4.1.2 指数幂的拓展
【课程标准要求】 1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,提升逻辑推理的核心素养.2.掌握有理数指数幂的运算性质,增强数学运算的核心素养.3.了解无理数指数幂的意义,巩固数学抽象的核心素养.
1.分数指数幂的意义
分数 指数幂 正分数 指数幂 规定:=(a>0,m,n∈N*,n>1)
负分数 指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N*,n>1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义
[思考] 分数指数幂可以理解为个a相乘吗
【提示】 不可以.分数指数幂不可以理解为个a相乘.事实上,它是根式的一种新写法.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)t=atbt(a>0,b>0,t∈Q).
3.无理数指数幂
一般地,当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.
[做一做](多选)下列结论正确的是( )
[A](-2=(-2
[B][(-2)×(-3)=(-2×(-3
[C]当a>0时,(ar)s=(as)r
[D]=(
【答案】 CD
【解析】 对于A,(-2>0,而(-2无意义,A错误;对于B,左侧=,右侧无意义,B错误;对于C,当a>0时,(ar)s=(as)r,C正确;对于D,==(=(,D正确.故选CD.
探究点一 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式.
(1)(a>0);
(2)(x>0);
(3)((b>0).
【解】 (1)原式=(a·=(=.
(2)原式======.
(3)原式=[(==.
根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式,但用分数指数幂表示时,运算更方便.因此,在很多情况下,需要对根式与分数指数幂进行互化.
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.
①根指数 分数指数的分母;
②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
(3)化简过程中要明确字母参数的取值范围,以免出错.
[针对训练] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0,x>0,y>0).
(1)a2·;
(2)a3·;
(3).
【解】 (1)a2·=a2·==.
(2)a3·=a3·==.
(3)法一 从外向里化为分数指数幂
=()
=[()]
={[()]
=()·()·()
=··
==.
法二 从里向外化为分数指数幂
====(·x)=.
探究点二 利用指数幂的性质化简、求值
[例2] 化简求值.
(1)0.02-()+25+(2-3-1+π0;
(2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
(3)2÷4×3.
【解】 (1)原式=(0.33-[()2]+(44+(-+1=0.3-+43+2-+1=64.
(2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-.
(3)原式=2÷(4)×(3)=×3=.
(1)利用指数幂的运算性质化简求值的方法.
①进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化带分数为假分数,同时兼顾运算的顺序;
②尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算,达到化繁为简的目的;
③在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算;
④对于含有参数的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
(2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求.
利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数.
[针对训练] 计算:
(1)[12+()+34];
(2)[(0.02+50×0.001 )].
【解】 (1)原式=[(53+(2-4+(73=(52+22+7=3=6.
(2)原式=[×()+×50×()]=[×()+×50×()]
=[×()2+×50×()3]=(+)
==()=()=()-1=.
探究点三 条件求值问题
[例3] (多选)已知a+a-1=3,则下列选项中正确的有( )
[A]a2+a-2=7
[B]-=±1
[C]+=±
[D]+=2
【答案】 ABD
【解析】 a+a-1=3两边平方得(a+a-1)2=a2+2+a-2=9,所以a2+a-2=7,A正确;
(-)2=a-2+a-1=3-2=1,
因为,的大小关系不确定,所以-=±1,B正确;
(+)2=a+2+a-1=3+2=5,
因为>0,>0,所以+=,C错误;
由立方和公式可得
+=()3+()3=(+)(a-1+a-1)=×(3-1)=2,D正确.故选ABD.
[变式探究1] 在本例条件下,求的值.
【解】 因为+=,a2+a-2=7,
所以=.
[变式探究2] 将本例改为“已知+=3,求(1)a3+a-3;(2)的值”.
【解】 (1)因为a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1),
由+=3得a+a-1=(+)2-2=7,
a2+a-2=(a+a-1)2-2=72-2=47,所以a3+a-3=7×(47-1)=322.
(2)-=()3-()3,
所以==a+a-1+1=7+1=8.
条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件,通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),寻找已知式和待求式的关系,可考虑使用整体代换法.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若(1-2x有意义,则x的取值范围是( )
[A](-∞,+∞)
[B](-∞,)∪(,+∞)
[C](,+∞)
[D](-∞,)
【答案】 D
【解析】 因为(1-2x=,所以1-2x>0,得x<.故选D.
2.化简[的结果为( )
[A]5 [B] [C]- [D]-5
【答案】 B
【解析】 [=(===.故选B.
3.下列各式中,计算正确的是( )
[A]m4·m4=2m4
[B]m4+m2=m5
[C](-2xy)3=-6x3y3
[D]÷=-ab2
【答案】 D
【解析】 对于A,m4·m4=m4+4=m8,故A错误;
对于B,m4+m2≠m5,故B错误;
对于C,(-2xy)3=-8x3y3,故C错误;
对于D,÷=-÷=-ab2,故D正确.故选D.
4.已知a>0,将表示成有理数指数幂,其结果是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由a>0,得=====.故选C.
5.(多选)下列选项中正确的有( )
[A]=a
[B]若a∈R,则=1
[C]=+y
[D]=
【答案】 BD
【解析】 对于A,当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误;
对于B,a2-a+1=+≠0,故=1,故B正确;
对于C,显然不成立,如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;
对于D,===,故D正确.故选BD.
6.(多选)在下列根式与分数指数幂的互化中,不正确的是( )
[A](-x)0.5=-(x≠0)
[B]=(y∈R)
[C]=(xy≠0)
[D]=-
【答案】 ABD
【解析】 对于A,左边x<0,右边x>0,故A错误;
对于B,当y<0时,=-,故B错误;
对于C,由分数指数幂可得xy>0,则==,故C正确;
对于D,==,故D错误.所以不正确的是选项A,B,D.故选ABD.
7.(5分)0.06+-π0-×()4= .
【答案】
【解析】 0.06+-π0-×()4=+32-1-×=+9-1-2=.
8.(5分)已知2a=5,8b=3,则2a-3b的值为 .
【答案】
【解析】 因为8b=3,所以=23b=3,所以2a-3b==.
9.(13分)(1)用分数指数幂的形式表示.
(2)求值:+-.
(3)化简:(x>0,y>0).
【解】 (1)===.
(2)+-=+-=16+3-=.
(3)==.
10.(14分)(1)计算:-+.
(2)计算:4÷(-)(a,b>0).
(3)已知-=2,求的值.
【解】 (1)-+=-4-1+=-.
(2)4÷(-)=-6·=-6ab.
(3)由-=2,得x+x-1=(-)2+2=6,
x2+x-2=-2=34,
所以==.
11.化简 (a>0,b>0)的结果是( )
[A] [B]ab [C] [D]a2b
【答案】 C
【解析】 原式=[a3b2(ab2÷(a1b2)=×÷()=×=.故选C.
12.(5分)设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .
【答案】 27
【解析】 由2x=8y+1,得2x=23y+3,
所以x=3y+3.①
由9y=3x-9,得32y=3x-9,
所以2y=x-9.②
由①②联立方程组,解得x=21,y=6,所以x+y=27.
13.(15分)已知0【解】 因为01,所以x+>0,x-<0,
-
=-
=-
=-
=x++x-=2x.
14.(多选)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是( )
[A]a+2b=1 [B]ab<
[C]10a+b>4 [D]a>b
【答案】 ABC
【解析】 因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正确;
易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,
当且仅当a=2b=时,等号成立,又10a≠102b,即a≠2b,所以等号不成立,
所以ab<,故B正确;
10a+b=10a·10b=2×=2>4,故C正确;
由=102a=4<5=102b,得a21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.1.2 指数幂的拓展
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.若(1-2x有意义,则x的取值范围是( )
[A](-∞,+∞)
[B](-∞,)∪(,+∞)
[C](,+∞)
[D](-∞,)
【答案】 D
【解析】 因为(1-2x=,所以1-2x>0,得x<.故选D.
2.化简[的结果为( )
[A]5 [B] [C]- [D]-5
【答案】 B
【解析】 [=(===.故选B.
3.下列各式中,计算正确的是( )
[A]m4·m4=2m4
[B]m4+m2=m5
[C](-2xy)3=-6x3y3
[D]÷=-ab2
【答案】 D
【解析】 对于A,m4·m4=m4+4=m8,故A错误;
对于B,m4+m2≠m5,故B错误;
对于C,(-2xy)3=-8x3y3,故C错误;
对于D,÷=-÷=-ab2,故D正确.故选D.
4.已知a>0,将表示成有理数指数幂,其结果是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由a>0,得=====.故选C.
5.(多选)下列选项中正确的有( )
[A]=a
[B]若a∈R,则=1
[C]=+y
[D]=
【答案】 BD
【解析】 对于A,当n为偶数时,=|a|,故=a不一定成立,故A错误;
对于B,a2-a+1=+≠0,故=1,故B正确;
对于C,显然不成立,如当x=y=1时,左边为,右边为2,故C错误;
对于D,===,故D正确.故选BD.
6.(多选)在下列根式与分数指数幂的互化中,不正确的是( )
[A](-x)0.5=-(x≠0)
[B]=(y∈R)
[C]=(xy≠0)
[D]=-
【答案】 ABD
【解析】 对于A,左边x<0,右边x>0,故A错误;
对于B,当y<0时,=-,故B错误;
对于C,由分数指数幂可得xy>0,则==,故C正确;
对于D,==,故D错误.所以不正确的是选项A,B,D.故选ABD.
7.(5分)0.06+-π0-×()4= .
【答案】
【解析】 0.06+-π0-×()4=+32-1-×=+9-1-2=.
8.(5分)已知2a=5,8b=3,则2a-3b的值为 .
【答案】
【解析】 因为8b=3,所以=23b=3,所以2a-3b==.
9.(13分)(1)用分数指数幂的形式表示.
(2)求值:+-.
(3)化简:(x>0,y>0).
【解】 (1)===.
(2)+-=+-=16+3-=.
(3)==.
10.(14分)(1)计算:-+.
(2)计算:4÷(-)(a,b>0).
(3)已知-=2,求的值.
【解】 (1)-+=-4-1+=-.
(2)4÷(-)=-6·=-6ab.
(3)由-=2,得x+x-1=(-)2+2=6,
x2+x-2=-2=34,
所以==.
11.化简 (a>0,b>0)的结果是( )
[A] [B]ab [C] [D]a2b
【答案】 C
【解析】 原式=[a3b2(ab2÷(a1b2)=×÷()=×=.故选C.
12.(5分)设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .
【答案】 27
【解析】 由2x=8y+1,得2x=23y+3,
所以x=3y+3.①
由9y=3x-9,得32y=3x-9,
所以2y=x-9.②
由①②联立方程组,解得x=21,y=6,所以x+y=27.
13.(15分)已知0【解】 因为01,所以x+>0,x-<0,
-
=-
=-
=-
=x++x-=2x.
14.(多选)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是( )
[A]a+2b=1 [B]ab<
[C]10a+b>4 [D]a>b
【答案】 ABC
【解析】 因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正确;
易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,
当且仅当a=2b=时,等号成立,又10a≠102b,即a≠2b,所以等号不成立,
所以ab<,故B正确;
10a+b=10a·10b=2×=2>4,故C正确;
由=102a=4<5=102b,得a21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
4.1.2 指数幂的拓展
1.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,提升逻辑推理的核心素养.2.掌握有理数指数幂的运算性质,增强数学运算的核心素养.3.了解无理数指数幂的意义,巩固数学抽象的核心素养.
【课程标准要求】
1.分数指数幂的意义
0
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)asat= (a>0,s,t∈Q);
(2)(as)t= (a>0,s,t∈Q);
(3)(ab)t= (a>0,b>0,t∈Q).
3.无理数指数幂
一般地,当a>0且x是一个无理数时,ax也是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样 .
as+t
ast
atbt
实数
适用
[做一做](多选)下列结论正确的是( )
CD
探究点一 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化成分数指数幂的形式.
·方法总结·
根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式,但用分数指数幂表示时,运算更方便.因此,在很多情况下,需要对根式与分数指数幂进行互化.
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.
①根指数 分数指数的分母;
②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
·方法总结·
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
(3)化简过程中要明确字母参数的取值范围,以免出错.
[针对训练] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0,x>0,y>0).
探究点二 利用指数幂的性质化简、求值
[例2] 化简求值.
(2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);
·方法总结·
(1)利用指数幂的运算性质化简求值的方法.
①进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化带分数为假分数,同时兼顾运算的顺序;
②尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算,达到化繁为简的目的;
③在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算;
④对于含有参数的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
·方法总结·
(2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求.
利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数.
[针对训练] 计算:
探究点三 条件求值问题
[例3] (多选)已知a+a-1=3,则下列选项中正确的有( )
ABD
·方法总结·
条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件,通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),寻找已知式和待求式的关系,可考虑使用整体代换法.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
