(共24张PPT)
3.2.1 基本不等式的证明
1.探索并了解基本不等式的证明过程,培养逻辑推理的核心素养.2.能初步运用基本不等式比较大小、证明简单的不等式,发展逻辑推理的核心素养.3.能运用基本不等式求函数的最大值、最小值,强化逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
1.算术平均数与几何平均数
[思考]利用基本不等式求最大值或最小值时,应注意什么问题呢
【提示】 利用基本不等式求最值时应注意:一正,二定,三相等.
[做一做] 下列不等式正确的是( )
C
探究点一 利用基本不等式比较大小
[例1] 下列不等式正确的是( )
B
·方法总结·
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
[针对训练] 设0
B
探究点二 利用基本不等式比较代数式的大小
·方法总结·
探究点三 利用基本不等式证明不等式
角度1 无附加条件的不等式证明
·方法总结·
利用基本不等式证明不等式的策略
从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
角度2 有附加条件的不等式证明
·方法总结·
利用基本不等式证明不等式的注意事项:
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,在证明不等式时注意使用条件.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再
使用.
特别提醒:在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.
探究点四 利用基本不等式直接求最值
·方法总结·
(1)应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接应用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等,以创设应用基本不等式的条件.3.2.1 基本不等式的证明
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若y=x+(x>0)在x=a处取得最小值,则a=( )
[A]1 [B] [C]3 [D]9
【答案】 C
【解析】 因为x>0,所以由基本不等式得y=x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立.故选C.
2.不等式a2+b2≥2|ab|成立时,a,b一定是( )
[A]正数 [B]非负数
[C]实数 [D]不存在
【答案】 C
【解析】 原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,对任意实数都成立.故选C.
3.设x>0,则3-3x-的最大值是( )
[A]3 [B]3-2
[C]-1 [D]3-2
【答案】 D
【解析】 因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,
所以-(3x+)≤-2,则3-3x-≤3-2,即3-3x-的最大值为3-2.故选D.
4.若对x>0,y>0,有(x+2y)(+)≥m恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A](-∞,8] [B](8,+∞)
[C](-∞,0) [D][4,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当x=2y时,等号成立,所以m≤8.故选A.
5.2x2+的最小值是( )
[A]36 [B]6
[C]11 [D]12
【答案】 C
【解析】 因为2x2+=(2x2+1)+-1≥2-1=11,当且仅当2x2+1=6,即x=±时,等号成立.故选C.
6.若正实数x,y满足xy+3x=3,则12x+y的最小值为( )
[A]7 [B]8 [C]9 [D]10
【答案】 C
【解析】 由x,y均为正实数,且xy+3x=3,得y=-3,则12x+y=12x+-3≥2-3=12-3=9,当且仅当12x=,即x=时,等号成立,所以12x+y的最小值为9.故选C.
7.(5分)已知a为正数,比较大小: 4.(填“≥”“≤”或“=”)
【答案】 ≥
【解析】 由a>0,得=a+2+≥2+2=4,当且仅当a=1时,等号成立.
8.(5分)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 .(填序号)
①≤;②+≤1;③a2+b2≥8.
【答案】 ③
【解析】 因为a>0,b>0且a+b=4,a+b≥2,所以≤2,当且仅当a=b=2时,等号成立,即ab≤4,所以≥,所以①不成立;由+=·(a+b)(+)=(2++)≥(2+2)=1,当且仅当=,即a=b=2时,等号成立,所以+≥1,所以②不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以③成立.
9.(13分)(1)已知x>-1,求y=x-4+的最小值;
(2)已知a>0,b>0,且3a+7b=10,求ab的最大值.
【解】 (1)因为x>-1,所以x+1>0,
则y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
故y=x-4+的最小值为1.
(2)因为a>0,b>0,且3a+7b=10,
则ab=×3a×7b≤×=×=,
当且仅当3a=7b=5,即a=,b=时,等号成立,
故ab的最大值为.
10.(15分)已知a,b,c∈R,求证:++≥(a+b+c).
【证明】 因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥(a+b)2,
所以a2+b2≥,
所以≥=(a+b)(a,b∈R,当且仅当a=b≥0时,等号成立).
同理,≥(b+c)(b,c∈R,当且仅当b=c≥0时,等号成立),
≥(a+c)(a,c∈R,当且仅当a=c≥0时,等号成立).
三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(当且仅当a=b=c≥0时,等号成立).
11.(多选)下列各式能用基本不等式直接求得最小值的是( )
[A]x+ [B]x2+1+
[C]+ [D]
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,当x<0时,-x>0,所以-x+≥2=,即x+≤-,当且仅当x=,即x=-时,等号成立,所以x+不能用基本不等式直接求得最小值,故A错误;对于选项B,因为x2+1>0,>0,所以x2+1+≥2=2,当且仅当x2+1=,即x=0时,等号成立,所以能用基本不等式直接求得最小值,故B正确;对于选项C,因为>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x=1时,等号成立,所以能用基本不等式直接求得最小值,故C正确;对于选项D,≤=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以不能用基本不等式直接求得最小值,故D错误.故选BC.
12.(5分)已知x,y为正实数,则+的最小值为 .
【答案】 8-4
【解析】 +=+,
令=t>0,
所以+=2t+=2(t+2)+-4≥2-4=8-4,
当且仅当t=2-2时,等号成立,
所以+的最小值为8-4.
13.(16分)设a>0,b>0,c>0,证明:
(1)+≥;
(2)++≥++.
【证明】 (1)因为a>0,b>0,
所以(a+b)(+)≥2·2=4,当且仅当a=b 时,等号成立.所以+≥.
(2)由(1)可得+≥,
同理可得+≥,+≥,
三式相加,得2(++)≥++,所以++≥++.
14.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形证明,并称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,C是AB上的一点(不同于点A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,作CE⊥OD,垂足为E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
[A]≤(a>0,b>0)
[B]<(a>0,b>0,a≠b)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]<<(a>0,b>0,a≠b)
【答案】 D
【解析】 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,
DC===,DE==.
因为DE0,b>0,a≠b).故选D.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2.1 基本不等式的证明
【课程标准要求】 1.探索并了解基本不等式的证明过程,培养逻辑推理的核心素养.2.能初步运用基本不等式比较大小、证明简单的不等式,发展逻辑推理的核心素养.3.能运用基本不等式求函数的最大值、最小值,强化逻辑推理的核心素养.
1.算术平均数与几何平均数
对于正数a,b,我们把称为 a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.
2.基本不等式≤
如果a,b是正数,那么≤(当且仅当a=b时,等号成立).我们把不等式≤(a,b≥0)称为基本不等式.
[思考]利用基本不等式求最大值或最小值时,应注意什么问题呢
【提示】 利用基本不等式求最值时应注意:一正,二定,三相等.
[做一做] 下列不等式正确的是( )
[A]a+≥2
[B](-a)+(-)≤-2
[C]a2+≥2
[D](-a)2+(-)2≤-2
【答案】 C
【解析】 因为a2>0,故a2+≥2,当且仅当a=±1时,等号成立.故选C.
探究点一 利用基本不等式比较大小
[例1] 下列不等式正确的是( )
[A]a2+1>2a
[B]|x+|≥2
[C]2t+>4
[D]≤2
【答案】 B
【解析】 对于A,因为a2-2a+1=(a-1)2≥0,所以a2+1≥2a,故A错误;
对于B,当x>0时,|x+|=x+≥2(当且仅当x=1时,等号成立);
当x<0时,|x+|=-x-≥2(当且仅当x=-1时,等号成立),故B正确;
对于C,当t=-1时,2t+=-3<4,故C错误;
对于D,当a=1,b=4时,==>2,故D错误.故选B.
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
[针对训练] 设0[A]a[B]a<<[C]a<[D]【答案】 B
【解析】 法一 因为0又-a=(-)>0,即>a,排除D项.故选B.
法二 取a=2,b=8,则=4,=5,所以a<<探究点二 利用基本不等式比较代数式的大小
[例2] 若0【解】 因为02,a2+b2>2ab,
所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),
又因为0即a2+b2运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.
[针对训练] 已知a>b>c,则与的大小关系是 .
【答案】 ≤
【解析】 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0.所以=≥,当且仅当a+c=2b时,等号成立.
探究点三 利用基本不等式证明不等式
角度1 无附加条件的不等式证明
[例3] 已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>3.
【证明】 因为a,b,c全不相等,
所以与,与,与全不相等,
所以+>2,+>2,+>2,
三式相加得,+++++>6,
所以(+-1)+(+-1)+(+-1)>3,
即++>3.
利用基本不等式证明不等式的策略
从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
[针对训练] 已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
【证明】 因为a,b,c>0,所以利用基本不等式可得+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++a+b+c≥2a+2b+2c,故++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
角度2 有附加条件的不等式证明
[例4] 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:++≥9.
【证明】 ++=++=3+(+)+(+)+(+)≥3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
利用基本不等式证明不等式的注意事项:
(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,在证明不等式时注意使用条件.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.
特别提醒:在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.
[针对训练] 已知a>0,b>0,a+b=1.求证+≤2.
【证明】 因为a>0,b>0,a+b=1,所以ab≤()2=()2=,
因为(+)2=a+b+1+2
=2+2=2+2≤2+2=4,
当且仅当a=b=时,等号成立.
所以+≤2.
探究点四 利用基本不等式直接求最值
[例5] 已知x>0,求y=的最大值.
【解】 y==.因为x>0,所以x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以y≤=1,所以y=的最大值为1.
(1)应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接应用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等,以创设应用基本不等式的条件.
[针对训练] 已知x<,求y=4x-2+的最大值.
【解】 因为x<,所以5-4x>0,所以y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,故当x=1时,取得最大值1.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若y=x+(x>0)在x=a处取得最小值,则a=( )
[A]1 [B] [C]3 [D]9
【答案】 C
【解析】 因为x>0,所以由基本不等式得y=x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立.故选C.
2.不等式a2+b2≥2|ab|成立时,a,b一定是( )
[A]正数 [B]非负数
[C]实数 [D]不存在
【答案】 C
【解析】 原不等式可变形为a2+b2-2|ab|=|a|2+|b|2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,对任意实数都成立.故选C.
3.设x>0,则3-3x-的最大值是( )
[A]3 [B]3-2
[C]-1 [D]3-2
【答案】 D
【解析】 因为x>0,所以3x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,
所以-(3x+)≤-2,则3-3x-≤3-2,即3-3x-的最大值为3-2.故选D.
4.若对x>0,y>0,有(x+2y)(+)≥m恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A](-∞,8] [B](8,+∞)
[C](-∞,0) [D][4,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当x=2y时,等号成立,所以m≤8.故选A.
5.2x2+的最小值是( )
[A]36 [B]6
[C]11 [D]12
【答案】 C
【解析】 因为2x2+=(2x2+1)+-1≥2-1=11,当且仅当2x2+1=6,即x=±时,等号成立.故选C.
6.若正实数x,y满足xy+3x=3,则12x+y的最小值为( )
[A]7 [B]8 [C]9 [D]10
【答案】 C
【解析】 由x,y均为正实数,且xy+3x=3,得y=-3,则12x+y=12x+-3≥2-3=12-3=9,当且仅当12x=,即x=时,等号成立,所以12x+y的最小值为9.故选C.
7.(5分)已知a为正数,比较大小: 4.(填“≥”“≤”或“=”)
【答案】 ≥
【解析】 由a>0,得=a+2+≥2+2=4,当且仅当a=1时,等号成立.
8.(5分)若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 .(填序号)
①≤;②+≤1;③a2+b2≥8.
【答案】 ③
【解析】 因为a>0,b>0且a+b=4,a+b≥2,所以≤2,当且仅当a=b=2时,等号成立,即ab≤4,所以≥,所以①不成立;由+=·(a+b)(+)=(2++)≥(2+2)=1,当且仅当=,即a=b=2时,等号成立,所以+≥1,所以②不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以③成立.
9.(13分)(1)已知x>-1,求y=x-4+的最小值;
(2)已知a>0,b>0,且3a+7b=10,求ab的最大值.
【解】 (1)因为x>-1,所以x+1>0,
则y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
故y=x-4+的最小值为1.
(2)因为a>0,b>0,且3a+7b=10,
则ab=×3a×7b≤×=×=,
当且仅当3a=7b=5,即a=,b=时,等号成立,
故ab的最大值为.
10.(15分)已知a,b,c∈R,求证:++≥(a+b+c).
【证明】 因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥(a+b)2,
所以a2+b2≥,
所以≥=(a+b)(a,b∈R,当且仅当a=b≥0时,等号成立).
同理,≥(b+c)(b,c∈R,当且仅当b=c≥0时,等号成立),
≥(a+c)(a,c∈R,当且仅当a=c≥0时,等号成立).
三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)=(a+b+c)(当且仅当a=b=c≥0时,等号成立).
11.(多选)下列各式能用基本不等式直接求得最小值的是( )
[A]x+ [B]x2+1+
[C]+ [D]
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,当x<0时,-x>0,所以-x+≥2=,即x+≤-,当且仅当x=,即x=-时,等号成立,所以x+不能用基本不等式直接求得最小值,故A错误;对于选项B,因为x2+1>0,>0,所以x2+1+≥2=2,当且仅当x2+1=,即x=0时,等号成立,所以能用基本不等式直接求得最小值,故B正确;对于选项C,因为>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x=1时,等号成立,所以能用基本不等式直接求得最小值,故C正确;对于选项D,≤=,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,所以不能用基本不等式直接求得最小值,故D错误.故选BC.
12.(5分)已知x,y为正实数,则+的最小值为 .
【答案】 8-4
【解析】 +=+,
令=t>0,
所以+=2t+=2(t+2)+-4≥2-4=8-4,
当且仅当t=2-2时,等号成立,
所以+的最小值为8-4.
13.(16分)设a>0,b>0,c>0,证明:
(1)+≥;
(2)++≥++.
【证明】 (1)因为a>0,b>0,
所以(a+b)(+)≥2·2=4,当且仅当a=b 时,等号成立.所以+≥.
(2)由(1)可得+≥,
同理可得+≥,+≥,
三式相加,得2(++)≥++,所以++≥++.
14.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形证明,并称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,C是AB上的一点(不同于点A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,作CE⊥OD,垂足为E,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
[A]≤(a>0,b>0)
[B]<(a>0,b>0,a≠b)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]<<(a>0,b>0,a≠b)
【答案】 D
【解析】 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,
DC===,DE==.
因为DE0,b>0,a≠b).故选D.
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