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2.1 命题、
定理、定义
第2章 常用逻辑用语
【课程标准要求】
1.理解并掌握命题的概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握命题的结构形式和命题真假的判断方法,增强逻辑推理的核心素养.3.了解定理、定义的含义,发展数学抽象的核心素养.
1.命题的概念
在数学中,我们将可判断 的 叫作命题.
真假
陈述句
[做一做1] 下列四个命题中,可判断为真的是( )
[A]空集没有子集
[B]{ }是空集
[C]空集的元素个数为0
[D]任何集合至少有两个不同子集
C
【解析】 空集只有一个子集是它本身,故A,D错误;{ }有元素 ,所以不是空集,故B错误;C正确.故选C.
2.命题的结构形式
数学中,许多命题可表示为“ ”或“ ”的形式,其中p叫作 ,q叫作 .
如果p,那么q
若p,则q
命题的条件
命题的结论
[做一做2] 将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为
;此命题是 命题(填“真”或“假”).
如果两个角相等,那么它们的余角也相等
真
3.定理
在数学中,有些已经被证明为 的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.
4.定义
定义是对某些对象标明 、指明 ,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
真
符号
称谓
[例1] 下列语句:
(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 (2)一个数不是合数就是素数;
(3)作△ABC≌△A′B′C′;(4)二次函数的图象太美了!(5)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命题的是 .(填序号)
探究点一 命题的判断
(2)(5)
【解析】 本题主要考查命题的判断,判断依据:一是陈述句;二是看能否判断真假.(1)不是命题;(2)是命题;(3)不是命题;(4)不是命题;(5)是命题.故答案为(2)(5).
·方法总结·
判断一个语句是不是命题的步骤
(1)语句格式是不是陈述句,只有陈述句才有可能是命题.
(2)该语句能否判断真假,语句叙述的内容是否与客观实际相符,是否符合已学过的公理、定理,是明确的,不能模棱两可.
[针对训练]下列语句:
B
【解析】 ②是祈使句,故不是命题,⑤无法判断真假,故不是命题.故选B.
[A]①②③ [B]①③④
[C]③ [D]②⑤
探究点二 命题的构成形式
[例2] 把下列命题改写为“若p,则q”的形式,指出条件和结论.
(1)6是12和18的公约数;
【解】 (1)“若一个数是6,则这个数是12和18的公约数”,条件是“一个数是6”,结论是“这个数是12和18的公约数”.
(2)两个相似三角形是全等三角形.
【解】 (2)“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形”,条件是“两个三角形是相似三角形”,结论是“这两个三角形是全等三角形”.
·方法总结·
将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
[针对训练]指出下列命题的条件与结论并写成“若p,则q”的形式.
(1)偶数能被2整除;
【解】 (1)条件:一个数是偶数,结论:它能被2整除,写成“若p,则q”的形式:若一个数是偶数,则它能被2整除.
(2)平行四边形的两条对角线互相垂直.
【解】 (2)条件:四边形是平行四边形,结论:它的两条对角线互相垂直.写成
“若p,则q”的形式:若四边形是平行四边形,则它的两条对角线互相垂直.
角度1 判定命题的真假
[例3] 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)两个周长相等的三角形面积相等;
探究点三 命题的真假性问题
【解】 (1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等,假命题.
(2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;
【解】 (2)已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2,假命题.
(3)当m>1时,方程x2-2x+m=0无实根;
【解】 (3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实根,真命题.
(4)当abc=0时,a=0且b=0且c=0.
【解】 (4)若abc=0,则a=0且b=0且c=0,假命题.
·方法总结·
判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.
[针对训练] 给出下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,则a+c>b+c;③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有( )
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
B
【解析】 ①由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;②当a>b时,有a+c>b+c成立,是真命题;③矩形的对角线不一定互相垂直,是假命题.故选B.
角度2 利用命题的真假性求参数的取值范围
[例4] 若“方程ax2-3x+2=0的实数根组成的集合至多有一个元素”是假命题,
则实数a的取值范围是 .
·方法总结·
根据命题真假求参数的取值范围的步骤
(1)根据题目条件,推出一个与相关知识联系紧密的比较简单易懂的真命题.
(2)由该命题是真命题列出关于参数的不等式(组).
(3)解不等式(组)求出参数的取值范围.
[针对训练]若x∈[2,5]和x∈{x|x<1,或x>4}都是假命题,则x的取值范围是
.
[1,2)
【解析】 若x∈[2,5]为假命题,则有x∈{x|x<2,或x>5};
若x∈{x|x<1,或x>4}是假命题,则x∈{x|1≤x≤4}.
所以x的取值范围是[1,2).课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列语句是命题的是( )
[A]3是偶数吗
[B]三角形的内角和等于180°
[C]这里的景色真美啊!
[D]请起立
【答案】 B
【解析】 对于A,命题是陈述句不是疑问句,A错误;
对于B,这是陈述句,同时可以对语句作出判断,是命题,B正确;
对于C,这是感叹句,不是命题,C错误;
对于D,这是祈使句,不是命题,D错误.故选B.
2.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是( )
[A]这个数能被2整除
[B]这个数能被3整除
[C]这个数既能被2整除,也能被3整除
[D]这个数是6的倍数
【答案】 C
【解析】 命题可改写为“如果一个数是6的倍数,那么这个数既能被2整除,也能被3整除”.故选C.
3.“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是( )
[A]x>3 [B]x>1
[C]x>0 [D]x>-1
【答案】 A
【解析】 大于2的实数不一定大于3.故选A.
4.(多选)下列说法不正确的是( )
[A]命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
[B]语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”不是命题
[C]命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
[D]“当x=2时,x2-3x+2=0”是真命题
【答案】 AB
【解析】 对于选项A,命题“直角相等”写成“若p,则q”的形式为“若两个角都是直角,则这两个角相等”,所以选项A不正确;
对于选项B,语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是陈述句,
当a>4时,则Δ=(-4)2-4a=4(4-a)<0,方程x2-4x+a=0无实根,
即“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”为假命题,
故该语句是命题,所以选项B不正确;
对于选项C,由菱形的定义和性质可知,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题,所以选项C正确;
对于选项D,当x=2时,22-3×2+2=0,
所以“当x=2时,x2-3x+2=0”是真命题,所以选项D正确.故选AB.
5.(多选)下列命题是假命题的是( )
[A]形如a+b的数是无理数
[B]函数y=ax2+x+1是二次函数
[C]两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比
[D]若x+y为有理数,则x,y都是有理数
【答案】 ABD
【解析】 对于A,当a=1-b时,可得a+b=1为有理数,所以A错误;
对于B,当a=0时,函数y=ax2+x+1=x+1是一次函数,所以B错误;
对于C,两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比,所以C正确;
对于D,当x=2+,y=2-时,x+y为有理数,但x,y都不是有理数,所以D错误.故选ABD.
6.已知命题:“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①M中的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素;③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 根据命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,可得M不是P的
子集.
对于①,集合M虽然不是所有元素都在P中,但可能有属于P的元素,因此①是假命题;
对于②,因为M不是P的子集,所以必定有不属于P的元素,故②是真命题;
同理不能确定M中有没有属于P的元素,故③是假命题;
对于④,由子集的定义可得,既然M不是P的子集,那么必定有不属于P的元素,因此M中的元素不都是P的元素,可得④是真命题.故选B.
7.(5分)设a∈R,则命题“关于x的方程ax=1的解集为{}”是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 假
【解析】 当a=0时,方程ax=1无解;当a≠0时,方程ax=1的解为x=,
所以命题“关于x的方程ax=1的解集为{}”是假命题.
8.(5分)命题“若x Q,则x2∈Q”是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 假
【解析】 如x=π,此时x Q,π2 Q,故原命题为假命题.
9.(12分)将下列命题改写成“若p,则q”的形式.
(1)在△ABC中,大角对大边;
(2)矩形的对角线互相垂直;
(3)相等的两个角的正弦值相等;
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.
【解】 (1)在△ABC中,若一内角较大,则其所对的边也较大.
(2)若一个四边形是矩形,则这个四边形的对角线互相垂直.
(3)若两个角相等,则它们的正弦值相等.
(4)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形.
10.(14分)判断下列命题的真假.
(1)若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1;
(2)若x>y,则x2>y2;
(3)若集合M,N满足M∩N=M,则N M.
【解】 (1)假设a≤1,b≤1,则a+b≤2,与已知条件a+b>2矛盾,故假设不成立,所以a,b中至少有一个大于1,故原命题是真命题.
(2)例如x=1,y=-2,满足x>y,但x2>y2不成立,故原命题是假命题.
(3)若M∩N=M,则M N,故原命题是假命题.
11.(多选)若“关于x的方程x2+2x+2-a=0至少有一个实数根”是真命题,则实数a的取值可以是( )
[A]1 [B]0 [C]3 [D]-3
【答案】 AC
【解析】 由于命题“x2+2x+2-a=0至少有一个实数根”为真命题,则Δ=22-4(2-a)=4a-4≥0,解得a≥1.故选AC.
12.(5分)设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.则下列命题是真命题的命题序号为 .
①若a∈A,b∈B,则a+b∈C;②若a∈A,b∈C,则a+b∈B;③若a∈B,b∈C,则a+b∈A;
④若a∈C,b∈C,则a-b∈A;⑤若a∈B,b∈B,则a·b∈C.
【答案】 ②③④
【解析】 若a=2,b=1,则a+b=3 C,①错误;
a+b=2k1+4k2+1=2(k1+2k2)+1∈B,k1,k2∈Z,②正确;
a+b=2k1+1+4k2+1=2(k1+2k2+1)∈A,k1,k2∈Z,③正确;
a-b=4k1+1-4k2-1=2(2k1-2k2)∈A,k1,k2∈Z,④正确;
若a=3,b=1,则a·b=3 C,⑤错误.
13.(16分)如图,现有以下三个条件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F,请你以其中两个作为条件,另一个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题
(2)你构造的命题是真命题还是假命题 若是真命题,请说明理由;若是假命题,请举出反例.
【解】 (1)若①②,则③;若①③,则②;若②③,则①.
(2)因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF,
又因为∠B=∠C,所以∠C=∠CDF,
所以CE∥BF,所以∠E=∠F,
所以若①②,则③为真命题;
因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF,
又因为∠E=∠F,所以CE∥BF,
所以∠C=∠CDF,所以∠B=∠C,
所以若①③,则②为真命题;
因为∠E=∠F,所以CE∥BF,
所以∠C=∠CDF,
又因为∠B=∠C,所以∠B=∠CDF,
所以AB∥CD,
所以若②③,则①为真命题.
14.(5分)某同学学完集合的基本运算后,自己定义了如下集合运算:A*B={x|x∈A且x B}.他列举了如下命题:
①对于任意集合A,A*A= ;
②对于任意集合A,B,A*B=B*A;
③对于任意集合A,B,A*B A;
④若A∩B=A,则A*B= .
其中,所有正确命题的序号是 .
【答案】 ①③④
【解析】 对于命题①,由新定义,若x∈A*A,则x∈A且x A,而这显然不可能,
这表明了此时x不存在,即A*A= ,故命题①正确;
对于命题②,不妨设A={1,2},B={1,3},由新定义得A*B={2},B*A={3},
这表明了此时A*B≠B*A,故命题②不正确;
对于命题③,由新定义,若x∈A*B,则一定有x∈A且x B,
这表明了此时集合A*B是集合A的子集,即A*B A,故命题③正确;
对于命题④,若A∩B=A,则A B,即若x∈A,则一定有x∈B,
由新定义,若x∈A*B,则x∈A且x B,而这显然不可能,
这表明了此时x不存在,即若A∩B=A,则A*B= ,故命题④正确.
综上所述,所有正确命题的序号是①③④.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【课程标准要求】 1.理解并掌握命题的概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握命题的结构形式和命题真假的判断方法,增强逻辑推理的核心素养.3.了解定理、定义的含义,发展数学抽象的核心素养.
1.命题的概念
在数学中,我们将可判断真假的陈述句叫作命题.
[做一做1] 下列四个命题中,可判断为真的是( )
[A]空集没有子集
[B]{ }是空集
[C]空集的元素个数为0
[D]任何集合至少有两个不同子集
【答案】 C
【解析】 空集只有一个子集是它本身,故A,D错误;{ }有元素 ,所以不是空集,故B错误;
C正确.故选C.
2.命题的结构形式
数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的条件,
q叫作命题的结论.
[做一做2] 将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为 ;此命题是 命题(填“真”或“假”).
【答案】 如果两个角相等,那么它们的余角也相等 真
3.定理
在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.
4.定义
定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
探究点一 命题的判断
[例1] 下列语句:
(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 (2)一个数不是合数就是素数;
(3)作△ABC≌△A′B′C′;(4)二次函数的图象太美了!(5)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命题的是 .(填序号)
【答案】 (2)(5)
【解析】 本题主要考查命题的判断,判断依据:一是陈述句;二是看能否判断真假.(1)不是命题;(2)是命题;(3)不是命题;(4)不是命题;(5)是命题.故答案为(2)(5).
判断一个语句是不是命题的步骤
(1)语句格式是不是陈述句,只有陈述句才有可能是命题.
(2)该语句能否判断真假,语句叙述的内容是否与客观实际相符,是否符合已学过的公理、定理,是明确的,不能模棱两可.
[针对训练]下列语句:
①3>2;②作射线AB;③sin 30°=;④方程x2-1=0有一个根是-1;⑤x<1.其中是命题的是( )
[A]①②③ [B]①③④
[C]③ [D]②⑤
【答案】 B
【解析】 ②是祈使句,故不是命题,⑤无法判断真假,故不是命题.故选B.
探究点二 命题的构成形式
[例2] 把下列命题改写为“若p,则q”的形式,指出条件和结论.
(1)6是12和18的公约数;
(2)两个相似三角形是全等三角形.
【解】 (1)“若一个数是6,则这个数是12和18的公约数”,条件是“一个数是6”,结论是“这个数是12和18的公约数”.
(2)“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形”,条件是“两个三角形是相似三角形”,结论是“这两个三角形是全等三角形”.
将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
[针对训练]指出下列命题的条件与结论并写成“若p,则q”的形式.
(1)偶数能被2整除;
(2)平行四边形的两条对角线互相垂直.
【解】 (1)条件:一个数是偶数,结论:它能被2整除,写成“若p,则q”的形式:若一个数是偶数,则它能被2整除.
(2)条件:四边形是平行四边形,结论:它的两条对角线互相垂直.写成“若p,则q”的形式:若四边形是平行四边形,则它的两条对角线互相垂直.
探究点三 命题的真假性问题
角度1 判定命题的真假
[例3] 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)两个周长相等的三角形面积相等;
(2)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;
(3)当m>1时,方程x2-2x+m=0无实根;
(4)当abc=0时,a=0且b=0且c=0.
【解】 (1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等,假命题.
(2)已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3,x=2,假命题.
(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实根,真命题.
(4)若abc=0,则a=0且b=0且c=0,假命题.
判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.
[针对训练] 给出下列命题:
①若xy=0,则|x|+|y|=0;②若a>b,则a+c>b+c;③矩形的对角线互相垂直.
其中真命题共有( )
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
【答案】 B
【解析】 ①由xy=0得到x=0或y=0,所以|x|+|y|=0不一定成立,是假命题;②当a>b时,有a+c>b+c成立,是真命题;③矩形的对角线不一定互相垂直,是假命题.故选B.
角度2 利用命题的真假性求参数的取值范围
[例4] 若“方程ax2-3x+2=0的实数根组成的集合至多有一个元素”是假命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,0)∪(0,)
【解析】 “方程ax2-3x+2=0的实数根组成的集合至多有一个元素”是假命题,
等价于“方程ax2-3x+2=0的实数根组成的集合有两个元素”是真命题,
所以有解得a<且a≠0,即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,).
根据命题真假求参数的取值范围的步骤
(1)根据题目条件,推出一个与相关知识联系紧密的比较简单易懂的真命题.
(2)由该命题是真命题列出关于参数的不等式(组).
(3)解不等式(组)求出参数的取值范围.
[针对训练]若x∈[2,5]和x∈{x|x<1,或x>4}都是假命题,则x的取值范围是 .
【答案】 [1,2)
【解析】 若x∈[2,5]为假命题,则有x∈{x|x<2,或x>5};
若x∈{x|x<1,或x>4}是假命题,则x∈{x|1≤x≤4}.
所以x的取值范围是[1,2).
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列语句是命题的是( )
[A]3是偶数吗
[B]三角形的内角和等于180°
[C]这里的景色真美啊!
[D]请起立
【答案】 B
【解析】 对于A,命题是陈述句不是疑问句,A错误;
对于B,这是陈述句,同时可以对语句作出判断,是命题,B正确;
对于C,这是感叹句,不是命题,C错误;
对于D,这是祈使句,不是命题,D错误.故选B.
2.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是( )
[A]这个数能被2整除
[B]这个数能被3整除
[C]这个数既能被2整除,也能被3整除
[D]这个数是6的倍数
【答案】 C
【解析】 命题可改写为“如果一个数是6的倍数,那么这个数既能被2整除,也能被3整除”.故选C.
3.“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是( )
[A]x>3 [B]x>1
[C]x>0 [D]x>-1
【答案】 A
【解析】 大于2的实数不一定大于3.故选A.
4.(多选)下列说法不正确的是( )
[A]命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
[B]语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”不是命题
[C]命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题
[D]“当x=2时,x2-3x+2=0”是真命题
【答案】 AB
【解析】 对于选项A,命题“直角相等”写成“若p,则q”的形式为“若两个角都是直角,则这两个角相等”,所以选项A不正确;
对于选项B,语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是陈述句,
当a>4时,则Δ=(-4)2-4a=4(4-a)<0,方程x2-4x+a=0无实根,
即“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”为假命题,
故该语句是命题,所以选项B不正确;
对于选项C,由菱形的定义和性质可知,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题,所以选项C正确;
对于选项D,当x=2时,22-3×2+2=0,
所以“当x=2时,x2-3x+2=0”是真命题,所以选项D正确.故选AB.
5.(多选)下列命题是假命题的是( )
[A]形如a+b的数是无理数
[B]函数y=ax2+x+1是二次函数
[C]两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比
[D]若x+y为有理数,则x,y都是有理数
【答案】 ABD
【解析】 对于A,当a=1-b时,可得a+b=1为有理数,所以A错误;
对于B,当a=0时,函数y=ax2+x+1=x+1是一次函数,所以B错误;
对于C,两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比,所以C正确;
对于D,当x=2+,y=2-时,x+y为有理数,但x,y都不是有理数,所以D错误.故选ABD.
6.已知命题:“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①M中的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素;③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 根据命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,可得M不是P的
子集.
对于①,集合M虽然不是所有元素都在P中,但可能有属于P的元素,因此①是假命题;
对于②,因为M不是P的子集,所以必定有不属于P的元素,故②是真命题;
同理不能确定M中有没有属于P的元素,故③是假命题;
对于④,由子集的定义可得,既然M不是P的子集,那么必定有不属于P的元素,因此M中的元素不都是P的元素,可得④是真命题.故选B.
7.(5分)设a∈R,则命题“关于x的方程ax=1的解集为{}”是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 假
【解析】 当a=0时,方程ax=1无解;当a≠0时,方程ax=1的解为x=,
所以命题“关于x的方程ax=1的解集为{}”是假命题.
8.(5分)命题“若x Q,则x2∈Q”是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 假
【解析】 如x=π,此时x Q,π2 Q,故原命题为假命题.
9.(12分)将下列命题改写成“若p,则q”的形式.
(1)在△ABC中,大角对大边;
(2)矩形的对角线互相垂直;
(3)相等的两个角的正弦值相等;
(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.
【解】 (1)在△ABC中,若一内角较大,则其所对的边也较大.
(2)若一个四边形是矩形,则这个四边形的对角线互相垂直.
(3)若两个角相等,则它们的正弦值相等.
(4)若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形.
10.(14分)判断下列命题的真假.
(1)若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1;
(2)若x>y,则x2>y2;
(3)若集合M,N满足M∩N=M,则N M.
【解】 (1)假设a≤1,b≤1,则a+b≤2,与已知条件a+b>2矛盾,故假设不成立,所以a,b中至少有一个大于1,故原命题是真命题.
(2)例如x=1,y=-2,满足x>y,但x2>y2不成立,故原命题是假命题.
(3)若M∩N=M,则M N,故原命题是假命题.
11.(多选)若“关于x的方程x2+2x+2-a=0至少有一个实数根”是真命题,则实数a的取值可以是( )
[A]1 [B]0 [C]3 [D]-3
【答案】 AC
【解析】 由于命题“x2+2x+2-a=0至少有一个实数根”为真命题,则Δ=22-4(2-a)=4a-4≥0,解得a≥1.故选AC.
12.(5分)设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.则下列命题是真命题的命题序号为 .
①若a∈A,b∈B,则a+b∈C;②若a∈A,b∈C,则a+b∈B;③若a∈B,b∈C,则a+b∈A;
④若a∈C,b∈C,则a-b∈A;⑤若a∈B,b∈B,则a·b∈C.
【答案】 ②③④
【解析】 若a=2,b=1,则a+b=3 C,①错误;
a+b=2k1+4k2+1=2(k1+2k2)+1∈B,k1,k2∈Z,②正确;
a+b=2k1+1+4k2+1=2(k1+2k2+1)∈A,k1,k2∈Z,③正确;
a-b=4k1+1-4k2-1=2(2k1-2k2)∈A,k1,k2∈Z,④正确;
若a=3,b=1,则a·b=3 C,⑤错误.
13.(16分)如图,现有以下三个条件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F,请你以其中两个作为条件,另一个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题
(2)你构造的命题是真命题还是假命题 若是真命题,请说明理由;若是假命题,请举出反例.
【解】 (1)若①②,则③;若①③,则②;若②③,则①.
(2)因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF,
又因为∠B=∠C,所以∠C=∠CDF,
所以CE∥BF,所以∠E=∠F,
所以若①②,则③为真命题;
因为AB∥CD,所以∠B=∠CDF,
又因为∠E=∠F,所以CE∥BF,
所以∠C=∠CDF,所以∠B=∠C,
所以若①③,则②为真命题;
因为∠E=∠F,所以CE∥BF,
所以∠C=∠CDF,
又因为∠B=∠C,所以∠B=∠CDF,
所以AB∥CD,
所以若②③,则①为真命题.
14.(5分)某同学学完集合的基本运算后,自己定义了如下集合运算:A*B={x|x∈A且x B}.他列举了如下命题:
①对于任意集合A,A*A= ;
②对于任意集合A,B,A*B=B*A;
③对于任意集合A,B,A*B A;
④若A∩B=A,则A*B= .
其中,所有正确命题的序号是 .
【答案】 ①③④
【解析】 对于命题①,由新定义,若x∈A*A,则x∈A且x A,而这显然不可能,
这表明了此时x不存在,即A*A= ,故命题①正确;
对于命题②,不妨设A={1,2},B={1,3},由新定义得A*B={2},B*A={3},
这表明了此时A*B≠B*A,故命题②不正确;
对于命题③,由新定义,若x∈A*B,则一定有x∈A且x B,
这表明了此时集合A*B是集合A的子集,即A*B A,故命题③正确;
对于命题④,若A∩B=A,则A B,即若x∈A,则一定有x∈B,
由新定义,若x∈A*B,则x∈A且x B,而这显然不可能,
这表明了此时x不存在,即若A∩B=A,则A*B= ,故命题④正确.
综上所述,所有正确命题的序号是①③④.
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