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2.3.2 全称量词命题与存在量词
命题的否定
【课程标准要求】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,强化逻辑推理的核心素养.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,强化逻辑推理的核心素养.
含有量词命题的否定
(1)一般地,我们有:全称量词命题“ ”的否定为“ ”,存在量词命题“ ”的否定为“ ”.其中,“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定.
(2)对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题的关系是
“ ”或“此假彼真”.
x∈M,p(x)
x∈M,﹁p(x)
x∈M,p(x)
x∈M,﹁p(x)
一真一假
·拓展总结·
一些常见量词的否定:
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的
否定 不是 不一
定是 不都是 小于或
等于 大于或
等于 或
词语 必有
一个 至少
有n个 至多
有一个 所有
x成立 所有x
不成立
词语的
否定 一个
也没有 至多
有n-1个 至少
有两个 存在一个x不成立 存在一
个x成立
[做一做] 命题“ n∈Z,n∈Q”的否定是( )
[A] n∈Z,n Q [B] n∈Z,n Q
[C] n Z,n Q [D] n Z,n Q
A
【解析】 命题“ n∈Z,n∈Q”的否定是“ n∈Z,n Q”.故选A.
[例1] 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p: x>1,使x2-2x-3=0;
探究点一 含有量词的命题的否定
【解】 (1)命题的否定为“ x>1,x2-2x-3≠0”.假命题,如x=3时,x2-2x-3=0.
(2)p:有些素数是奇数;
【解】 (2)命题的否定为“任意素数不是奇数”.假命题,如素数3为奇数.
(3) x∈R,有x+1=2x;
【解】 (3)命题的否定为“ x∈R,使x+1≠2x”.真命题,如当x=2时,2+1≠2×2,即x+1≠2x.
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
【解】 (4)命题是全称量词命题,其否定为“存在被5整除的整数,末位不是0”.真命题,如15.
·方法总结·
对含有量词的命题的否定要注意以下问题
(1)确定命题类型,是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词,把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
[针对训练] 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
【解】 (1)命题的否定:“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知,这是假命题.
(2)非负数的平方是正数;
【解】 (2)命题的否定:“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02=0不是正数,所以该命题是真命题.
(3)有的四边形没有外接圆;
【解】 (3)命题的否定:“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命题为真,命题的否定为假命题.
探究点二 利用命题的否定求参数的取值范围
[例2] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,
则x+m-1<0,对0而0由命题q是假命题,则命题q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,
即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
(1)当m=0时,方程4x-1=0有实数根;
(2)当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,
即m≥-4,且m≠0.
由(1)(2)得m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,
所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
·方法总结·
根据命题p与命题p的否定的真假性相反,可将命题转化为其等价命题,以达到“正难则反”的解题目的.
[针对训练] 已知命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,命题q: 1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【课程标准要求】 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,强化逻辑推理的核心素养.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,强化逻辑推理的核心素养.
含有量词命题的否定
(1)一般地,我们有:全称量词命题“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M,﹁p(x)”,存在量词命题“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M,﹁p(x)”.其中,“﹁p(x)”是对语句“p(x)”的否定.
(2)对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.
一些常见量词的否定:
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的 否定 不是 不一 定是 不都是 小于或 等于 大于或 等于 或
词语 必有 一个 至少 有n个 至多 有一个 所有 x成立 所有x 不成立
词语的 否定 一个 也没有 至多 有n-1 个 至少 有两个 存在 一个x 不成立 存在一 个x成立
[做一做] 命题“ n∈Z,n∈Q”的否定是( )
[A] n∈Z,n Q [B] n∈Z,n Q
[C] n Z,n Q [D] n Z,n Q
【答案】 A
【解析】 命题“ n∈Z,n∈Q”的否定是“ n∈Z,n Q”.故选A.
探究点一 含有量词的命题的否定
[例1] 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p: x>1,使x2-2x-3=0;
(2)p:有些素数是奇数;
(3) x∈R,有x+1=2x;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
【解】 (1)命题的否定为“ x>1,x2-2x-3≠0”.假命题,如x=3时,x2-2x-3=0.
(2)命题的否定为“任意素数不是奇数”.假命题,如素数3为奇数.
(3)命题的否定为“ x∈R,使x+1≠2x”.真命题,如当x=2时,2+1≠2×2,即x+1≠2x.
(4)命题是全称量词命题,其否定为“存在被5整除的整数,末位不是0”.真命题,如15.
对含有量词的命题的否定要注意以下问题
(1)确定命题类型,是全称量词命题还是存在量词命题.
(2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词,把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.
[针对训练] 写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)非负数的平方是正数;
(3)有的四边形没有外接圆;
(4) x,y∈Z,使得x+y=3.
【解】 (1)命题的否定:“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知,这是假命题.
(2)命题的否定:“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02=0不是正数,所以该命题是
真命题.
(3)命题的否定:“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命题为真,命题的否定为假命题.
(4)命题的否定:“ x,y∈Z,都有x+y≠3”.
因为当x=0,y=3时,x+y=3,
所以原命题为真,命题的否定为假命题.
探究点二 利用命题的否定求参数的取值范围
[例2] 已知命题p: x∈{x|0【解】 由命题p是真命题,
则x+m-1<0,对0而0由命题q是假命题,则命题q的否定: x∈R,使得mx2+4x-1=0为真命题,
即关于x的方程mx2+4x-1=0有实数根.
(1)当m=0时,方程4x-1=0有实数根;
(2)当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,
即m≥-4,且m≠0.
由(1)(2)得m≥-4.
因为p为真命题,q为假命题,
所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
根据命题p与命题p的否定的真假性相反,可将命题转化为其等价命题,以达到“正难则反”的解题目的.
[针对训练] 已知命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,命题q: 1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 因为命题p为真命题,所以m≥xmax,即m≥3.
因为命题q的否定为假命题,所以命题q为真命题,
则m≥xmin,即m≥1,
所以所以m≥3,
故实数m的取值范围是{m|m≥3}.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.命题p: x∈R,x2+2x+1≥x的否定是( )
[A] x∈R,x2+2x+1≥x
[B] x∈R,x2+2x+1[C] x∈R,x2+2x+1>x
[D] x∈R,x2+2x+1【答案】 B
【解析】 因为命题“ x∈R,x2+2x+1≥x”是存在量词命题,所以其否定是全称量词命题,
即“ x∈R,x2+2x+12.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,命题“ x∈A,2x∈B”的否定是( )
[A] x∈A,2x B [B] x A,2x B
[C] x A,2x∈B [D] x∈A,2x B
【答案】 D
【解析】 命题“ x∈A,2x∈B”是一个全称量词命题,其否定为“ x∈A,2x B”.故选D.
3.下列命题的否定是真命题的是( )
[A]三角形角平分线上的点到两边的距离相等
[B]所有平行四边形都不是菱形
[C]任意两个等边三角形都是相似的
[D]3是方程x2-9=0的一个根
【答案】 B
【解析】 A的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到两边的距离不相等,假命题;
B的否定:有些平行四边形是菱形,真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;D的
否定: 3不是方程x2-9=0的一个根,假命题.故选B.
4.下列命题的否定为假命题的是( )
[A] x∈Z,1<4x<3
[B] x∈Z,5x+1=0
[C] x∈R,x2-1=0
[D] x∈R,x2+x+2>0
【答案】 D
【解析】 如果命题的否定为假命题,那么原命题为真命题.对于A,由1<4x<3,得这样的整数x不存在,故A为假命题,其否定为真命题,故A不符合题意;对于B,由5x+1=0,得x=- Z,故B为假命题,其否定为真命题,故B不符合题意;对于C,由x2-1=0,得x=±1,
故C为假命题,其否定为真命题,故C不符合题意;对于D,对任意实数x,都有x2+x+2=
(x+)2+>0,故D为真命题,其否定为假命题,故D符合题意.故选D.
5.下列结论不正确的是( )
[A]“x∈N”是“x∈Q”的充分且不必要条件
[B]命题“ x∈N*,x2-3<0”是真命题
[C]命题“ x>0,x2-3>0”的否定是“ x>0,x2-3≤0”
[D]命题“有的三角形为正三角形”的否定是“所有的三角形不都是正三角形”
【答案】 D
【解析】 自然数一定是有理数,但有理数不一定是自然数,所以“x∈N”是“x∈Q”的充分且不必要条件,选项A正确;
当x=1时,满足x2-3<0,所以命题“ x∈N*,x2-3<0”是真命题,选项B正确;
全称量词命题的否定是存在量词命题,选项C正确;
命题“有的三角形为正三角形”的否定是“所有的三角形都不是正三角形”,选项D错误.
故选D.
6.(多选)已知命题p: x∈R,ax2+ax-1=0为假命题,则a可能的取值有( )
[A]-2 [B]-1 [C]0 [D]1
【答案】 ABC
【解析】 命题p: x∈R,ax2+ax-1=0为假命题,则 x∈R,ax2+ax-1≠0.
当a=0时满足题意,故选项C满足题意;
当a≠0时,有Δ=a2-4a×(-1)=a2+4a<0,
选项A,B满足a2+4a<0.故选ABC.
7.(5分)命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【答案】 存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3
【解析】 “任意x∈R”的否定为“存在x∈R”,“|x-2|+|x-4|>3”的否定为“|x-2|+|x-4|≤3”.
8.(5分)若命题“ x∈R,(c-2)x+1≤0”为假命题,则实数c的取值集合是 .
【答案】 {2}
【解析】 因为命题“ x∈R,(c-2)x+1≤0”为假命题,所以该命题的否定“ x∈R,(c-2)x+1>0”为真命题,故c-2=0,即c=2.
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
【解】 (1)命题的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以原命题为真命题,原命题的否定为假命题.
(2)命题的否定: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,
当x=0,y=0时,x2+y2+2x-4y+5≠0成立,所以原命题的否定为真命题.
10.(14分)已知命题p: x∈R,x2-2x+m=0,命题q:-2(1)写出命题p的否定;
(2)若命题p,q有且只有一个命题为真,求实数m的取值范围.
【解】 (1)p的否定: x∈R,x2-2x+m≠0.
(2)若p是真命题,则Δ=4-4m≥0,所以m≤1.
若p为真命题,q为假命题,
则得m≤-2;
若p为假命题,q为真命题,
则得1所以实数m的取值范围为{m|m≤-2,或111.(多选)已知集合P,Q是全集U的两个非空子集,如果P∩Q=Q且P∪Q≠Q,那么下列说法正确的有( )
[A] x∈P,有x∈Q
[B] x∈P,使得x Q
[C] x∈Q,有x∈P
[D] x∈Q,使得x P
【答案】 BC
【解析】 由于P,Q是全集U的两个非空子集,
P∩Q=Q且P∪Q≠Q,所以Q P.
所以 x∈P,使得x Q; x∈Q,有x∈P.即B,C选项正确.故选BC.
12.(多选)若“ x∈M,x<0或x>1”为真命题,“ x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是( )
[A](-∞,5) [B](-3,-1]
[C](3,+∞) [D][2,3]
【答案】 BD
【解析】 命题“ x∈M,x>3”为假命题,则命题“ x∈M,x≤3”为真命题,可得M {x|x≤3}.
命题“ x∈M,x<0或x>1”为真命题,则M {x|x<0,或x>1},
所以{x|x<0,或x>1}∩{x|x≤3}={x|x<0,或113.(16分)(1)已知命题p: x∈R,m+x2-2x+5>0,若p的否定为假命题,求实数m的取值范围;
(2)已知命题p: x∈R,m-x2+2x-5>0,若p的否定为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为p的否定为假命题,所以命题p: x∈R,m+x2-2x+5>0为真命题,m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即m>-(x-1)2-4对任意x∈R恒成立,只需m>-4即可,故实数m的取值范围为{m|m>-4}.
(2)因为p的否定为假命题,所以命题p: x∈R,m-x2+2x-5>0为真命题,m-x2+2x-5>0可化为m>x2-2x+5=(x-1)2+4,即 x∈R,m>(x-1)2+4成立,只需m>4即可,故实数m的取值范围为{m|m>4}.
14.(5分)已知命题p:“存在0≤x1≤3,对任意-m≤x2≤2,使得x1【答案】 [,+∞)
【解析】 命题p的否定为“任意0≤x1≤3,存在-m≤x2≤2,使得x1≥x2”为真命题,等价于(x1)min≥(x2)min,得0≥-m,所以m≥.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.命题p: x∈R,x2+2x+1≥x的否定是( )
[A] x∈R,x2+2x+1≥x
[B] x∈R,x2+2x+1[C] x∈R,x2+2x+1>x
[D] x∈R,x2+2x+1【答案】 B
【解析】 因为命题“ x∈R,x2+2x+1≥x”是存在量词命题,所以其否定是全称量词命题,
即“ x∈R,x2+2x+12.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,命题“ x∈A,2x∈B”的否定是( )
[A] x∈A,2x B [B] x A,2x B
[C] x A,2x∈B [D] x∈A,2x B
【答案】 D
【解析】 命题“ x∈A,2x∈B”是一个全称量词命题,其否定为“ x∈A,2x B”.故选D.
3.下列命题的否定是真命题的是( )
[A]三角形角平分线上的点到两边的距离相等
[B]所有平行四边形都不是菱形
[C]任意两个等边三角形都是相似的
[D]3是方程x2-9=0的一个根
【答案】 B
【解析】 A的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到两边的距离不相等,假命题;
B的否定:有些平行四边形是菱形,真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;D的
否定: 3不是方程x2-9=0的一个根,假命题.故选B.
4.下列命题的否定为假命题的是( )
[A] x∈Z,1<4x<3
[B] x∈Z,5x+1=0
[C] x∈R,x2-1=0
[D] x∈R,x2+x+2>0
【答案】 D
【解析】 如果命题的否定为假命题,那么原命题为真命题.对于A,由1<4x<3,得这样的整数x不存在,故A为假命题,其否定为真命题,故A不符合题意;对于B,由5x+1=0,得x=- Z,故B为假命题,其否定为真命题,故B不符合题意;对于C,由x2-1=0,得x=±1,
故C为假命题,其否定为真命题,故C不符合题意;对于D,对任意实数x,都有x2+x+2=
(x+)2+>0,故D为真命题,其否定为假命题,故D符合题意.故选D.
5.下列结论不正确的是( )
[A]“x∈N”是“x∈Q”的充分且不必要条件
[B]命题“ x∈N*,x2-3<0”是真命题
[C]命题“ x>0,x2-3>0”的否定是“ x>0,x2-3≤0”
[D]命题“有的三角形为正三角形”的否定是“所有的三角形不都是正三角形”
【答案】 D
【解析】 自然数一定是有理数,但有理数不一定是自然数,所以“x∈N”是“x∈Q”的充分且不必要条件,选项A正确;
当x=1时,满足x2-3<0,所以命题“ x∈N*,x2-3<0”是真命题,选项B正确;
全称量词命题的否定是存在量词命题,选项C正确;
命题“有的三角形为正三角形”的否定是“所有的三角形都不是正三角形”,选项D错误.
故选D.
6.(多选)已知命题p: x∈R,ax2+ax-1=0为假命题,则a可能的取值有( )
[A]-2 [B]-1 [C]0 [D]1
【答案】 ABC
【解析】 命题p: x∈R,ax2+ax-1=0为假命题,则 x∈R,ax2+ax-1≠0.
当a=0时满足题意,故选项C满足题意;
当a≠0时,有Δ=a2-4a×(-1)=a2+4a<0,
选项A,B满足a2+4a<0.故选ABC.
7.(5分)命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【答案】 存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3
【解析】 “任意x∈R”的否定为“存在x∈R”,“|x-2|+|x-4|>3”的否定为“|x-2|+|x-4|≤3”.
8.(5分)若命题“ x∈R,(c-2)x+1≤0”为假命题,则实数c的取值集合是 .
【答案】 {2}
【解析】 因为命题“ x∈R,(c-2)x+1≤0”为假命题,所以该命题的否定“ x∈R,(c-2)x+1>0”为真命题,故c-2=0,即c=2.
9.(12分)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实根;
(2) x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0.
【解】 (1)命题的否定:存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.
因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以原命题为真命题,原命题的否定为假命题.
(2)命题的否定: x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0.
因为x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2,
当x=0,y=0时,x2+y2+2x-4y+5≠0成立,所以原命题的否定为真命题.
10.(14分)已知命题p: x∈R,x2-2x+m=0,命题q:-2(1)写出命题p的否定;
(2)若命题p,q有且只有一个命题为真,求实数m的取值范围.
【解】 (1)p的否定: x∈R,x2-2x+m≠0.
(2)若p是真命题,则Δ=4-4m≥0,所以m≤1.
若p为真命题,q为假命题,
则得m≤-2;
若p为假命题,q为真命题,
则得1所以实数m的取值范围为{m|m≤-2,或111.(多选)已知集合P,Q是全集U的两个非空子集,如果P∩Q=Q且P∪Q≠Q,那么下列说法正确的有( )
[A] x∈P,有x∈Q
[B] x∈P,使得x Q
[C] x∈Q,有x∈P
[D] x∈Q,使得x P
【答案】 BC
【解析】 由于P,Q是全集U的两个非空子集,
P∩Q=Q且P∪Q≠Q,所以Q P.
所以 x∈P,使得x Q; x∈Q,有x∈P.即B,C选项正确.故选BC.
12.(多选)若“ x∈M,x<0或x>1”为真命题,“ x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是( )
[A](-∞,5) [B](-3,-1]
[C](3,+∞) [D][2,3]
【答案】 BD
【解析】 命题“ x∈M,x>3”为假命题,则命题“ x∈M,x≤3”为真命题,可得M {x|x≤3}.
命题“ x∈M,x<0或x>1”为真命题,则M {x|x<0,或x>1},
所以{x|x<0,或x>1}∩{x|x≤3}={x|x<0,或113.(16分)(1)已知命题p: x∈R,m+x2-2x+5>0,若p的否定为假命题,求实数m的取值范围;
(2)已知命题p: x∈R,m-x2+2x-5>0,若p的否定为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为p的否定为假命题,所以命题p: x∈R,m+x2-2x+5>0为真命题,m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即m>-(x-1)2-4对任意x∈R恒成立,只需m>-4即可,故实数m的取值范围为{m|m>-4}.
(2)因为p的否定为假命题,所以命题p: x∈R,m-x2+2x-5>0为真命题,m-x2+2x-5>0可化为m>x2-2x+5=(x-1)2+4,即 x∈R,m>(x-1)2+4成立,只需m>4即可,故实数m的取值范围为{m|m>4}.
14.(5分)已知命题p:“存在0≤x1≤3,对任意-m≤x2≤2,使得x1【答案】 [,+∞)
【解析】 命题p的否定为“任意0≤x1≤3,存在-m≤x2≤2,使得x1≥x2”为真命题,等价于(x1)min≥(x2)min,得0≥-m,所以m≥.
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