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第2课时 二次函数与一元二次方程、
不等式的应用
1.通过分式不等式的解法的学习,提升数学运算的核心素养.2.理解一元二次不等式的解集是实数集R和空集 的含义,会解简单一元二次不等式恒成立问题.3.会建立实际情况中的一元二次不等式模型,提升数学建模与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
1.分式不等式的解法
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
>
＜
>
>
≤
≥
2.一元二次不等式在R上恒成立的情况
a >0
Δ<0
a <0
Δ≤0
[做一做] 对任意x∈R,函数y=x2+(a-4)x+(5-2a)的值恒大于0,则a的取值范围为 .
{a|-2
【解析】 由题意知,函数y=x2+(a-4)x+(5-2a)的图象开口向上,故要使y>0恒成立,只需Δ<0即可,即(a-4)2-4(5-2a)<0,解得 -23.利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数;
(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
探究点一 分式不等式的解法
[例1] 求下列不等式的解集.
·方法总结·
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为0.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
[针对训练] 求下列不等式的解集.
探究点二 一元二次不等式恒成立问题
[例2] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A](-∞,2) [B](-∞,2]
[C](-2,2) [D](-2,2]
D
(2)已知函数y=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],y<5-m恒成立,则实数m的取值范围为 .
(3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为 .
·方法总结·
根据一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程之间的关系,把不等式恒成立问题转化为不等式或不等式组问题,通过解不等式或不等式组得结论.
[针对训练] (1)若一元二次不等式kx2+2(2k+1)x+9>0对一切实数x恒成立,则k的取值范围是( )
B
(2)若命题“对任意x∈(-∞,0),使得x2-2ax+4≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是( )
[A][-2,+∞) [B][2,+∞)
[C](-∞,-2] [D](-∞,2]
A
探究点三 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.
【解】 (1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0整理得y=-60x2+20x+200(0(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
·方法总结·
求解一元二次不等式的实际问题的一般思路
(1)设未知数,列一元二次不等式.
(2)化成标准形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a>0.
(3)解方程ax2+bx+c=0.
(4)画出函数y=ax2+bx+c的图象.
(5)借助图象求一元二次不等式的解集,并合理取舍.
(6)下结论写明答案,注意有无单位.
(1)要使生产该产品2 h获得的利润不低于 3 000元,求x的取值范围.
(2)要使生产900 kg该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润.第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分.
1.与不等式≥0同解的不等式是( )
[A](x-3)(2-x)≥0 [B]0[C]≥0 [D]≤1
【答案】 B
【解析】 解不等式≥0,即得2对于A,解不等式(x-3)(2-x)≥0,得2≤x≤3,故A不符合题意;
对于B,解不等式0对于C,不等式等价于得2≤x<3,故C不符合题意;
对于D,不等式等价于得2≤x≤3,故D不符合题意.故选B.
2.已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0[A]m≤-3 [B]m≥-3
[C]-3≤m<0 [D]m≥4
【答案】 A
【解析】 令y=x2-4x,03.已知命题“ x∈R,2kx2+kx-<0恒成立”为真命题,则k的取值范围为( )
[A](-3,0)
[B](-3,0]
[C][-3,0]
[D](-∞,-3]∪[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 2kx2+kx-<0在x∈R上恒成立,
当k=0时,不等式为-<0,恒成立;
当k≠0时,不等式等价为解得-3综上所述,k的取值范围为(-3,0].故选B.
4.某市有块三角形荒地,如图中△ABC所示,∠A=90°,AB=AC=200(单位:m),现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中D,E,F点分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于 7 500 m2,则AD长度(单位:m)的范围是( )
[A][40,160] [B][50,150]
[C][55,145] [D][60,140]
【答案】 B
【解析】 在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,△ABC为等腰直角三角形,
设AD=x m,则EF=FC=AD=x m,FA=(200-x)m,
依题意有x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150.
即AD长度(单位:m)的范围是[50,150].故选B.
5.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2 400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是( )
[A]{t|1≤t≤3} [B]{t|3≤t≤5}
[C]{t|2≤t≤4} [D]{t|4≤t≤6}
【答案】 B
【解析】 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2 400(20-t)×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.故选B.
6.不等式1<<2的解集为( )
[A](0,2) [B](-2,0)
[C](-∞,-2) [D](2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由1<<2得0<-<1,即-1<<0.由<0得x<0;由-1<得>0,即x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.综上可知,x<-2.故选C.
7.(5分)已知函数y=在[,3]上有意义,则实数a的取值范围为 .
【答案】 [,+∞)
【解析】 由题意可知-x2+ax-1≥0在[,3]上恒成立,
则解得a≥,
所以实数a的取值范围为[,+∞).
8.(5分)已知关于x的不等式(tx)2+tx-1-9x2-3x>0的解集为空集,则实数t的取值范围为
.
【答案】 [-,3]
【解析】 由题意得(t2-9)x2+(t-3)x-1>0,
①若t2-9=0,则t=±3.
当t=3时,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-1>0,其解集为空集,因此t=3满足题意;
当t=-3时,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-6x-1>0,即x<-,其解集不为空集,因此t=-3不满足题意,应舍去.
②若t2-9≠0,则t≠±3.
因为关于x的不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0的解集为空集,
所以解得-≤t<3.
综上可得,实数t的取值范围为[-,3].
9.(13分)已知不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0(1)求b,c的值;
(2)若对于任意的x∈[-1,1],不等式2x2+bx+c+t≤2恒成立,求t的取值范围.
【解】 (1)因为不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系知,-=5,=0,所以b=-10,c=0.
(2)2x2+bx+c+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,
设y=2x2-10x+t-2,-1≤x≤1,
所以函数y=2x2-10x+t-2在x∈[-1,1]时的最大值小于或等于0.
则由二次函数的图象(图略)可知y=2x2-10x+t-2在[-1,1]上的最大值为10+t,所以10+t≤0,即t≤-10.故t的取值范围为(-∞,-10].
10.(16分)已知m∈R,命题p: x∈R,不等式m2-3m≤x2-2x-1恒成立;命题q: x0∈R,
+4mx0+1<0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值集合M;
(2)若命题p,q中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为命题p: x∈R,不等式m2-3m≤x2-2x-1恒成立,
又因为y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,
所以m2-3m≤-2恒成立,即m2-3m+2≤0恒成立,解得1≤m≤2,
所以实数m的取值集合M={m|1≤m≤2}.
(2)因为命题q: x0∈R,+4mx0+1<0成立,
所以Δ=16m2-4>0,解得m>或m<-,
又因为命题p,q中有且只有一个是真命题,
所以或
解得m<-或2.
所以实数m的取值范围为(-∞,-)∪(,1)∪(2,+∞).
11.已知不等式>1的解集为A,x2+2x+1-m≤0(m>0)的解集为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,那么实数m的取值范围是( )
[A][1,+∞) [B][4,+∞)
[C][2,+∞) [D][,+∞)
【答案】 B
【解析】 由>1得>0,即<0,所以由x2+2x+1-m≤0(m>0)解得≤x≤,
即-1-≤x≤-1+,所以B=[-1-,-1+],
又“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,
所以只需A是B的真子集,
因此解得m≥4. 故选B.
12.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A]{m|m<3} [B]{m|m<-}
[C]{m|m>2} [D]{m|-2【答案】 B
【解析】 因为不等式<0,即(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0),
所以(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-(m≠0),
①当m>0时,-<,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|-所以原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故m>0不符合题意;
②当m≤-1时,≤-,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|x<或x>-},
又因为原不等式对一切x≥4恒成立,
所以解得m≤-1;
③当-1-,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|x<-或x>},
又因为原不等式对一切x≥4恒成立,
所以解得-1综上所述,m<-.故选B.
13.(16分)某食品企业生产一种饮品,每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮品每瓶售价最多为多少元
(2)为提高月总利润,企业决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大 并求出下月最大总利润.
【解】 (1)设提价a元,由题意知每瓶饮品利润为(a+5)元,
则月销量为(8-0.2a)万瓶,
所以提价后月总利润为(a+5)(8-0.2a)万元.
因为原来月总利润为5×8=40(万元),且要求月总利润不低于原来的月总利润,
所以(a+5)(8-0.2a)≥40,即a2-35a≤0,解得0≤a≤35,
所以售价最多为a+15=35+15=50(元),
故该饮品每瓶售价最多为50元.
(2)由题意,每瓶利润为(x-10)元,
月销售量为8-(x-15)=8-万瓶,
设下月总利润为y=(x-10)(8-)-(x-16),x≥16,
整理得y=-x-+51.2=-[(x-15)+]+47.45.
因为x≥16,
所以(x-15)+≥2=2,
当且仅当(x-15)=,即x=19时,等号成立,
所以y=-[(x-15)+]+47.45≤-2+47.45=45.45,当且仅当x=19时,等号成立,
故当每瓶售价x为19元时,下月的月总利润最大,最大总利润为45.45万元.
14.在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥-1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )
[A]- [B]-1 [C] [D]2
【答案】 D
【解析】 因为=ad-bc,所以原不等式可化为x2-2x-a2+5≥0,对任意实数x恒成立,
所以Δ=4-4(5-a2)≤0,所以-2≤a≤2,即实数a的最大值为2.故选D.
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【课程标准要求】 1.通过分式不等式的解法的学习,提升数学运算的核心素养.2.理解一元二次不等式的解集是实数集R和空集 的含义,会解简单一元二次不等式恒成立问题.3.会建立实际情况中的一元二次不等式模型,提升数学建模与数学运算的核心素养.
1.分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0 (其中a,b,c,d为常数) 法一:或 法二:(ax+b)(cx+d)>0
≥0 (其中a,b,c,d为常数) 法一:或 法二:
>k (其中a,b,c,d,k为常数) 先移项转化为>0,再求解
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
2.一元二次不等式在R上恒成立的情况
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
(2)ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
[做一做] 对任意x∈R,函数y=x2+(a-4)x+(5-2a)的值恒大于0,则a的取值范围为 .
【答案】 {a|-2【解析】 由题意知,函数y=x2+(a-4)x+(5-2a)的图象开口向上,故要使y>0恒成立,只需Δ<0即可,即(a-4)2-4(5-2a)<0,解得 -23.利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数;
(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
探究点一 分式不等式的解法
[例1] 求下列不等式的解集.
(1)≥0;
(2)>4.
【解】(1)不等式≥0等价于
解不等式组得-1≤x<3,
故原不等式的解集为{x|-1≤x<3}.
(2)不等式>4等价于-4>0.
即>0,整理得>0,
即(x-3)(x+1)>0,
解不等式得x<-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为0.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
[针对训练] 求下列不等式的解集.
(1)≥1;
(2)>1.
【解】 (1)法一 原不等式等价于-1≥0,
即≥0.该不等式等价于
解得x≤-3或x>2.
所以原不等式的解集为{x|x≤-3或x>2}.
法二 因为x-2≠0,所以原不等式等价于或
解得x>2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x>2}.
(2)原不等式等价于
即解得0故原不等式的解集为{x|0探究点二 一元二次不等式恒成立问题
[例2] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
[A](-∞,2) [B](-∞,2]
[C](-2,2) [D](-2,2]
(2)已知函数y=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],y<5-m恒成立,则实数m的取值范围为
.
(3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为 .
【答案】 (1)D (2)(-∞,) (3)(,)
【解析】 (1)当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;
当a-2≠0,即a≠2时,
则有
解得-2综上,实数a的取值范围是(-2,2].故选D.
(2)要使y<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m(x-)2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
法一 令y1=m(x-)2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,在[1,3]上y1随x的增大而增大,
所以当x=3时取得最大值7m-6,即7m-6<0,
所以m<,所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,在[1,3]上y1随x的增大而减小,
所以当x=1时取得最大值m-6,即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,).
法二 因为x2-x+1=(x-)2+>0,
又因为m(x2-x+1)-6<0,
所以m<.
令y2=,
因为函数y2==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.
所以实数m的取值范围是(-∞,).
(3)设y=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象是一条线段,
则
解得故实数x的取值范围为(,).
根据一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程之间的关系,把不等式恒成立问题转化为不等式或不等式组问题,通过解不等式或不等式组得结论.
[针对训练] (1)若一元二次不等式kx2+2(2k+1)x+9>0对一切实数x恒成立,则k的取值范围是( )
[A](0,1) [B](,1)
[C](0,) [D](0,+∞)
(2)若命题“对任意x∈(-∞,0),使得x2-2ax+4≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是( )
[A][-2,+∞) [B][2,+∞)
[C](-∞,-2] [D](-∞,2]
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)由题意知,一元二次不等式kx2+2(2k+1)x+9>0对一切实数x恒成立,
则即
解得k∈(,1).故选B.
(2)由题得a≥+对任意x∈(-∞,0)恒成立,
+=-[(-)+(-)]≤-2=-2(当且仅当x=-2时,等号成立),所以a≥-2.故选A.
探究点三 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
【解】 (1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0整理得y=-60x2+20x+200(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,
当且仅当
即
解不等式,得0求解一元二次不等式的实际问题的一般思路
(1)设未知数,列一元二次不等式.
(2)化成标准形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a>0.
(3)解方程ax2+bx+c=0.
(4)画出函数y=ax2+bx+c的图象.
(5)借助图象求一元二次不等式的解集,并合理取舍.
(6)下结论写明答案,注意有无单位.
[针对训练] 甲厂以每小时生产x千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.
(1)要使生产该产品2 h获得的利润不低于 3 000元,求x的取值范围.
(2)要使生产900 kg该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度 并求最大
利润.
【解】(1)由已知得,200(5x+1-)≥3 000,整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又因为1≤x≤10,可解得3≤x≤10.
即要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].
(2)设利润为y元,则y=·100(5x+1-)=9×104(5+-)=9×104[-3(-)2+],
所以当x=6时,ymax=457 500,即甲厂以每小时6 kg 的生产速度生产900 kg该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分.
1.与不等式≥0同解的不等式是( )
[A](x-3)(2-x)≥0 [B]0[C]≥0 [D]≤1
【答案】 B
【解析】 解不等式≥0,即得2对于A,解不等式(x-3)(2-x)≥0,得2≤x≤3,故A不符合题意;
对于B,解不等式0对于C,不等式等价于得2≤x<3,故C不符合题意;
对于D,不等式等价于得2≤x≤3,故D不符合题意.故选B.
2.已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈{x|0[A]m≤-3 [B]m≥-3
[C]-3≤m<0 [D]m≥4
【答案】 A
【解析】 令y=x2-4x,03.已知命题“ x∈R,2kx2+kx-<0恒成立”为真命题,则k的取值范围为( )
[A](-3,0)
[B](-3,0]
[C][-3,0]
[D](-∞,-3]∪[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 2kx2+kx-<0在x∈R上恒成立,
当k=0时,不等式为-<0,恒成立;
当k≠0时,不等式等价为解得-3综上所述,k的取值范围为(-3,0].故选B.
4.某市有块三角形荒地,如图中△ABC所示,∠A=90°,AB=AC=200(单位:m),现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF,其中D,E,F点分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于 7 500 m2,则AD长度(单位:m)的范围是( )
[A][40,160] [B][50,150]
[C][55,145] [D][60,140]
【答案】 B
【解析】 在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,△ABC为等腰直角三角形,
设AD=x m,则EF=FC=AD=x m,FA=(200-x)m,
依题意有x(200-x)≥7 500,解得50≤x≤150.
即AD长度(单位:m)的范围是[50,150].故选B.
5.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2 400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是( )
[A]{t|1≤t≤3} [B]{t|3≤t≤5}
[C]{t|2≤t≤4} [D]{t|4≤t≤6}
【答案】 B
【解析】 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2 400(20-t)×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.故选B.
6.不等式1<<2的解集为( )
[A](0,2) [B](-2,0)
[C](-∞,-2) [D](2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由1<<2得0<-<1,即-1<<0.由<0得x<0;由-1<得>0,即x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.综上可知,x<-2.故选C.
7.(5分)已知函数y=在[,3]上有意义,则实数a的取值范围为 .
【答案】 [,+∞)
【解析】 由题意可知-x2+ax-1≥0在[,3]上恒成立,
则解得a≥,
所以实数a的取值范围为[,+∞).
8.(5分)已知关于x的不等式(tx)2+tx-1-9x2-3x>0的解集为空集,则实数t的取值范围为
.
【答案】 [-,3]
【解析】 由题意得(t2-9)x2+(t-3)x-1>0,
①若t2-9=0,则t=±3.
当t=3时,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-1>0,其解集为空集,因此t=3满足题意;
当t=-3时,不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0化为-6x-1>0,即x<-,其解集不为空集,因此t=-3不满足题意,应舍去.
②若t2-9≠0,则t≠±3.
因为关于x的不等式(t2-9)x2+(t-3)x-1>0的解集为空集,
所以解得-≤t<3.
综上可得,实数t的取值范围为[-,3].
9.(13分)已知不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0(1)求b,c的值;
(2)若对于任意的x∈[-1,1],不等式2x2+bx+c+t≤2恒成立,求t的取值范围.
【解】 (1)因为不等式2x2+bx+c<0的解集是{x|0所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系知,-=5,=0,所以b=-10,c=0.
(2)2x2+bx+c+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立,
设y=2x2-10x+t-2,-1≤x≤1,
所以函数y=2x2-10x+t-2在x∈[-1,1]时的最大值小于或等于0.
则由二次函数的图象(图略)可知y=2x2-10x+t-2在[-1,1]上的最大值为10+t,所以10+t≤0,即t≤-10.故t的取值范围为(-∞,-10].
10.(16分)已知m∈R,命题p: x∈R,不等式m2-3m≤x2-2x-1恒成立;命题q: x0∈R,
+4mx0+1<0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值集合M;
(2)若命题p,q中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为命题p: x∈R,不等式m2-3m≤x2-2x-1恒成立,
又因为y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,
所以m2-3m≤-2恒成立,即m2-3m+2≤0恒成立,解得1≤m≤2,
所以实数m的取值集合M={m|1≤m≤2}.
(2)因为命题q: x0∈R,+4mx0+1<0成立,
所以Δ=16m2-4>0,解得m>或m<-,
又因为命题p,q中有且只有一个是真命题,
所以或
解得m<-或2.
所以实数m的取值范围为(-∞,-)∪(,1)∪(2,+∞).
11.已知不等式>1的解集为A,x2+2x+1-m≤0(m>0)的解集为B,若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,那么实数m的取值范围是( )
[A][1,+∞) [B][4,+∞)
[C][2,+∞) [D][,+∞)
【答案】 B
【解析】 由>1得>0,即<0,所以由x2+2x+1-m≤0(m>0)解得≤x≤,
即-1-≤x≤-1+,所以B=[-1-,-1+],
又“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,
所以只需A是B的真子集,
因此解得m≥4. 故选B.
12.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是( )
[A]{m|m<3} [B]{m|m<-}
[C]{m|m>2} [D]{m|-2【答案】 B
【解析】 因为不等式<0,即(m2x-1)(mx+1)<0(m≠0),
所以(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-(m≠0),
①当m>0时,-<,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|-所以原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故m>0不符合题意;
②当m≤-1时,≤-,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|x<或x>-},
又因为原不等式对一切x≥4恒成立,
所以解得m≤-1;
③当-1-,
所以不等式(m2x-1)(mx+1)<0的解集为{x|x<-或x>},
又因为原不等式对一切x≥4恒成立,
所以解得-1综上所述,m<-.故选B.
13.(16分)某食品企业生产一种饮品,每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.
(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮品每瓶售价最多为多少元
(2)为提高月总利润,企业决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x≥16)元,并投(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大 并求出下月最大总利润.
【解】 (1)设提价a元,由题意知每瓶饮品利润为(a+5)元,
则月销量为(8-0.2a)万瓶,
所以提价后月总利润为(a+5)(8-0.2a)万元.
因为原来月总利润为5×8=40(万元),且要求月总利润不低于原来的月总利润,
所以(a+5)(8-0.2a)≥40,即a2-35a≤0,解得0≤a≤35,
所以售价最多为a+15=35+15=50(元),
故该饮品每瓶售价最多为50元.
(2)由题意,每瓶利润为(x-10)元,
月销售量为8-(x-15)=8-万瓶,
设下月总利润为y=(x-10)(8-)-(x-16),x≥16,
整理得y=-x-+51.2=-[(x-15)+]+47.45.
因为x≥16,
所以(x-15)+≥2=2,
当且仅当(x-15)=,即x=19时,等号成立,
所以y=-[(x-15)+]+47.45≤-2+47.45=45.45,当且仅当x=19时,等号成立,
故当每瓶售价x为19元时,下月的月总利润最大,最大总利润为45.45万元.
14.在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥-1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )
[A]- [B]-1 [C] [D]2
【答案】 D
【解析】 因为=ad-bc,所以原不等式可化为x2-2x-a2+5≥0,对任意实数x恒成立,
所以Δ=4-4(5-a2)≤0,所以-2≤a≤2,即实数a的最大值为2.故选D.
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