B={-2,-1,0,1,3,4},故D正确.故选ABD.
6.(多选)已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若A∪B=A,则实数m的值为( )
[A]-1 [B]0 [C]1 [D]2
【答案】 BD
【解析】 因为A∪B=A,所以B A.
因为B={1,m},所以1∈A且m∈A.
因为A={1,2,m2},所以m=2或m=m2.
①当m=2时,A={1,2,4},B={1,2}满足题意;
②当m=m2时,解得m=1或m=0,
若m=1,集合A与B均不满足集合中元素的互异性;
若m=0,A={1,2,0},B={1,0}满足题意.
综上所述,m=2或m=0.故选BD.
7.(5分)若全集U={n|n是小于9的正整数},A={n|n是奇数,n∈U},B={n|n是3的倍数,n∈U},
则( UA)∩B= , U(A∪B)= .
【答案】 {6} {2,4,8}
【解析】 因为U={n|n是小于9的正整数},所以U={1,2,3,4,5,6,7,8},则A={1,3,5,7},B={3,6},所以 UA={2,4,6,8},A∪B={1,3,5,6,7},所以( UA)∩B={6}, U(A∪B)={2,4,8}.
8.(5分)已知集合A={(x,y)|y>x,x,y∈N*},B={(x,y)|x+y=7},则A∩B的子集个数为 .
【答案】 8
【解析】 因为A={(x,y)|y>x,x,y∈N*},B={(x,y)|x+y=7},
所以A∩B={(x,y)|x+y=7,y>x,x,y∈N*}={(3,4),(2,5),(1,6)},
所以A∩B的子集个数为8.
9.(13分)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2(1)求A∩B;
(2)求 R(A∪B).
【解】 (1)由题意可知A∩B={x|3≤x<7}.
(2)由题意可知A∪B={x|210.(14分)已知集合A={x|0<2x+a≤3},B={x|-(1)当a=-1时,求A∪B和 R(A∩B);
(2)若A B,求实数a的取值集合.
【解】 (1)当a=-1时,集合A={x|0<2x+a≤3}={x|又B={x|-A∩B={x|所以 R(A∩B)={x|x≤或x≥2}.
(2)A={x|0<2x+a≤3}={x|-由A B,得解得-1所以实数a的取值集合是{a|-111.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是( )
[A][-,1)
[B][-,1]
[C](-∞,-1)∪[0,+∞)
[D][-,0)∪(0,1)
【答案】 A
【解析】 因为A∩B=B,所以B A,且集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.
当a=0时,B= A,符合题意;
当a>0时,B={x|ax+1≤0}={x|x≤-},因为B A,所以-<-1,解得0当a<0时,B={x|ax+1≤0}={x|x≥-},
因为B A,所以-≥3,解得a≥-,此时-≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是[-,1).故选A.
12.(5分)已知集合M={x|x2-(a+3)x+3a=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},若M∩N≠ ,则M∪N= .
【答案】 {1,3,4}
【解析】 因为N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},M={x|x2-(a+3)x+3a=0}={x|(x-a)(x-3)=0},
且M∩N≠ ,所以a=1或a=4,则M={a,3},故M∪N={1,3,4}.
13.(16分)已知全集U=R,集合A={x||2x-1|≤7},B={x|2m-1≤x≤4m-2}.
(1)若m=2,求A∩B和A∪( UB);
(2)若A∪B=A,求m的取值范围.
【解】 (1)因为|2x-1|≤7,所以-7≤2x-1≤7,解得-3≤x≤4,即A={x|-3≤x≤4},
当m=2时,B={x|3≤x≤6},
所以A∩B={x|3≤x≤4},
UB={x|x<3或x>6},
所以A∪( UB)={x|x≤4或x>6}.
(2)由A∪B=A,得B A.
当B= 时,2m-1>4m-2,得m<;
当B≠ 时,解得≤m≤.
所以m的取值范围是{m|m≤}.
14.(5分)某年级举行数学、物理、化学三项竞赛,共有88名学生参赛,其中参加数学竞赛的有48人,参加物理竞赛的有48人,参加化学竞赛的有38人,同时参加物理、化学竞赛的有18人,同时参加数学、物理竞赛的有28人,同时参加数学、化学竞赛的有18人,则这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 名.
【答案】 18
【解析】 将参加三种竞赛的人数情况画出Venn图,如图所示.
设这个年级三个学科竞赛都参加的学生有x人,
则只参加数学、化学竞赛的有(18-x)人,只参加物理、化学竞赛的有(18-x)人,只参加数学、物理竞赛的有(28-x)人,
只参加数学竞赛的有48-(18-x)-(28-x)-x=2+x(人),
只参加物理竞赛的有48-(18-x)-(28-x)-x=2+x(人),
只参加化学竞赛的有38-(18-x)-(18-x)-x=2+x(人),
所以参加竞赛的总人数为2+x+2+x+2+x+18-x+18-x+28-x+x=88,
解得x=18,即这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有18名.
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1.3 交集、
并集
【课程标准要求】
1.理解集合的交集与并集的含义,达成数学抽象的核心素养.2.能求集合的交集与并集,培养数学运算的核心素养.
1.交集
(1)定义.
由所有属于集合A 属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作
(读作“A交B”),即A∩B= ,可用Venn图表示.
且
(2)性质.
①A∩B B∩A;②A∩A=A;③A∩ = ;④若A B,则A∩B=A;⑤A∩B A;
⑥A∩B B.
A∩B
{x|x∈A,且x∈B}
=
[做一做1] 已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},则A∩B= .
{x|x是正方形}
2.并集
(1)定义.
由所有属于集合A 属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作
(读作“A并B”),即A∪B= ,可用Venn图表示.
或者
(2)性质.
①A∪B B∪A;②A∪A=A;③A∪ = ∪A=A;④A A∪B;⑤B A∪B;
⑥A∪B=A B A;⑦A∪B=B A B.
A∪B
{x|x∈A,或x∈B}
=
[思考] 并集定义中“x∈A,或x∈B”包含三种情况,你知道是哪三种情况吗
【提示】 “x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:x∈A,但x B;x∈B,但x A;x∈A,且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.可用下图表示.
[做一做2] 若集合A={x|-2≤x<3},B={x|0≤x<4},则A∪B= .
{x|-2≤x<4}
【解析】 将集合A与集合B在数轴上表示出来,如图所示.
根据并集的定义,可知图中阴影部分即为所求,所以A∪B={x|-2≤x<4}.
·拓展总结·
A∪ UA=U,A∩ UA= , U( UA)=A, U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=
( UA)∩( UB).
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a3.区间
设a,b∈R,且a[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
{x|x≥a} [a,+∞)
{x|x>a} (a,+∞)
{x|x≤a} (-∞,a]
{x|xR (-∞,+∞)
[做一做3] 区间[1,2)表示的集合为 .
{x|1≤x<2}
【解析】 根据区间的定义,[1,2)可表示为{x|1≤x<2}.
探究点一 求交集、并集
[例1](1)已知集合A={0,1,2,5,6},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
[A]{1,2} [B]{0,1,2}
[C]{-2,-1} [D]
B
【解析】 (1)因为A={0,1,2,5,6},B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选B.
(2)若集合A={x|-1≤x<2},B={x|0{x|-1≤x≤3}
【解析】 (2)如图所示.
A∪B={x|-1≤x≤3},A∩B={x|0{x|0·方法总结·
求两个集合并集、交集的方法
若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析法写出结果.
提醒:(1)求并集时,不是单纯地合并元素,相同的元素只能写一次.
(2)利用数轴时,要注意端点值的取舍及表示.
[针对训练] 若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},求:
(1)A∩B;
【解】 (1)当a<-2时,A∩B=A={x|-2≤x≤3};
当-2≤a<3时,A∩B={x|a当a≥3时,A∩B= .
(2)A∪B.
【解】 (2)当a<-2时,A∪B=B={x|x>a};
当-2≤a≤3时,A∪B={x|x≥-2};
当a>3时,A∪B={x|-2≤x≤3,或x>a}.
探究点二 利用集合的并、交运算求参数
角度1 利用集合的并、交运算求参数的取值
[例2] 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B=A,求实数a组成的集合C.
【解】 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.
又A∪B=A,所以B A.
①若B= ,即方程ax-2=0无解,此时a=0.
②若B≠ ,则B={1}或B={2}.
当B={1}时,有a-2=0,即a=2;
当B={2}时,有2a-2=0,即a=1.
综上可知,符合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}.
·方法总结·
对于已知两集合的并、交运算,求参数的取值,常采用分类讨论求解.
提醒:对于用列举法表示的集合,在求出参数后不要忘记验证集合中元素的互异性.
[针对训练] 设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R}.若A∩B=B,求a的值.
角度2 利用集合的并、交运算求参数的取值范围
[例3] 已知集合A={x|0≤x≤4},B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
[变式探究1] 将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
[变式探究2] 将本例中“A∪B=A”改为“A∩B= ”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
[变式探究3] 将本例中“A={x|0≤x≤4}”改为“A={x|x<0,或x>4}”,“A∪B=A”改为“A∪B=R”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
·方法总结·
在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A= 的情况,切不可漏掉.
[例4] 将下列集合用区间以及数轴表示出来.
(1){x|x<2};
探究点三 区间的应用
【解】 (1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①.
(2){x|x=0,或1≤x≤5};
【解】 (2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图②.
(3){x|x=3,或4≤x≤8};
【解】 (3){x|x=3,或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4,8];用数轴表示如图③.
(4){x|2≤x≤8,且x≠5};
【解】 (4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图④.
(5){x|3【解】 (5){x|3·方法总结·
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号.
[针对训练] (1)集合{x|x≥0,且x≠2}用区间表示为 .
[0,2)∪(2,+∞)
【解析】 (1){x|x≥0,且x≠2}=[0,2)∪(2,+∞).
(2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是 .
(-1,+∞)
【解析】 (2)由2a+1>a,得a>-1,则a的取值范围为(-1,+∞).