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2.2 充分条件、
必要条件、充要条件
第1课时 充分条件、必要条件
【课程标准要求】
1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义及判定定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义及性质定理与必要条件的关系.
充分条件与必要条件
(1)一般地,当命题“若p,则q”为真命题时,我们就说“由p可以推出q成立”,记作
“ ”,读作“p推出q”,此时,称 是 的充分条件,也称 是 的必要条件.
(2)如果命题“若p,则q”为假命题,就说“由p不能推出q成立”,记作“ ”,读作“p不能推出q”,此时,称p不是q的充分条件,也称q不是p的必要条件.
(3)一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
p q
p
q
q
p
[做一做1] 若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]无法判断
A
[做一做2] 已知p:x>1,q:x>2,则p是q的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]以上答案均不正确
B
[例1] 指出下列“若p,则q”的命题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.
(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;
探究点一 充分条件、必要条件的判定
【解】 (1)这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
【解】 (2)这是三角形相似的一条性质定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
【解】 (3)这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB.
【解】 (4)这是线段垂直平分线的性质,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
·方法总结·
充分条件、必要条件的两种判断方法
(2)命题真假判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
[针对训练]在下列各题中,分析p与q的关系.
(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;
【解】 (1)由于p q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形.
【解】 (2)由于q p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.
探究点二 利用集合间的关系判断充分条件、必要条件
[例2] 指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:x<1,q:x≤2;
(2)p:x>0,y>0,q:xy>0;
(3)p:0
·方法总结·
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
(1)若A B,则p是q的充分条件.
(2)若B A,则p是q的必要条件.
(3)若A B,则p是q的充分且不必要条件.
(4)若B A,则p是q的必要且不充分条件.
(5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分又不必要条件.
[针对训练]若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0,或x≥5},则“x∈P”是“x∈ RQ”的( )
[A]充分条件但不是必要条件
[B]必要条件但不是充分条件
[C]既是充分条件又是必要条件
[D]既不充分又不必要条件
A
[例3] 已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围;
探究点三 由充分条件、必要条件求参数
(2)若p是q的必要且不充分条件,求实数a的取值范围.
·方法总结·
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的包含关系,然后建立满足条件的有关参数的不等式(组),最后进行求解.
[针对训练] 已知p:实数x满足3a【课程标准要求】 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义及判定定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义及性质定理与必要条件的关系.
充分条件与必要条件
(1)一般地,当命题“若p,则q”为真命题时,我们就说“由p可以推出q成立”,记作“p q”,读作“p推出q”,此时,称p是 q的充分条件,也称q是p的必要条件.
(2)如果命题“若p,则q”为假命题,就说“由p不能推出q成立”,记作“pq”,读作“p不能推出q”,此时,称p不是q的充分条件,也称q不是p的必要条件.
(3)一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
[做一做1] 若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]无法判断
【答案】 A
[做一做2] 已知p:x>1,q:x>2,则p是q的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]以上答案均不正确
【答案】 B
【解析】 因为x>1x>2,但x>2 x>1,所以pq,但q p,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.故选B.
探究点一 充分条件、必要条件的判定
[例1] 指出下列“若p,则q”的命题中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.
(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上,则PA=PB.
【解】 (1)这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要
条件.
(2)这是三角形相似的一条性质定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(3)这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(4)这是线段垂直平分线的性质,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①在“若p,则q”的命题中,若p q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②若pq,则p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
(2)命题真假判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
[针对训练]在下列各题中,分析p与q的关系.
(1)p:x>2且y>3,q:x+y>5;
(2)p:一个四边形的四个角都相等,q:四边形是正方形.
【解】 (1)由于p q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)由于q p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件.
探究点二 利用集合间的关系判断充分条件、必要条件
[例2] 指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:x<1,q:x≤2;
(2)p:x>0,y>0,q:xy>0;
(3)p:0【解】 (1)因为{x|x<1} {x|x≤2},所以p q,但qp,p是q的充分且不必要条件.
(2)因为{(x,y)|x>0,y>0} {(x,y)|xy>0},所以p q,但qp,p是q的充分且不必要条件.
(3)因为{x|0若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有下列结论:
(1)若A B,则p是q的充分条件.
(2)若B A,则p是q的必要条件.
(3)若A B,则p是q的充分且不必要条件.
(4)若B A,则p是q的必要且不充分条件.
(5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分又不必要条件.
[针对训练]若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0,或x≥5},则“x∈P”是“x∈ RQ”的( )
[A]充分条件但不是必要条件
[B]必要条件但不是充分条件
[C]既是充分条件又是必要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 A
【解析】 因为Q={x|x≤0,或x≥5},所以 RQ={x|0探究点三 由充分条件、必要条件求参数
[例3] 已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要且不充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 设p:x-2>0对应的集合为A={x|x>2},
q:ax-4>0对应的集合为B={x|ax-4>0}.
(1)若p是q的充分条件,则A B,
故所以a≥2,
即实数a的取值范围为{a|a≥2}.
(2)若p是q的必要且不充分条件,则B A,
当a<0时,B={x|x<},不符合题意;
故所以0即实数a的取值范围为{a|0充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的包含关系,然后建立满足条件的有关参数的不等式(组),最后进行求解.
[针对训练] 已知p:实数x满足3a条件,求实数a的取值范围.
【解】 设集合A={x|3a因为p是q的充分条件,所以A B,
所以解得-≤a<0,
所以实数a的取值范围是[-,0).
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.使x>3成立的一个充分条件是( )
[A]x>4 [B]x>0
[C]x>2 [D]x<2
【答案】 A
【解析】 只有x>4 x>3,其他选项均不可推出x>3.故选A.
2.下列p是q的必要条件的是( )
[A]p:a=1,q:|a|=1
[B]p:-1[C]p:a[D]p:a>b,q:a>b+1
【答案】 D
【解析】 要满足p是q的必要条件,即q p,只有q:a>b+1 q:a-b>1>0 p:a>b.故选D.
3.使|x|=x成立的一个必要条件但不是充分条件的是( )
[A]x≥0 [B]x≥-1
[C]≥0 [D]>0
【答案】 B
【解析】 由|x|=x,得x≥0.选项A和C既是必要条件也是充分条件,不符合题意;选项D是充分条件但不是必要条件,不符合题意;选项B满足题意.故选B.
4.已知集合A={3,m},B={1,3,5},则“m=1”是“A B”的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]充分条件,也是必要条件
【答案】 A
【解析】 若A B,则m∈B且m≠3,所以m=1或m=5.故当m=1时,有A B;当A B时,m不一定是1.故“m=1”是“A B”的充分条件,不是必要条件.故选A.
5.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是( )
[A]若=,则x=y
[B]若x2=1,则x=1
[C]若x=y,则=
[D]若x∈R,则x∈N
【答案】 BCD
【解析】 若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.对于A,当x=y=0时,推不出=,A不正确;对于B,x=1 x2=1,B正确;对于C,= x=y,C正确;对于D,x∈N x∈R,D正确.
故选BCD.
6.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
[A]a>0,b>0 [B]a+b>0
[C]a<0,b<0 [D]a>1,b>1
【答案】 ACD
【解析】 因为a>0,b>0 ab>0,a<0,b<0 ab>0,a>1,b>1 ab>0,所以选项A,C,D都是使ab>0成立的充分条件.故选ACD.
7.(5分)若“x≥1”是“x≥m”的充分且不必要条件,则实数m的取值范围为 .
【答案】 {m|m<1}
【解析】 由题意得{x|x≥1} {x|x≥m},所以m<1,即实数m的取值范围为{m|m<1}.
8.(5分)设集合A={1,2},
(1)“x∈A”是“x∈B”的充分条件,但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件,请写出一个集合B= ;
(2)“x∈A”是“x∈B”的必要条件,但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件,请写出一个集合B= .
【答案】 (1){1,2,3}(答案不唯一) (2){1}(答案不唯一)
【解析】 (1)由题意得集合A是集合B的真子集,由此可知B={1,2,3}符合题意.
(2)由题意得集合B是集合A的真子集,由此可知B={1}符合题意.
9.(12分)指出下列命题中,p是q的什么条件:
(1)p:x2=2x+1,q:x=;
(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
【解】 (1)因为x2=2x+1x=,x= x2=2x+1,所以p是q的必要条件.
(2)因为a2+b2=0 a=b=0 a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分条件.
(3)因为(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)·(y-2)=0,
(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,所以p是q的充分条件.
10.(14分)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件
【解】 (1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,
则只要{x|x<-} {x|x<-1,或x>3},
即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要满足{x|x<-1,或x>3} {x|x<-},但这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
11.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要条件但不是充分条件是( )
[A]a<0 [B]a>0
[C]a<1 [D]a>1
【答案】 C
【解析】 设一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)的两根为x1,x2,因为两根一正一负,
所以Δ=4-4a>0且x1x2=<0,所以a<0.又a<1a<0,但a<0 a<1,
所以“a<1”是“a<0”的必要条件但不是充分条件.故选C.
12.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,但不是必要条件,则m的取值范围是( )
[A]{m|m≤3} [B]{m|2≤m≤3}
[C] [D]{m|2【答案】 A
【解析】 由“x∈B”是“x∈A”的充分条件,但不是必要条件,得B A.
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,前两个等号不能同时取得,解得2≤m≤3.
综上,m的取值范围是{m|m≤3}.故选A.
13.(17分)已知条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<或x>1,求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
【解】 依题意a>0.由条件p:x<1-a或x>1+a,
可设M={x|x<1-a,或x>1+a};
由条件q:x<或x>1,可设N={x|x<,或x>1}.
要使p是q的充分条件但不是必要条件,
则M N,应有或
解得a≥.
令a=1,则M={x|x<0,或x>2} N={x|x<,或x>1},即p q,且qp,
所以满足条件的最小正整数a=1.
14.(5分)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x≥b-a},若“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,则实数b的取值范围为 .
【答案】 (-∞,1]
【解析】 若A∩B=A,则A B,则b-a≤-1,即b≤a-1,
要使“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,只需b≤2-1=1,
所以实数b的取值范围为(-∞,1].
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1课时 充分条件、必要条件
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.使x>3成立的一个充分条件是( )
[A]x>4 [B]x>0
[C]x>2 [D]x<2
【答案】 A
【解析】 只有x>4 x>3,其他选项均不可推出x>3.故选A.
2.下列p是q的必要条件的是( )
[A]p:a=1,q:|a|=1
[B]p:-1[C]p:a[D]p:a>b,q:a>b+1
【答案】 D
【解析】 要满足p是q的必要条件,即q p,只有q:a>b+1 q:a-b>1>0 p:a>b.故选D.
3.使|x|=x成立的一个必要条件但不是充分条件的是( )
[A]x≥0 [B]x≥-1
[C]≥0 [D]>0
【答案】 B
【解析】 由|x|=x,得x≥0.选项A和C既是必要条件也是充分条件,不符合题意;选项D是充分条件但不是必要条件,不符合题意;选项B满足题意.故选B.
4.已知集合A={3,m},B={1,3,5},则“m=1”是“A B”的( )
[A]充分条件
[B]必要条件
[C]既不充分又不必要条件
[D]充分条件,也是必要条件
【答案】 A
【解析】 若A B,则m∈B且m≠3,所以m=1或m=5.故当m=1时,有A B;当A B时,m不一定是1.故“m=1”是“A B”的充分条件,不是必要条件.故选A.
5.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是( )
[A]若=,则x=y
[B]若x2=1,则x=1
[C]若x=y,则=
[D]若x∈R,则x∈N
【答案】 BCD
【解析】 若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.对于A,当x=y=0时,推不出=,A不正确;对于B,x=1 x2=1,B正确;对于C,= x=y,C正确;对于D,x∈N x∈R,D正确.
故选BCD.
6.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
[A]a>0,b>0 [B]a+b>0
[C]a<0,b<0 [D]a>1,b>1
【答案】 ACD
【解析】 因为a>0,b>0 ab>0,a<0,b<0 ab>0,a>1,b>1 ab>0,所以选项A,C,D都是使ab>0成立的充分条件.故选ACD.
7.(5分)若“x≥1”是“x≥m”的充分且不必要条件,则实数m的取值范围为 .
【答案】 {m|m<1}
【解析】 由题意得{x|x≥1} {x|x≥m},所以m<1,即实数m的取值范围为{m|m<1}.
8.(5分)设集合A={1,2},
(1)“x∈A”是“x∈B”的充分条件,但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件,请写出一个集合B= ;
(2)“x∈A”是“x∈B”的必要条件,但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件,请写出一个集合B= .
【答案】 (1){1,2,3}(答案不唯一) (2){1}(答案不唯一)
【解析】 (1)由题意得集合A是集合B的真子集,由此可知B={1,2,3}符合题意.
(2)由题意得集合B是集合A的真子集,由此可知B={1}符合题意.
9.(12分)指出下列命题中,p是q的什么条件:
(1)p:x2=2x+1,q:x=;
(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
【解】 (1)因为x2=2x+1x=,x= x2=2x+1,所以p是q的必要条件.
(2)因为a2+b2=0 a=b=0 a+b=0,a+b=0a2+b2=0,所以p是q的充分条件.
(3)因为(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)·(y-2)=0,
(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,所以p是q的充分条件.
10.(14分)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件
【解】 (1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,
则只要{x|x<-} {x|x<-1,或x>3},
即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要满足{x|x<-1,或x>3} {x|x<-},但这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
11.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要条件但不是充分条件是( )
[A]a<0 [B]a>0
[C]a<1 [D]a>1
【答案】 C
【解析】 设一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)的两根为x1,x2,因为两根一正一负,
所以Δ=4-4a>0且x1x2=<0,所以a<0.又a<1a<0,但a<0 a<1,
所以“a<1”是“a<0”的必要条件但不是充分条件.故选C.
12.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若“x∈B”是“x∈A”的充分条件,但不是必要条件,则m的取值范围是( )
[A]{m|m≤3} [B]{m|2≤m≤3}
[C] [D]{m|2【答案】 A
【解析】 由“x∈B”是“x∈A”的充分条件,但不是必要条件,得B A.
当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,前两个等号不能同时取得,解得2≤m≤3.
综上,m的取值范围是{m|m≤3}.故选A.
13.(17分)已知条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<或x>1,求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
【解】 依题意a>0.由条件p:x<1-a或x>1+a,
可设M={x|x<1-a,或x>1+a};
由条件q:x<或x>1,可设N={x|x<,或x>1}.
要使p是q的充分条件但不是必要条件,
则M N,应有或
解得a≥.
令a=1,则M={x|x<0,或x>2} N={x|x<,或x>1},即p q,且qp,
所以满足条件的最小正整数a=1.
14.(5分)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x≥b-a},若“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,则实数b的取值范围为 .
【答案】 (-∞,1]
【解析】 若A∩B=A,则A B,则b-a≤-1,即b≤a-1,
要使“a=2”是“A∩B=A”的充分条件,只需b≤2-1=1,
所以实数b的取值范围为(-∞,1].
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