2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列命题是全称量词命题的是( )
[A] x∈R,x2>
[B]存在一个菱形的对角线不相等
[C]偶数的平方是偶数
[D]有一个数不能作除数
【答案】 C
【解析】 对于A,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意;
对于B,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意;
对于C,原命题等价于所有偶数的平方是偶数,此命题为全称量词命题,符合题意;
对于D,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意.故选C.
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除.
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 B
【解析】 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题.故有一个存在量词命题.故选B.
3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是( )
[A] x∈R,2x+1>0
[B]若2x为偶数,则x∈N
[C]菱形的四条边都相等
[D]π是无理数
【答案】 C
【解析】 对于A,是全称量词命题,但不是真命题,故A错误;
对于B,是全称量词命题,但不是真命题,故B错误;
对于C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;
对于D,是真命题,但不是全称量词命题,故D错误.故选C.
4.下列命题既是存在量词命题,又是真命题的是( )
[A]斜三角形的内角是锐角或钝角
[B]至少有一个x∈R,使x2≤0
[C]两个无理数的和是无理数
[D]存在一个负数x,使>2
【答案】 B
【解析】 A,C为全称量词命题;B是存在量词命题,当x=0时,x2=0,此命题为真命题;D显然是假命题.故选B.
5.已知下列四个命题:
① x∈N,x2-2是质数;
② x∈R,x+|x|=0;
③ x∈R,x2>2x+3;
④ x∈Z,x2+x为奇数.
其中真命题共有( )
[A]1个 [B]2个 [C]3个 [D]4个
【答案】 A
【解析】 对于①,当x=2时,x2-2=2为质数,故是真命题;
对于②,当x=1时,x+|x|=2≠0,故是假命题;
对于③,当x=1时,12<2×1+3,故是假命题;
对于④,当x是整数时,x2+x=x(x+1)是偶数,故是假命题.故选A.
6.若命题“ x∈R,x2-1>m”是真命题,则实数m的取值范围是( )
[A](-∞,-1] [B](-∞,-1)
[C][-1,+∞) [D](-1,+∞)
【答案】 B
【解析】 x∈R,x2-1的最小值是-1,因此m<-1.故选B.
7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)>0”用“ ”写成存在量词命题为 .
【答案】 x<0,(1+x)(1-9x2)>0
【解析】 命题可分两部分,条件“有些负数”写为“ x<0”,结论“不等式(1+x)(1-9x2)>0”写为“(1+x)(1-9x2)>0”.
8.(5分)若命题“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴的下方”为真命题,
则实数a的取值范围是 .
【答案】 {a|a≥12}(或[12,+∞))
【解析】 由已知得{x|0<2x-3<5}={x|9.(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1) x∈R,x-2≤0;
(2)三角形两边之和大于第三边;
(3)有些整数是偶数.
【解】 (1)存在量词命题.当x=1时,x-2=-1<0,故存在量词命题“ x∈R,x-2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.在三角形中,任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数,2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
10.(15分)已知命题“ -3≤x≤2,3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 由3a+x-2=0,得x=2-3a,
因为-3≤x≤2,所以-3≤2-3a≤2,解得0≤a≤,
故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}.
11.(多选)给出下列四个命题,其中为真命题的是( )
[A] x∈R,|x|+|x-1|>0
[B] x∈N,(x-1)2>0
[C] x∈R,x+-1<0
[D] x∈N,x2-x+<0
【答案】 AC
【解析】 因为|x|≥0,|x-1|≥0,所以|x|+|x-1|≥0,由于x=0,x=1不能同时取得,
所以 x∈R,|x|+|x-1|>0为真命题,故A正确;
当x=1时,(x-1)2=0,所以 x∈N,(x-1)2>0为假命题,故B错误;
当x=-1时,x+-1<0成立,故 x∈R,x+-1<0为真命题,故C正确;
因为x2-x+=-,x∈N,所以当x=0或x=1时,有最小值,故 x∈N,x2-x+<0为假命题,故D错误.故选AC.
12.(5分)若“ x∈R,x2+3x+m=0”是真命题,则实数m的取值范围是 .
【答案】 (-∞,]
【解析】 由已知,得Δ=32-4m≥0,解得m≤,
所以实数m的取值范围是(-∞,].
13.(16分)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|m+3≤x≤2m+4},且B≠ .
(1)若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围.
【解】 (1)由于命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,
所以B A,又B≠ ,所以
解得-1≤m≤1.
即m的取值范围是{m|-1≤m≤1}.
(2)由于命题q为真命题,则A∩B≠ ,
因为B≠ ,所以m≥-1.
所以所以-1≤m≤3,
所以m的取值范围是{m|-1≤m≤3}.
14.(5分)能够说明“存在不相等的实数a,b,使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序数对(a,b)为 .
【答案】 (2,4)(答案不唯一)
【解析】 由a2-ab+b=0,得ab-b=a2,即b(a-1)=a2,则b=(a≠1).令a=2,得b==4.
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2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
【课程标准要求】
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.通过已知的数学实例,理解全称量词命题与存在量词命题的意义,增强数学抽象的核心素养.
3.能够判断全称量词命题和存在量词命题的真假,发展逻辑推理的核心素养.
1.全称量词与存在量词
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示 的词在逻辑学中称为 量词,通常用符号“ ”表示“对任意x”.
(2)“存在”“有的”“有一个”等表示 的词在逻辑学中称为
量词,通常用符号“ x”表示“存在x”.
全体
全称
x
部分或个体
存在
[做一做1] 以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )
[A]2个 [B]3个 [C]4个 [D]5个
C
【解析】 “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词.故选C.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)含有全称量词的命题称为 命题,含有存在量词的命题称为
命题.
[思考] 在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略
全称量词
存在量词
【提示】 在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略.
[做一做2] (多选)下列命题中,不是全称量词命题的是( )
[A]任何一个实数乘以0都等于0
[B]自然数都是正整数
[C]有的平行四边形是正方形
[D]一定存在没有最大值的二次函数
CD
【解析】 A,B都是全称量词命题,C,D是存在量词命题.故选CD.
(2)全称量词命题的一般形式可表示为 ;存在量词命题的一般形式可表示为 .其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
x∈M,p(x)
x∈M,p(x)
[做一做3] 命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“ ”或“ ”符号表示为 .
x∈R,x2+2x+1≥0
【解析】 将文字语言用符号语言表示为“ x∈R,x2+2x+1≥0”.
·拓展总结·
同一个全称量词命题、存在量词命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,可以灵活地选用:
命题 全称量词命题“ x∈M,p(x)” 存在量词命题“ x∈M,p(x)”
表
述
方
式 (1)所有的x∈M,p(x)成立 (1)存在x∈M,使得p(x)成立
(2)对一切x∈M,p(x)成立 (2)至少有一个x∈M,使p(x)成立
(3)对每一个x∈M,p(x)成立 (3)对有些x∈M,使p(x)成立
(4)对任意一个x∈M,p(x)成立 (4)对某个x∈M,使p(x)成立
(5)凡x∈M,都有p(x)成立 (5)有一个x∈M,使p(x)成立
[例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的平行四边形是菱形;
(3)有一个数是素数也是合数;
(4)菱形的对角线互相垂直.
探究点一 全称量词命题、存在量词命题的判断
【解】 (2)(3)中有存在量词“有的”“有一个”,为存在量词命题,(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题.
·方法总结·
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
[针对训练] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零;
【解】 (1)全称量词命题. n∈N,n2≥0.
(2)有的一次函数图象经过原点;
【解】 (2)存在量词命题. 一次函数,它的图象经过原点.
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
【解】 (3)全称量词命题. 二次函数,它的图象的开口向上.
探究点二 全称量词命题、存在量词命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假.
(1)梯形的对角线相等;
【解】 (1)假命题:省略了全称量词,如直角梯形的对角线不相等.
(2)有些菱形是正方形;
【解】 (2)真命题:正方形是菱形的特例.
(3)至少有一个整数n,使n2+1是4的倍数.
【解】 (3)假命题:不存在整数n,使n2+1是4的倍数.
·方法总结·
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断.
对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;
②要判定它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可
(通常举反例).
·方法总结·
(2)存在量词命题真假的判断.
对于存在量词命题“ x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可
(通常举正例);
②要判定它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立.
[针对训练] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,及其真假.
(1)有一些二次函数的图象过原点;
【解】 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如y=x2,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2) x∈R,2x2+x+1<0;
[例3] 已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.
探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
【解】 由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.所以实数m的取值范围为[3,+∞).
·方法总结·
通过量词的意义及命题的真假,建立关于参数的不等式(组)或方程(组)求解.
[针对训练] 若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是 .
{a|a≤3}
【解析】 因为对于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
【课程标准要求】 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.通过已知的数学实例,理解全称量词命题与存在量词命题的意义,增强数学抽象的核心素养.3.能够判断全称量词命题和存在量词命题的真假,发展逻辑推理的核心素养.
1.全称量词与存在量词
(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词,通常用符号“ x”表示“对任意x”.
(2)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词,通常用符号“ x”表示“存在x”.
[做一做1] 以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )
[A]2个 [B]3个 [C]4个 [D]5个
【答案】 C
【解析】 “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词.故选C.
2.全称量词命题与存在量词命题
(1)含有全称量词的命题称为全称量词命题,含有存在量词的命题称为存在量词命题.
[思考] 在全称量词命题和存在量词命题中,量词是否可以省略
【提示】 在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略.
[做一做2] (多选)下列命题中,不是全称量词命题的是( )
[A]任何一个实数乘以0都等于0
[B]自然数都是正整数
[C]有的平行四边形是正方形
[D]一定存在没有最大值的二次函数
【答案】 CD
【解析】 A,B都是全称量词命题,C,D是存在量词命题.故选CD.
(2)全称量词命题的一般形式可表示为 x∈M,p(x);存在量词命题的一般形式可表示为 x∈M,p(x).其中,M为给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
[做一做3] 命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“ ”或“ ”符号表示为 .
【答案】 x∈R,x2+2x+1≥0
【解析】 将文字语言用符号语言表示为“ x∈R,x2+2x+1≥0”.
同一个全称量词命题、存在量词命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,可以灵活地选用:
命题 全称量词命题 “ x∈M,p(x)” 存在量词命题 “ x∈M,p(x)”
表 述 方 式 (1)所有的x∈M,p(x)成立 (1)存在x∈M,使得p(x)成立
(2)对一切x∈M,p(x)成立 (2)至少有一个x∈M,使p(x)成立
(3)对每一个x∈M,p(x)成立 (3)对有些x∈M,使p(x)成立
(4)对任意一个x∈M,p(x)成立 (4)对某个x∈M,使p(x)成立
(5)凡x∈M,都有p(x)成立 (5)有一个x∈M,使p(x)成立
探究点一 全称量词命题、存在量词命题的判断
[例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的平行四边形是菱形;
(3)有一个数是素数也是合数;
(4)菱形的对角线互相垂直.
【解】 (2)(3)中有存在量词“有的”“有一个”,为存在量词命题,(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题.
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤
[针对训练] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零;
(2)有的一次函数图象经过原点;
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
【解】 (1)全称量词命题. n∈N,n2≥0.
(2)存在量词命题. 一次函数,它的图象经过原点.
(3)全称量词命题. 二次函数,它的图象的开口向上.
探究点二 全称量词命题、存在量词命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假.
(1)梯形的对角线相等;
(2)有些菱形是正方形;
(3)至少有一个整数n,使n2+1是4的倍数.
【解】 (1)假命题:省略了全称量词,如直角梯形的对角线不相等.
(2)真命题:正方形是菱形的特例.
(3)假命题:不存在整数n,使n2+1是4的倍数.
全称量词命题与存在量词命题的真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断.
对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;
②要判定它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可(通常举反例).
(2)存在量词命题真假的判断.
对于存在量词命题“ x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可(通常举正例);
②要判定它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立.
[针对训练] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,及其真假.
(1)有一些二次函数的图象过原点;
(2) x∈R,2x2+x+1<0;
(3) x∈N,≥1.
【解】 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如y=x2,其图象过原点,故该命题是
真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
因为2x2+x+1=2(x+)2+≥>0,
所以不存在x∈R,使2x2+x+1<0成立,故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
由于0∈N,而且当x=0时,≥1不成立,故该命题是假命题.
探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
[例3] 已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.
【解】 由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.所以实数m的取值范围为[3,+∞).
通过量词的意义及命题的真假,建立关于参数的不等式(组)或方程(组)求解.
[针对训练] 若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是 .
【答案】 {a|a≤3}
【解析】 因为对于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.下列命题是全称量词命题的是( )
[A] x∈R,x2>
[B]存在一个菱形的对角线不相等
[C]偶数的平方是偶数
[D]有一个数不能作除数
【答案】 C
【解析】 对于A,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意;
对于B,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意;
对于C,原命题等价于所有偶数的平方是偶数,此命题为全称量词命题,符合题意;
对于D,命题含有存在量词,此命题为存在量词命题,不符合题意.故选C.
2.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除.
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 B
【解析】 命题①含有存在量词;命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,故为全称量词命题;命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题.故有一个存在量词命题.故选B.
3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是( )
[A] x∈R,2x+1>0
[B]若2x为偶数,则x∈N
[C]菱形的四条边都相等
[D]π是无理数
【答案】 C
【解析】 对于A,是全称量词命题,但不是真命题,故A错误;
对于B,是全称量词命题,但不是真命题,故B错误;
对于C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;
对于D,是真命题,但不是全称量词命题,故D错误.故选C.
4.下列命题既是存在量词命题,又是真命题的是( )
[A]斜三角形的内角是锐角或钝角
[B]至少有一个x∈R,使x2≤0
[C]两个无理数的和是无理数
[D]存在一个负数x,使>2
【答案】 B
【解析】 A,C为全称量词命题;B是存在量词命题,当x=0时,x2=0,此命题为真命题;D显然是假命题.故选B.
5.已知下列四个命题:
① x∈N,x2-2是质数;
② x∈R,x+|x|=0;
③ x∈R,x2>2x+3;
④ x∈Z,x2+x为奇数.
其中真命题共有( )
[A]1个 [B]2个 [C]3个 [D]4个
【答案】 A
【解析】 对于①,当x=2时,x2-2=2为质数,故是真命题;
对于②,当x=1时,x+|x|=2≠0,故是假命题;
对于③,当x=1时,12<2×1+3,故是假命题;
对于④,当x是整数时,x2+x=x(x+1)是偶数,故是假命题.故选A.
6.若命题“ x∈R,x2-1>m”是真命题,则实数m的取值范围是( )
[A](-∞,-1] [B](-∞,-1)
[C][-1,+∞) [D](-1,+∞)
【答案】 B
【解析】 x∈R,x2-1的最小值是-1,因此m<-1.故选B.
7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)>0”用“ ”写成存在量词命题为 .
【答案】 x<0,(1+x)(1-9x2)>0
【解析】 命题可分两部分,条件“有些负数”写为“ x<0”,结论“不等式(1+x)(1-9x2)>0”写为“(1+x)(1-9x2)>0”.
8.(5分)若命题“ x∈{x|0<2x-3<5},一次函数y=3x-a的图象都在x轴的下方”为真命题,
则实数a的取值范围是 .
【答案】 {a|a≥12}(或[12,+∞))
【解析】 由已知得{x|0<2x-3<5}={x|9.(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1) x∈R,x-2≤0;
(2)三角形两边之和大于第三边;
(3)有些整数是偶数.
【解】 (1)存在量词命题.当x=1时,x-2=-1<0,故存在量词命题“ x∈R,x-2≤0”是真命题.
(2)全称量词命题.在三角形中,任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)存在量词命题.2是整数,2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
10.(15分)已知命题“ -3≤x≤2,3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 由3a+x-2=0,得x=2-3a,
因为-3≤x≤2,所以-3≤2-3a≤2,解得0≤a≤,
故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}.
11.(多选)给出下列四个命题,其中为真命题的是( )
[A] x∈R,|x|+|x-1|>0
[B] x∈N,(x-1)2>0
[C] x∈R,x+-1<0
[D] x∈N,x2-x+<0
【答案】 AC
【解析】 因为|x|≥0,|x-1|≥0,所以|x|+|x-1|≥0,由于x=0,x=1不能同时取得,
所以 x∈R,|x|+|x-1|>0为真命题,故A正确;
当x=1时,(x-1)2=0,所以 x∈N,(x-1)2>0为假命题,故B错误;
当x=-1时,x+-1<0成立,故 x∈R,x+-1<0为真命题,故C正确;
因为x2-x+=-,x∈N,所以当x=0或x=1时,有最小值,故 x∈N,x2-x+<0为假命题,故D错误.故选AC.
12.(5分)若“ x∈R,x2+3x+m=0”是真命题,则实数m的取值范围是 .
【答案】 (-∞,]
【解析】 由已知,得Δ=32-4m≥0,解得m≤,
所以实数m的取值范围是(-∞,].
13.(16分)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|m+3≤x≤2m+4},且B≠ .
(1)若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围.
【解】 (1)由于命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,
所以B A,又B≠ ,所以
解得-1≤m≤1.
即m的取值范围是{m|-1≤m≤1}.
(2)由于命题q为真命题,则A∩B≠ ,
因为B≠ ,所以m≥-1.
所以所以-1≤m≤3,
所以m的取值范围是{m|-1≤m≤3}.
14.(5分)能够说明“存在不相等的实数a,b,使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序数对(a,b)为 .
【答案】 (2,4)(答案不唯一)
【解析】 由a2-ab+b=0,得ab-b=a2,即b(a-1)=a2,则b=(a≠1).令a=2,得b==4.
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