苏教版高中数学必修第一册第3章不等式3.1不等式的基本性质课件(共31张PPT)+学案+课时作业含答案（教师用）

课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.设M=2a2-4a+7,N=a2-5a+6,则有(　　)
[A]M[C]M>N [D]M≥N
【答案】 C
【解析】 因为M-N=a2+a+1=(a+)2+>0,所以M>N.故选C.
2.已知m=-,n=-,其中a≥3,则m,n的大小关系为(　　)
[A]m>n [B]m=n
[C]m【答案】 C
【解析】 因为m-n=(-)-(-)=-<0,所以m3.如果>,那么下列不等式中,一定成立的是(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a>b
[C]a-c>b-c [D]ac>bc
【答案】 D
【解析】 若c<0,则由>可得a,c2>0,所以ac>bc.故选D.
4.(多选)若非零实数x,y,满足|x|>|y|,则下列不等式中一定成立的是(　　)
[A]x>y [B]>
[C]x2>y2 [D]<
【答案】 BC
【解析】 根据题意,不妨取x=-2,y=1,满足|x|>|y|,此时x>y不成立,故A错误;
易知|x|>|y|>0,则>>0,即>,故B正确;
同理可得|x|2>|y|2,即x2>y2,故C正确;
取x=-2,y=-1,满足|x|>|y|,此时=->=-1,故D错误.故选BC.
5.(多选)下列命题正确的是(　　)
[A](a-1)(a-3)<(a-2)2
[B]若a>b>c,则(a-b)|c-b|>0
[C]若-1[D]若a【答案】 ABC
【解析】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以(a-1)(a-3)<(a-2)2,故A正确;
因为a>b>c,所以a-b>0,|c-b|>0,所以(a-b)|c-b|>0,故B正确;
因为2由a-b>0,故a2>b2>0,可得<,又c<0,所以>,故D错误.故选ABC.
6.设a,b为实数,甲:ab>b2,乙:a[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为ab>b2,所以ab-b2=b(a-b)>0推不出a而ab2,
所以甲是乙的必要且不充分条件.故选B.
7.(5分)已知a,b,c为实数,能说明“若a>b>c,则a2>bc”为假命题的一组a,b,c的值是　 .
【答案】 a=1,b=-1,c=-2(答案不唯一)
【解析】 当a=1,b=-1,c=-2时,a2=1,bc=2,此时满足a>b>c,但是a28.(5分)已知0≤a-b≤1,2≤a+b≤4,则4a-2b的取值范围是　　　　.
【答案】 [2,7]
【解析】 设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
则解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),
因为a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],
所以3(a-b)∈[0,3],所以4a-2b∈[2,7].
9.(12分)解不等式2-<,并用不等式的性质说明理由.
【解】 不等式2-<,两边同乘以6,
得12-2(x-1)<3(x+1)(不等式的性质4),
即12-2x+2<3x+3,
两边同时加2x-3,得11<5x(不等式的性质3),
即5x>11(不等式的性质1),
两边同乘以,得x>(不等式的性质4),
所以不等式的解集为{x|x>}.
10.(14分)已知-1【解】 因为-10,1-a>0,
所以=,因为0<1-a2≤1,所以≥1,所以≥1-a.
11.(多选)如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,则下列结论错误的是(　　)
[A]ab>c [B]abc>
[C]c+2b2b
【答案】 ABC
【解析】 由题图可得-1a,故选项C错误;因为-12b,故选项D正确.故选ABC.
12.(5分)已知实数x,y满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为　　　 　.
【答案】 7
【解析】 由|2x+3y|≤10,|x-y|≤5可得-10≤2x+3y≤10,-5≤x-y≤5,因为x+2y=(2x+3y)-(x-y),-6≤(2x+3y)≤6,-1≤-(x-y)≤1,所以-7≤x+2y≤7,故|x+2y|≤7,则|x+2y|的最大值为7.
13.(16分)(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤;
(2)已知a,b,m均为正数,且a.
【证明】 (1)法一　因为bc-ad≥0,所以bc≥ad.因为bd>0,所以≥,
所以+1≥+1,即≤.
法二　-==,
因为ad-bc≤0,bd>0,所以≤0,
所以≤.
(2)-==,
因为a0,又m,b均为正数,
所以>0,所以>.
14.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则(　　)
[A]甲先到教室
[B]乙先到教室
[C]两人同时到教室
[D]谁先到教室不确定
【答案】 B
【解析】 设步行速度与跑步速度分别为v1和v2,总路程为2s,显然0则甲用时间为+,设乙用时间为t,则v1·+v2·=2s,所以乙用时间为,
而+-==>0,故+>,故乙先到教室.故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【课程标准要求】　1.理解实数与式子大小比较的基本事实.2.理解等式的基本性质和不等式的基本性质,培养逻辑推理的核心素养.3.掌握不等式的基本性质的应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养.
1.实数比较大小的基本事实
(1)a-b>0 a>b;
(2)a-b=0 a=b;
(3)a-b<0 a[思考1]不等关系与不等式有什么区别
【提示】 不等关系是量与量之间的关系,而不等式是表示不等关系的式子.
[做一做1] 若x∈R,则与的大小关系为　　　　.
【答案】 ≤
【解析】 -==≤0,所以≤.
2.等式的基本性质
(1)若a=b,则b=a;
(2)若a=b且b=c,则a=c;
(3)若a=b,则a±c=b±c;
(4)若a=b,则ac=bc,=(c≠0).
3.不等式的基本性质
性质1:若a>b,则b性质2:若a>b,b>c,则 a>c.
性质3:若a>b,则 a+c>b+c.
性质4:若a>b,c>0,则 ac>bc;若a>b,c<0,则ac性质5:若a>b,c>d,则 a+c>b+d.
性质6:若a>b>0,c>d>0,则 ac>bd.
[思考2]若a>b,c>d,那么a-c>b-d成立吗 a-d>b-c呢
【提示】 a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立.
[做一做2](多选)下列命题不正确的是(　　)
[A]若a>0>b,则ac2>bc2
[B]若a>b,c>d,则ac>bd
[C]若a>b,且c<0,则ac[D]若a【答案】 ABD
【解析】 对于A,当c=0时,则有ac2=bc2,不正确;对于B,当a=1,b=-2,c=1,d=-2时,则有acb且c<0,得acbn,不正确.故选ABD.
探究点一　实数(式)的比较大小
[例1] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
【解】 (x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
因为x2-x+1=(x-)2+≥>0,且x>1,
所以(x-1)(x2-x+1)>0,
即x3-1>2x2-2x.
[变式探究1] 已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
【解】 (x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
因为x2-x+1=(x-)2+≥>0,
所以当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,
即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,
即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,
即x3-1<2x2-2x.
[变式探究2] 已知n>0,试比较与2的大小.
【解】 因为=+,所以-2=-,因为n>0,所以>,即>2.
[变式探究3] 已知a>0,b>0,试比较+与+的大小.
【解】 法一　 +-(+)=+=(a-b)·=.
因为a>0,b>0,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,
即+≥+.
法二　因为(+)2-(+)2=++2-a-b-2=-(a+b)=(a+b)·.
因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,(a-b)2≥0,所以≥0,即(+)2≥(+)2,
所以+≥+.
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)得出结论.
探究点二　不等式性质的运用
[例2] (多选)若a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是(　　)
[A]若a>b,则>
[B]若|a|>|b|,则a2>b2
[C]若(a-b)c2>0,则a>b
[D]若>,则a>b
【答案】 BC
【解析】 当a=1,b=-1时,=,=1,则<,故A错误;对于B,若|a|>|b|,对不等式两边同时平方,则a2>b2,故B正确;对于C,若(a-b)c2>0,则a-b>0,所以a>b,故C正确;对于D,若>,取b=1,a=-2,则a(1)熟悉不等式的性质,更好地掌握各性质的条件和结论,在各性质中,乘法性质的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除)以一个数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定.
(2)若判定说法是正确的,应说明理由或进行证明,推理过程应紧扣有关定理、性质等,若判定说法是错误的,则举一反例即可.
[针对训练] 若<<0,有下列四个不等式:①|a|>|b|,②ab3,则不正确的不等式的个数是(　　)
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 C
【解析】 由<<0可得b0,则a+bb3,④正确.故选C.
探究点三　利用不等式的性质证明不等式
[例3]已知c>a>b>0,求证:>.
【证明】 法一　因为c>a>b>0,所以0>0,
又a>b>0,所以>.
法二　由-==,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c>0,c-a>0,c-b>0,所以>0,即>.
[变式探究1]已知a>b>0,c<0,求证:>.
【证明】 因为a>b>0,所以ab>0,>0.
于是a×>b×,即>.
由c<0,得>.
[变式探究2] 已知a>b>0,c【证明】 因为c-d>0,
所以->->0,
又因为a>b>0,所以->->0,
所以(-)3>(-)3,所以-()3>-()3,即()3<()3.
[变式探究3] 已知a>b>0,c.
【证明】 因为c-d>0,
又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,所以0<<,
又因为e<0,所以>.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
探究点四　利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例4] 已知-1(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.
【解】 (1)因为-1(2)由-1[变式探究1] 已知-1【解】 因为-1又因为x[变式探究2] 已知1【解】 因为3又因为1[变式探究3] 已知-1【解】 设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),
则所以
即3x+2y=(x+y)+(x-y),
又因为-1所以-<(x+y)<10,1<(x-y)<,
所以-<(x+y)+(x-y)<,
即-<3x+2y<.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
(1)首先建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,然后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
(3)求解如变式探究3这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他代数式的范围,要整体应用已知的代数式,结合不等式的性质进行推理.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.设M=2a2-4a+7,N=a2-5a+6,则有(　　)
[A]M[C]M>N [D]M≥N
【答案】 C
【解析】 因为M-N=a2+a+1=(a+)2+>0,所以M>N.故选C.
2.已知m=-,n=-,其中a≥3,则m,n的大小关系为(　　)
[A]m>n [B]m=n
[C]m【答案】 C
【解析】 因为m-n=(-)-(-)=-<0,所以m3.如果>,那么下列不等式中,一定成立的是(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a>b
[C]a-c>b-c [D]ac>bc
【答案】 D
【解析】 若c<0,则由>可得a,c2>0,所以ac>bc.故选D.
4.(多选)若非零实数x,y,满足|x|>|y|,则下列不等式中一定成立的是(　　)
[A]x>y [B]>
[C]x2>y2 [D]<
【答案】 BC
【解析】 根据题意,不妨取x=-2,y=1,满足|x|>|y|,此时x>y不成立,故A错误;
易知|x|>|y|>0,则>>0,即>,故B正确;
同理可得|x|2>|y|2,即x2>y2,故C正确;
取x=-2,y=-1,满足|x|>|y|,此时=->=-1,故D错误.故选BC.
5.(多选)下列命题正确的是(　　)
[A](a-1)(a-3)<(a-2)2
[B]若a>b>c,则(a-b)|c-b|>0
[C]若-1[D]若a【答案】 ABC
【解析】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以(a-1)(a-3)<(a-2)2,故A正确;
因为a>b>c,所以a-b>0,|c-b|>0,所以(a-b)|c-b|>0,故B正确;
因为2由a-b>0,故a2>b2>0,可得<,又c<0,所以>,故D错误.故选ABC.
6.设a,b为实数,甲:ab>b2,乙:a[A]充分且不必要条件
[B]必要且不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为ab>b2,所以ab-b2=b(a-b)>0推不出a而ab2,
所以甲是乙的必要且不充分条件.故选B.
7.(5分)已知a,b,c为实数,能说明“若a>b>c,则a2>bc”为假命题的一组a,b,c的值是　 .
【答案】 a=1,b=-1,c=-2(答案不唯一)
【解析】 当a=1,b=-1,c=-2时,a2=1,bc=2,此时满足a>b>c,但是a28.(5分)已知0≤a-b≤1,2≤a+b≤4,则4a-2b的取值范围是　　　　.
【答案】 [2,7]
【解析】 设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
则解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),
因为a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],
所以3(a-b)∈[0,3],所以4a-2b∈[2,7].
9.(12分)解不等式2-<,并用不等式的性质说明理由.
【解】 不等式2-<,两边同乘以6,
得12-2(x-1)<3(x+1)(不等式的性质4),
即12-2x+2<3x+3,
两边同时加2x-3,得11<5x(不等式的性质3),
即5x>11(不等式的性质1),
两边同乘以,得x>(不等式的性质4),
所以不等式的解集为{x|x>}.
10.(14分)已知-1【解】 因为-10,1-a>0,
所以=,因为0<1-a2≤1,所以≥1,所以≥1-a.
11.(多选)如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,则下列结论错误的是(　　)
[A]ab>c [B]abc>
[C]c+2b2b
【答案】 ABC
【解析】 由题图可得-1a,故选项C错误;因为-12b,故选项D正确.故选ABC.
12.(5分)已知实数x,y满足|2x+3y|≤10,|x-y|≤5,则|x+2y|的最大值为　　　 　.
【答案】 7
【解析】 由|2x+3y|≤10,|x-y|≤5可得-10≤2x+3y≤10,-5≤x-y≤5,因为x+2y=(2x+3y)-(x-y),-6≤(2x+3y)≤6,-1≤-(x-y)≤1,所以-7≤x+2y≤7,故|x+2y|≤7,则|x+2y|的最大值为7.
13.(16分)(1)若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤;
(2)已知a,b,m均为正数,且a.
【证明】 (1)法一　因为bc-ad≥0,所以bc≥ad.因为bd>0,所以≥,
所以+1≥+1,即≤.
法二　-==,
因为ad-bc≤0,bd>0,所以≤0,
所以≤.
(2)-==,
因为a0,又m,b均为正数,
所以>0,所以>.
14.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则(　　)
[A]甲先到教室
[B]乙先到教室
[C]两人同时到教室
[D]谁先到教室不确定
【答案】 B
【解析】 设步行速度与跑步速度分别为v1和v2,总路程为2s,显然0则甲用时间为+,设乙用时间为t,则v1·+v2·=2s,所以乙用时间为,
而+-==>0,故+>,故乙先到教室.故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
3.1　不等式的基本性质
第3章　不等式
1.理解实数与式子大小比较的基本事实.2.理解等式的基本性质和不等式的基本性质,培养逻辑推理的核心素养.3.掌握不等式的基本性质的应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
1.实数比较大小的基本事实
(1)a-b>0 ;
(2)a-b=0 a=b;
(3)a-b<0 .
a>b
a[思考1]不等关系与不等式有什么区别
【提示】 不等关系是量与量之间的关系,而不等式是表示不等关系的式子.
2.等式的基本性质
(1)若a=b,则b=a;
(2)若a=b且b=c,则a=c;
(3)若a=b,则a±c=b±c;
3.不等式的基本性质
性质1:若a>b,则b性质2:若a>b,b>c,则 .
性质3:若a>b,则 .
性质4:若a>b,c>0,则 ;若a>b,c<0,则 .
性质5:若a>b,c>d,则 .
性质6:若a>b>0,c>d>0,则 .
a>c
a+c>b+c
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
[思考2]若a>b,c>d,那么a-c>b-d成立吗 a-d>b-c呢
【提示】 a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立.
[做一做2](多选)下列命题不正确的是(　　 )
[A]若a>0>b,则ac2>bc2
[B]若a>b,c>d,则ac>bd
[C]若a>b,且c<0,则ac[D]若aABD
【解析】 对于A,当c=0时,则有ac2=bc2,不正确;对于B,当a=1,b=-2,c=1,d=
-2时,则有acb且c<0,得acbn,不正确.故选ABD.
探究点一　实数(式)的比较大小
[例1] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
[变式探究1] 已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
·方法总结·
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)得出结论.
探究点二　不等式性质的运用
[例2] (多选)若a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是(　　 )
BC
·方法总结·
(1)熟悉不等式的性质,更好地掌握各性质的条件和结论,在各性质中,乘法性质的应用最易出错,即在不等式的两边同乘(除)以一个数时,必须能确定该数是正数、负数或零,否则结论不确定.
(2)若判定说法是正确的,应说明理由或进行证明,推理过程应紧扣有关定理、性质等,若判定说法是错误的,则举一反例即可.
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
C
探究点三　利用不等式的性质证明不等式
·方法总结·
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以
应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
探究点四　利用不等式的性质求代数式的取值范围
[例4] 已知-1(1)求x-y的取值范围;
【解】 (1)因为-1(2)求3x+2y的取值范围.
【解】 (2)由-1[变式探究1] 已知-1【解】 因为-1又因为x[变式探究3] 已知-1·方法总结·
利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略
(1)首先建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,然后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
(3)求解如变式探究3这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他代数式的范围,要整体应用已知的代数式,结合不等式的性质进行推理.