3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 从函数观点看一元二次不等式
【课程标准要求】 1.理解一元二次不等式的概念,凝练数学抽象的核心素养.2.掌握图象法解一元二次不等式,增强直观想象与数学运算的核心素养.3.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关系.
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数最高次数是 2的整式不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
[做一做1] 下面所给关于x的几个不等式:①3x+4<0;②x2+mx-1>0(m为常数);③ax2+4x-7>0;④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
[A]1个 [B]2个 [C]3个 [D]4个
【答案】 B
【解析】 ②④一定是一元二次不等式.故选B.
2.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异 的实数根 x1,x2(x1
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) (-∞,-)∪(-,+∞) R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 (x1,x2)
[思考] 一元二次不等式与二次函数有什么关系
【提示】 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合;ax2+bx+c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
[做一做2] (1)不等式(x+1)(x+2)<0的解集是( )
[A](-2,-1)
[B](-∞,-2)∪(-1,+∞)
[C](1,2)
[D](-∞,1)∪(2,+∞)
(2)不等式4x2-9<0的解集是 .
【答案】 (1)A (2)
【解析】 (1)由(x+1)(x+2)<0可得-2所以不等式(x+1)(x+2)<0的解集为(-2,-1).故选A.
(2)原不等式可化为x2<,解得-探究点一 解不含参数的一元二次不等式
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
【解】 (1)方程2x2+5x-3=0的两个实根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.Δ=36-4×3×2=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=.作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②.由图可得原不等式的解集为.
(3)因为方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,
因为Δ=36-40=-4<0,
所以方程x2-6x+10=0无实根,
所以函数y=x2-6x+10的图象全部在x轴上方,
所以原不等式的解集为 .
解一元二次不等式的一般步骤
第一步,把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);
第二步,求Δ=b2-4ac;
第三步,若Δ<0,根据二次函数图象直接写出解集;若 Δ≥0,求出对应方程的根写出解集.
[针对训练] 解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;
(2)3x2+5x-2≥0;
(3)x2-4x+5>0.
【解】 (1)不等式可化为x2-5x+6<0.
因为Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,所以方程x2-5x+6=0有两个实数根x1=2,x2=3.
由二次函数y=x2-5x+6的图象(如图①),得原不等式的解集为{x|2(2)因为Δ=25-4×3×(-2)=49>0,
所以方程3x2+5x-2=0的两实根为x1=-2,x2=.
由二次函数y=3x2+5x-2的图象(如图②),得原不等式的解集为.
(3)方程x2-4x+5=0无实数解,函数y=x2-4x+5的图象是开口向上的抛物线,与x轴无交点(如图③).观察图象可得,不等式的解集为R.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,x2>0,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
[变式探究] 解关于x的不等式2x2+ax+2>0(a∈R).
【解】 对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
(1)当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为x1=(-a-),x2=(-a+),所以原不等式的解集为{x|x<(-a-)或x>(-a+)}.
(2)当a=4时,Δ=0,方程有两个相等的实根x1=x2=-1,所以原不等式的解集为{x|x≠-1}.
(3)当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等的实根x1=x2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1}.
(4)当-4综上所述,当a>4或a<-4时,原不等式的解集为{x|x<(-a-)或x>(-a+)};
当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当-4在解答含有参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,一般从以下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项的系数a>0,a=0,a<0.
(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:两根(Δ>0)、一根(Δ=0)、无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1探究点三 一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
[例3] 已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【解】 (1)由题意知不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和,且a<0,
由根与系数的关系,得
解得a=-6,c=-1.
(2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0,即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1,所以原不等式的解集为.
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集.
[针对训练] 已知不等式x2+px+q<0的解集是,解关于x的不等式qx2+px+1>0.
【解】 由已知得,x1=-,x2=是方程x2+px+q=0的根,所以-p=-+,q=-×,
所以p=,q=-.因为不等式qx2+px+1>0,所以-x2+x+1>0,即x2-x-6<0,所以-2故不等式qx2+px+1>0的解集为{x|-2课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.不等式x2+2x-3>0的解集为( )
[A]{x|-3[B]{x|x<-3或x>1}
[C]{x|-1[D]{x|x<1或x>3}
【答案】 B
【解析】 由x2+2x-3>0,得(x-1)(x+3)>0,解得x<-3或x>1.所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.故选B.
2.若有意义,则实数x的取值范围是( )
[A] [B]{3}
[C]{x|x≠3} [D]{x|2≤x≤4}
【答案】 B
【解析】 由有意义,得-2x2+12x-18≥0,即(x-3)2≤0,解得x=3,所以实数x的取值范围是{3}.故选B.
3.若0[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 D
【解析】 一元二次方程(x-m)(x-)=0的两个根为m,.
因为0因此不等式(x-m)(x-)<0的解集是.故选D.
4.(多选)下列四个不等式,其中解集为 的是( )
[A]x2+6x+10>0
[B]x2-2x+>0
[C]-2+3x-2x2>0
[D]2x2-3x+4<1
【答案】 CD
【解析】 A中,Δ=62-4×10=-4<0,解集为R;
B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为;
C中,不等式-2+3x-2x2>0可化为2x2-3x+2<0,
因为Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0,所以不等式-2+3x-2x2>0的解集为.
D中,原不等式等价为2x2-3x+3<0,因为Δ=(-3)2-4×2×3=-15<0,
所以不等式的解集为.故选CD.
5.若关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为{x|x1[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意知x1,x2为方程x2-2ax-3a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-3a2,
故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-3a2)=16a2=152,
解得a=±,又a>0,所以a=.故选C.
6.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1),其中a,b∈R,则关于x的不等式ax2-(2a+b)x+2b>0的解集为( )
[A](1,2)
[B](-∞,1)∪(2,+∞)
[C](-2,-1)
[D](-∞,-2)∪(-1,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1),
所以a<0且=1,即a=b<0.
不等式ax2-(2a+b)x+2b>0转化为x2-3x+2<0,解得1即不等式ax2-(2a+b)x+2b>0的解集为(1,2).故选A.
7.(5分)已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},则m+n的值是 .
【答案】 -14
【解析】 因为不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},
所以一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根为3,-2.
由根与系数的关系得
解得
所以m+n=-14.
8.(5分)若关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集为R,则实数k的取值范围是 .
【答案】 [0,1]
【解析】 由题意知,当k=0时,不等式为8≥0,满足条件;当k≠0时,若要满足条件,
则解得09.(12分)设命题p:2x2-3x+1≤0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分且不必要条件,求实数a的取值范围.
【解】 由题意得,命题p:A={x|≤x≤1},命题q:B={x|a≤x≤a+1},
因为p是q的充分且不必要条件,
所以A B,
所以且等号不能同时成立,
所以0≤a≤.即实数a的取值范围为[0,].
10.(15分)已知函数y=x2-3mx+(2m-1)(m+1),其中m∈R.
(1)若关于x的方程y=0的两个实数根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=12,求m的值;
(2)求关于x的不等式y≤0的解集.
【解】 (1)由x2-3mx+(2m-1)(m+1)=0,
可得x1+x2=3m,x1x2=(2m-1)(m+1),
由(x1-1)(x2-1)=12,可得x1x2-(x1+x2)+1=12,
即(2m-1)(m+1)-3m+1=12,
解得m=3或m=-2.
(2)由x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0,
可得[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,
当2m-1=m+1,即m=2时,不等式的解集为{3};
当2m-1>m+1,即m>2时,不等式的解集为[m+1,2m-1];
当2m-1综上所述,当m<2时,不等式的解集为[2m-1,m+1];
当m=2时,不等式的解集为{3};
当m>2时,不等式的解集为[m+1,2m-1].
11.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则( )
[A]b>0且c<0
[B]4a+2b+c=0
[C]不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
[D]不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-1【答案】 AC
【解析】 依题意可得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x=-2或x=1,且a>0,
由根与系数的关系可得即b=a,c=-2a.
对于A,由a>0可得b=a>0,c=-2a<0,即A正确;
对于B,易知4a+2b+c=4a>0,即B错误;
对于C,不等式bx+c>0即为ax-2a>0,由a>0可得x>2,所以不等式bx+c>0的解集为{x|x>2},即C正确;
对于D,不等式cx2-bx+a<0即为-2ax2-ax+a<0,由a>0可得2x2+x-1>0,
所以(2x-1)(x+1)>0,解得x>或x<-1,
即不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-1或x>},即D错误.故选AC.
12.(5分)若a<0,则关于x的不等式ax2+(a+1)x+1<0的解集为 .
【答案】 {x|x>-或x<-1}
【解析】 因为a<0,所以原不等式等价于x2+(1+)x+>0,
因式分解可得(x+1)(x+)>0.
易知方程(x+1)(x+)=0的两根分别为-1,-,
显然->0>-1,
所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-1}.
13.(16分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0,
对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.
①当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为 ;
③当a<0时,x1综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a当a=0时,不等式的解集为 ;
当a<0时,不等式的解集为{x|2a14.(5分)若a>1,且不等式(x-a)(x-)<0的解集中有且仅有一个整数,则a的取值范围是
.
【答案】 [,2]∪(2,3]
【解析】 不等式(x-a)(x-)<0,
当1若不等式解集中有且仅有一个整数,则这个整数为2,
则2<≤3,即 解得≤a<2,
即a∈[,2];
当a=2时,a=,不等式的解集为 ,不符合题意;
当a>2时,a>2>,不等式的解集为(,a),
若不等式解集中有且仅有一个整数,则这个整数为2,则解得2综上可知,实数a的取值范围是[,2)∪(2,3].
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3.3.2 从函数观点看
一元二次不等式
第1课时 从函数观点看
一元二次不等式
1.理解一元二次不等式的概念,凝练数学抽象的核心素养.2.掌握图象法解一元二次不等式,增强直观想象与数学运算的核心素养.3.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关系.
【课程标准要求】
1.一元二次不等式的概念
只含有 未知数,并且未知数最高次数是 的整式不等式叫作一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
一个
2
[做一做1] 下面所给关于x的几个不等式:①3x+4<0;②x2+mx-1>0(m为常数);③ax2+4x-7>0;④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )
[A]1个 [B]2个 [C]3个 [D]4个
B
【解析】 ②④一定是一元二次不等式.故选B.
2.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系
x1,x2(x1(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(x1,x2)
[思考] 一元二次不等式与二次函数有什么关系
【提示】 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c
(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合;ax2+bx+c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.
[做一做2] (1)不等式(x+1)(x+2)<0的解集是( )
[A](-2,-1)
[B](-∞,-2)∪(-1,+∞)
[C](1,2)
[D](-∞,1)∪(2,+∞)
A
【解析】 (1)由(x+1)(x+2)<0可得-2所以不等式(x+1)(x+2)<0的解集为(-2,-1).故选A.
(2)不等式4x2-9<0的解集是 .
探究点一 解不含参数的一元二次不等式
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;
(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;
(4)-x2+6x-10>0.
【解】(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,
因为Δ=36-40=-4<0,
所以方程x2-6x+10=0无实根,
所以函数y=x2-6x+10的图象全部在x轴上方,
所以原不等式的解集为 .
·方法总结·
解一元二次不等式的一般步骤
第一步,把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);
第二步,求Δ=b2-4ac;
第三步,若Δ<0,根据二次函数图象直接写出解集;若 Δ≥0,求出对应方程的根写出解集.
[针对训练] 解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;
【解】 (1)不等式可化为x2-5x+6<0.
因为Δ=(-5)2-4×1×6=1>0,所以方程x2-5x+6=0有两个实数根x1=2,x2=3.
由二次函数y=x2-5x+6的图象(如图①),
得原不等式的解集为{x|2(2)3x2+5x-2≥0;
(3)x2-4x+5>0.
【解】 (3)方程x2-4x+5=0无实数解,函数y=x2-4x+5的图象是开口向上的抛物线,与x轴无交点(如图③).观察图象可得,不等式的解集为R.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.
当a<0时,aa2};
当a=0时,x2>0,原不等式的解集为{x|x≠0};
当0a};
当a=1时,a2=a,原不等式的解集为{x|x≠1};
当a>1时,aa2}.
综上所述,
当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|xa2};
当0a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
[变式探究] 解关于x的不等式2x2+ax+2>0(a∈R).
(2)当a=4时,Δ=0,方程有两个相等的实根x1=x2=-1,所以原不等式的解集为{x|x≠-1}.
(3)当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等的实根x1=x2=1,所以原不等式的解集为{x|x≠1}.
(4)当-4当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1};
当-4·方法总结·
在解答含有参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,一般从以下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项的系数a>0,a=0,a<0.
(2)关于不等式对应的方程的根的讨论:两根(Δ>0)、一根(Δ=0)、无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1探究点三 一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
(1)求a,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
·方法总结·
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题,关系如下:
特别提醒:由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集.3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 从函数观点看一元二次不等式
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.不等式x2+2x-3>0的解集为( )
[A]{x|-3[B]{x|x<-3或x>1}
[C]{x|-1[D]{x|x<1或x>3}
【答案】 B
【解析】 由x2+2x-3>0,得(x-1)(x+3)>0,解得x<-3或x>1.所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.故选B.
2.若有意义,则实数x的取值范围是( )
[A] [B]{3}
[C]{x|x≠3} [D]{x|2≤x≤4}
【答案】 B
【解析】 由有意义,得-2x2+12x-18≥0,即(x-3)2≤0,解得x=3,所以实数x的取值范围是{3}.故选B.
3.若0[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 D
【解析】 一元二次方程(x-m)(x-)=0的两个根为m,.
因为0因此不等式(x-m)(x-)<0的解集是.故选D.
4.(多选)下列四个不等式,其中解集为 的是( )
[A]x2+6x+10>0
[B]x2-2x+>0
[C]-2+3x-2x2>0
[D]2x2-3x+4<1
【答案】 CD
【解析】 A中,Δ=62-4×10=-4<0,解集为R;
B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为;
C中,不等式-2+3x-2x2>0可化为2x2-3x+2<0,
因为Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0,所以不等式-2+3x-2x2>0的解集为.
D中,原不等式等价为2x2-3x+3<0,因为Δ=(-3)2-4×2×3=-15<0,
所以不等式的解集为.故选CD.
5.若关于x的不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为{x|x1[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意知x1,x2为方程x2-2ax-3a2=0的两根,所以x1+x2=2a,x1x2=-3a2,
故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-3a2)=16a2=152,
解得a=±,又a>0,所以a=.故选C.
6.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1),其中a,b∈R,则关于x的不等式ax2-(2a+b)x+2b>0的解集为( )
[A](1,2)
[B](-∞,1)∪(2,+∞)
[C](-2,-1)
[D](-∞,-2)∪(-1,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为不等式ax+b>0的解集为(-∞,-1),
所以a<0且=1,即a=b<0.
不等式ax2-(2a+b)x+2b>0转化为x2-3x+2<0,解得1即不等式ax2-(2a+b)x+2b>0的解集为(1,2).故选A.
7.(5分)已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},则m+n的值是 .
【答案】 -14
【解析】 因为不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3或x<-2},
所以一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根为3,-2.
由根与系数的关系得
解得
所以m+n=-14.
8.(5分)若关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0的解集为R,则实数k的取值范围是 .
【答案】 [0,1]
【解析】 由题意知,当k=0时,不等式为8≥0,满足条件;当k≠0时,若要满足条件,
则解得09.(12分)设命题p:2x2-3x+1≤0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分且不必要条件,求实数a的取值范围.
【解】 由题意得,命题p:A={x|≤x≤1},命题q:B={x|a≤x≤a+1},
因为p是q的充分且不必要条件,
所以A B,
所以且等号不能同时成立,
所以0≤a≤.即实数a的取值范围为[0,].
10.(15分)已知函数y=x2-3mx+(2m-1)(m+1),其中m∈R.
(1)若关于x的方程y=0的两个实数根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=12,求m的值;
(2)求关于x的不等式y≤0的解集.
【解】 (1)由x2-3mx+(2m-1)(m+1)=0,
可得x1+x2=3m,x1x2=(2m-1)(m+1),
由(x1-1)(x2-1)=12,可得x1x2-(x1+x2)+1=12,
即(2m-1)(m+1)-3m+1=12,
解得m=3或m=-2.
(2)由x2-3mx+(2m-1)(m+1)≤0,
可得[x-(2m-1)][x-(m+1)]≤0,
当2m-1=m+1,即m=2时,不等式的解集为{3};
当2m-1>m+1,即m>2时,不等式的解集为[m+1,2m-1];
当2m-1综上所述,当m<2时,不等式的解集为[2m-1,m+1];
当m=2时,不等式的解集为{3};
当m>2时,不等式的解集为[m+1,2m-1].
11.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则( )
[A]b>0且c<0
[B]4a+2b+c=0
[C]不等式bx+c>0的解集为{x|x>2}
[D]不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-1【答案】 AC
【解析】 依题意可得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x=-2或x=1,且a>0,
由根与系数的关系可得即b=a,c=-2a.
对于A,由a>0可得b=a>0,c=-2a<0,即A正确;
对于B,易知4a+2b+c=4a>0,即B错误;
对于C,不等式bx+c>0即为ax-2a>0,由a>0可得x>2,所以不等式bx+c>0的解集为{x|x>2},即C正确;
对于D,不等式cx2-bx+a<0即为-2ax2-ax+a<0,由a>0可得2x2+x-1>0,
所以(2x-1)(x+1)>0,解得x>或x<-1,
即不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<-1或x>},即D错误.故选AC.
12.(5分)若a<0,则关于x的不等式ax2+(a+1)x+1<0的解集为 .
【答案】 {x|x>-或x<-1}
【解析】 因为a<0,所以原不等式等价于x2+(1+)x+>0,
因式分解可得(x+1)(x+)>0.
易知方程(x+1)(x+)=0的两根分别为-1,-,
显然->0>-1,
所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-1}.
13.(16分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0,
对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.
①当a>0时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为 ;
③当a<0时,x1综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a当a=0时,不等式的解集为 ;
当a<0时,不等式的解集为{x|2a14.(5分)若a>1,且不等式(x-a)(x-)<0的解集中有且仅有一个整数,则a的取值范围是
.
【答案】 [,2]∪(2,3]
【解析】 不等式(x-a)(x-)<0,
当1若不等式解集中有且仅有一个整数,则这个整数为2,
则2<≤3,即 解得≤a<2,
即a∈[,2];
当a=2时,a=,不等式的解集为 ,不符合题意;
当a>2时,a>2>,不等式的解集为(,a),
若不等式解集中有且仅有一个整数,则这个整数为2,则解得2综上可知,实数a的取值范围是[,2)∪(2,3].
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