3.2.2 基本不等式的应用
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分.
1.若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是( )
[A]6 [B]8 [C]9 [D]10
【答案】 C
【解析】 +=(+)(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当=,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C.
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
[A]x= [B]x≤
[C]x> [D]x≥
【答案】 B
【解析】 由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤[]2,
所以1+x≤1+,故x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.
3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
[A]16 [B]25 [C]9 [D]36
【答案】 B
【解析】 因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+()2=9+16=25,当且仅当x=y=4时,等号成立.故选B.
4.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:
mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则池水中该药品的浓度达到最大时,经过的时间为( )
[A]2 h [B]4 h [C]6 h [D]8 h
【答案】 A
【解析】 C==.
因为t>0,所以t+≥2=4(当且仅当t=,即t=2时,等号成立).
所以C=≤=5,当且仅当t=,即t=2时,C取得最大值.故选A.
5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为( )
[A]1 [B] [C]2 [D]2
【答案】 D
【解析】 由xy=1可知x≠0,则y=,代入x2+2y2得x2+2y2=x2+≥2,
当且仅当x2=时,等号成立,即当x=±时,x2+2y2取得最小值2.故选D.
6.若正实数x,y满足x+y=3,且不等式+>|m-1|+4恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A]{m|-3[B]{m|m<-3或m>1}
[C]{m|-1[D]{m|m<-1或m>3}
【答案】 C
【解析】 因为正实数x,y满足x+y=3,
所以+=(+)(x+y)=(2+8++)≥(10+2)=6,
当且仅当=,即x=1,y=2时,等号成立,
又由不等式+>|m-1|+4恒成立,
所以6>|m-1|+4,解得-17.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园的长x为 m.
【答案】 20
【解析】 设矩形花园的宽为y m,则=,即y=40-x,
矩形花园的面积S=x(40-x)≤()2=400,
当且仅当x=40-x,即x=20时,等号成立,即当x=20 m时,面积最大.
8.(5分)要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则最低总造价是 元.
【答案】 480
【解析】 由已知可得底面面积为S=16 m2,设底面长为x m,宽为y m,总造价为z元,
则z=16×20+2x×1×10+2y×1×10=20(x+y)+320,
因为xy=16,所以x+y≥2=8,当且仅当x=y=4时,等号成立,
所以应把此容器底面设计成边长为4 m的正方形,才能使该容器的总造价最低,最低总造价为20×8+320=480(元).
9.(13分)已知x>0,y>0,且x+y=2.
(1)求+的最小值;
(2)若4x+1-mxy≥0恒成立,求m的最大值.
【解】 (1)由x+y=2,得+=1,又x>0,y>0,
所以+=(+)(+)=5++≥5+2=8,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
所以+的最小值为8.
(2)由4x+1-mxy≥0恒成立,得m≤恒成立,
又x+y=2,所以===(+),
由(1)可知+≥8,所以(+)≥4,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,即≥4,故m的最大值是4.
10.(16分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
【解】 (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=(+)(x+y)=10++≥10+2=18,
当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.
11.已知x≥0,y≥0且x+y=1,则+的最小值为( )
[A]1 [B]2 [C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为x≥0,y≥0且x+y=1,所以(2x+6)+(2y+1)=9,
所以+=+=[(2x+6)+(2y+1)](+)
=[5+·(2y+1)+·(2x+6)]
≥[5+2]
=1,
当且仅当·(2y+1)=·(2x+6),即x=0,y=1时,等号成立,
故+的最小值为1.故选A.
12.(5分)用17列火车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市.已知A,B两市间铁路线长400 km,为了安全,每两列火车之间的距离不得小于()2 km(火车长度忽略不计),则这批货物全部运到B市最快需要 h,此时火车的速度是 km/h.
【答案】 8 100
【解析】 这批货物全部运到B市需要的时间为=+≥2=8,当且仅当=,即v=100时,等号成立.所以这批货物全部运到B市最快需要8 h,此时火车的速度是100 km/h.
13.(16分)已知A,B为东西方向的海岸线上相距12 km的两地(B在A的东侧),C是A,B之间距A地 3 km 处的一地,在C地正南方向3 km处有一海岛P,由海岛P开往海岸的小船以10 km/h的速度按直线方向航行.
(1)某人在海岛P上乘小船在距C地正东方向4 km 处的D地登岸,登岸后以5 km/h的速度向东步行到B地,求此人从海岛P到达B地的时间;
(2)一快递员以v km/h的速度从A地向B地骑行,同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C,B之间的E地,且距C地x km(0【解】 (1)如图所示,
由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=12-3-4=5(km),PC⊥CD,
由勾股定理可得PD===5(km),
因此,此人从海岛P到达B地的时间为t=+=+=1.5(h).
(2)如图所示,AC=3 km,PC=3 km,CE=x km,PC⊥CE,
由勾股定理可得PE==(km),
由题意可得=,即=,
可得====≤=,
所以v≤10,
当且仅当x=(0因此,快递员的速度v的最大值为10 km/h.
14.(5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
【答案】
【解析】 因为5x2y2+y4=1,
所以y≠0且x2=,
所以x2+y2=+y2=+≥2=,
当且仅当=,即x2=,y2=时,等号成立.
所以x2+y2的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2.2 基本不等式的应用
【课程标准要求】 1.能用基本不等式求条件最值,提升数学运算的核心素养.2.能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题,培养数学建模的核心素养.
应用基本不等式求最值
对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意:
(1)和a+b为定值时,积ab有最大值;积ab为定值时,和a+b有最小值.
(2)取等号的条件(当且仅当a=b时,=).
[做一做]已知正数x,y满足x+y=1,则xy的最大值是 .
【答案】
【解析】 xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立.
探究点一 利用基本不等式求最值
[例1] 已知x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值为 .
【答案】 16
【解析】 法一(1的代换) 因为+=1,
所以x+y=(x+y)·(+)=10++.
因为x>0,y>0,所以+≥2=6,
当且仅当=,即y=3x时,等号成立.
又+=1,
所以x=4,y=12.
所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16.
法二(消元法) 由+=1,得x=.
因为x>0,y>0,所以y>9.
所以x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.
因为y>9,所以y-9>0,
所以(y-9)+≥2=6.
当且仅当y-9=,即y=12时,等号成立,此时x=4,
所以当x=4,y=12时,x+y的最小值是16.
法三(构造定值) 因为x>0,y>0,且+=1,
所以x>1,y>9.
由+=1,得y+9x=xy xy-9x-y+9-9=0 (x-1)(y-9)=9(定值).
所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=2×3+10=16.
当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,等号成立,所以x+y的最小值是16.
[变式探究1] 本例中,若把条件“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值.
【解】 因为x>0,y>0,x+2y=1,
所以+=(x+2y)(+)=8+++2=10++≥10+2=18.
当且仅当=时,等号成立,结合x+2y=1,得x=,y=,
所以当x=,y=时,+取得最小值18.
[变式探究2] 本例中,若把条件“已知x>0,y>0,且+=1”改为“已知点(-1,-2)满足方程mx+ny=-2(m>0,n>0)”,求+的最小值.
【解】 由题意得+n=1,所以+=(+)(+n)=++≥+2=,当且仅当=,即n=2-,m=2-2时,等号成立.
所以+的最小值为.
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
(2)构造法.
①构造不等式:利用ab≤()2,将式子转化为含ab或a+b的不等式,将ab,(a+b)作为整体解出范围;
②构造定值:结合已知条件对要求的代数式变形,构造出和或积的定值,再利用基本不等式求最值.
探究点二 利用基本不等式解决恒成立问题
[例2] 已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则实数m的最大值为( )
[A]10 [B]9 [C]8 [D]7
【答案】 B
【解析】 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使+≥恒成立,只需m≤(2a+b)(+)恒成立,而(2a+b)(+)=4+++1≥5+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9,即实数m的最大值为9.故选B.
应用基本不等式解决不等式的恒成立问题的基本思路和方法:
(1)根据所给出的已知条件和不等式,将参数分离出来.
(2)将不等式的恒成立问题转化为求代数式的最大值或最小值问题.
(3)利用基本不等式求出代数式的最大值或最小值.
(4)根据参数与代数式的不等关系求出参数的取值范围.
[针对训练] 对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为( )
[A] [B]2 [C]4 [D]
【答案】 B
【解析】 因为对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,所以m2+2n2≥amn,
即a≤=+恒成立,因为+≥2=2,
当且仅当=,即m=n时,等号成立,所以a≤2,故实数a的最大值为2.
故选B.
探究点三 利用基本不等式解决实际应用题
[例3] 如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫作“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(单位:m)与汽车车速v(单位:m/s)之间有公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25 m.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长为5 m,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.当v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大
【解】 经过A点的车流量最大,即每两辆车之间的时间间隔T最小.
因为T===++≥2+=,当且仅当=,即v=20时,等号成立.
所以当v=20 m/s时,经过观测点A的车流量最大.
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
[针对训练] 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园,设菜园的长为x m,宽为y m.
(1)若菜园面积为72 m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小;
(2)若使用的篱笆总长度为30 m,求+的最小值.
【解】 (1)由已知可得xy=72,篱笆总长为(x+2y) m.
又因为x+2y≥2=24,当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.
所以当x=12,y=6时,可使所用篱笆总长最小.
(2)由已知得x+2y=30,
又因为(+)(x+2y)=5++≥5+2=9,
所以+≥,当且仅当x=y,即x=10,y=10时,等号成立.
所以+的最小值是.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分.
1.若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是( )
[A]6 [B]8 [C]9 [D]10
【答案】 C
【解析】 +=(+)(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当=,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C.
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
[A]x= [B]x≤
[C]x> [D]x≥
【答案】 B
【解析】 由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤[]2,
所以1+x≤1+,故x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.
3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
[A]16 [B]25 [C]9 [D]36
【答案】 B
【解析】 因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+()2=9+16=25,当且仅当x=y=4时,等号成立.故选B.
4.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:
mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则池水中该药品的浓度达到最大时,经过的时间为( )
[A]2 h [B]4 h [C]6 h [D]8 h
【答案】 A
【解析】 C==.
因为t>0,所以t+≥2=4(当且仅当t=,即t=2时,等号成立).
所以C=≤=5,当且仅当t=,即t=2时,C取得最大值.故选A.
5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为( )
[A]1 [B] [C]2 [D]2
【答案】 D
【解析】 由xy=1可知x≠0,则y=,代入x2+2y2得x2+2y2=x2+≥2,
当且仅当x2=时,等号成立,即当x=±时,x2+2y2取得最小值2.故选D.
6.若正实数x,y满足x+y=3,且不等式+>|m-1|+4恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A]{m|-3[B]{m|m<-3或m>1}
[C]{m|-1[D]{m|m<-1或m>3}
【答案】 C
【解析】 因为正实数x,y满足x+y=3,
所以+=(+)(x+y)=(2+8++)≥(10+2)=6,
当且仅当=,即x=1,y=2时,等号成立,
又由不等式+>|m-1|+4恒成立,
所以6>|m-1|+4,解得-17.(5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园的长x为 m.
【答案】 20
【解析】 设矩形花园的宽为y m,则=,即y=40-x,
矩形花园的面积S=x(40-x)≤()2=400,
当且仅当x=40-x,即x=20时,等号成立,即当x=20 m时,面积最大.
8.(5分)要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则最低总造价是 元.
【答案】 480
【解析】 由已知可得底面面积为S=16 m2,设底面长为x m,宽为y m,总造价为z元,
则z=16×20+2x×1×10+2y×1×10=20(x+y)+320,
因为xy=16,所以x+y≥2=8,当且仅当x=y=4时,等号成立,
所以应把此容器底面设计成边长为4 m的正方形,才能使该容器的总造价最低,最低总造价为20×8+320=480(元).
9.(13分)已知x>0,y>0,且x+y=2.
(1)求+的最小值;
(2)若4x+1-mxy≥0恒成立,求m的最大值.
【解】 (1)由x+y=2,得+=1,又x>0,y>0,
所以+=(+)(+)=5++≥5+2=8,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,
所以+的最小值为8.
(2)由4x+1-mxy≥0恒成立,得m≤恒成立,
又x+y=2,所以===(+),
由(1)可知+≥8,所以(+)≥4,
当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,即≥4,故m的最大值是4.
10.(16分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
【解】 (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=(+)(x+y)=10++≥10+2=18,
当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.
11.已知x≥0,y≥0且x+y=1,则+的最小值为( )
[A]1 [B]2 [C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为x≥0,y≥0且x+y=1,所以(2x+6)+(2y+1)=9,
所以+=+=[(2x+6)+(2y+1)](+)
=[5+·(2y+1)+·(2x+6)]
≥[5+2]
=1,
当且仅当·(2y+1)=·(2x+6),即x=0,y=1时,等号成立,
故+的最小值为1.故选A.
12.(5分)用17列火车运一批货物从A市以v km/h的速度匀速行驶直达B市.已知A,B两市间铁路线长400 km,为了安全,每两列火车之间的距离不得小于()2 km(火车长度忽略不计),则这批货物全部运到B市最快需要 h,此时火车的速度是 km/h.
【答案】 8 100
【解析】 这批货物全部运到B市需要的时间为=+≥2=8,当且仅当=,即v=100时,等号成立.所以这批货物全部运到B市最快需要8 h,此时火车的速度是100 km/h.
13.(16分)已知A,B为东西方向的海岸线上相距12 km的两地(B在A的东侧),C是A,B之间距A地 3 km 处的一地,在C地正南方向3 km处有一海岛P,由海岛P开往海岸的小船以10 km/h的速度按直线方向航行.
(1)某人在海岛P上乘小船在距C地正东方向4 km 处的D地登岸,登岸后以5 km/h的速度向东步行到B地,求此人从海岛P到达B地的时间;
(2)一快递员以v km/h的速度从A地向B地骑行,同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C,B之间的E地,且距C地x km(0【解】 (1)如图所示,
由题意可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=12-3-4=5(km),PC⊥CD,
由勾股定理可得PD===5(km),
因此,此人从海岛P到达B地的时间为t=+=+=1.5(h).
(2)如图所示,AC=3 km,PC=3 km,CE=x km,PC⊥CE,
由勾股定理可得PE==(km),
由题意可得=,即=,
可得====≤=,
所以v≤10,
当且仅当x=(0因此,快递员的速度v的最大值为10 km/h.
14.(5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 .
【答案】
【解析】 因为5x2y2+y4=1,
所以y≠0且x2=,
所以x2+y2=+y2=+≥2=,
当且仅当=,即x2=,y2=时,等号成立.
所以x2+y2的最小值为.
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3.2.2 基本
不等式的应用
1.能用基本不等式求条件最值,提升数学运算的核心素养.2.能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题,培养数学建模的核心素养.
【课程标准要求】
应用基本不等式求最值
对于正数a,b,在运用基本不等式时,应注意:
(1)和a+b为定值时,积ab有 ;积ab为定值时,和a+b有 .
(2)取等号的条件(当且仅当a=b时, ).
最大值
最小值
[做一做]已知正数x,y满足x+y=1,则xy的最大值是 .
探究点一 利用基本不等式求最值
16
·方法总结·
利用基本不等式求条件最值的常用方法
(1)“1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
·方法总结·
(2)构造法.
②构造定值:结合已知条件对要求的代数式变形,构造出和或积的定值,再利用基本不等式求最值.
探究点二 利用基本不等式解决恒成立问题
[A]10 [B]9 [C]8 [D]7
B
·方法总结·
应用基本不等式解决不等式的恒成立问题的基本思路和方法:
(1)根据所给出的已知条件和不等式,将参数分离出来.
(2)将不等式的恒成立问题转化为求代数式的最大值或最小值问题.
(3)利用基本不等式求出代数式的最大值或最小值.
(4)根据参数与代数式的不等关系求出参数的取值范围.
[针对训练] 对任意m,n∈(0,+∞),都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为
( )
B
探究点三 利用基本不等式解决实际应用题
·方法总结·
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数.
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
[针对训练] 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园,设菜园的长为x m,宽为y m.
(1)若菜园面积为72 m2,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小;
