4.2.2 对数的运算性质
【课程标准要求】 1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行化简求值,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.2.掌握并灵活运用换底公式及其推论,能将一般对数转化为自然对数和常用对数,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM.
[思考] 对数运算性质的适用条件是什么
【提示】 对数的运算性质的适用条件是“同底,且真数为正”,即a>0,a≠1,M>0,N>0.若去掉此条件,性质不一定成立,如log3()≠log3(-8)-log3(-3).
[做一做1] (多选)若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N*,则下列等式恒成立的是( )
[A]logax·logay=loga(x+y)
[B](logax)n=logaxn
[C]=loga
[D]loga=-loga
【答案】 CD
【解析】 对于A,取x=4,y=2,a=2,则log24·log22=2×1=2,而log2(4+2)=log26≠2,所以A不恒成立;
对于B,取x=4,a=2,n=3,则(log24)3=8≠log243=6,所以B不恒成立;
对于C,loga=loga=logax=,即等式恒成立;
对于D,loga=loga()-1=-loga,即等式恒成立.故选CD.
2.对数的换底公式
logaN=(a>0,a≠1,N >0,c>0,c≠1).
特别地:logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
lobm=logab(a>0,a≠1,b>0,m∈R,n∈R,n≠0).
[做一做2]log29×log34等于( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 D
【解析】 原式=log232×=2log23×=4.故选D.
[做一做3] (多选)设a,b,c是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是( )
[A]logab·logca=logcb
[B]loga(bc)=logab·logac
[C]loga(b+c)=logab+logac
[D]logab=lobc
【答案】 AD
【解析】 依题意,logab·logca=·==logcb,A正确;
令a=2,b=2,c=4,则loga(bc)=log28=3,logab·logac=log22·log24=2,B错误;
令a=2,b=4,c=4,则loga(b+c)=log28=3,logab+logac=log24+log24=4,C错误;
lobc===logab,D正确.故选AD.
探究点一 对数运算性质的应用
[例1] 化简下列各式:
(1)4lg 2+3lg 5-lg ;
(2)log2(1++)+log2(1+-).
【解】 (1)原式=lg =lg (24×54)
=lg (2×5)4
=4.
(2)原式=log2[(1++)(1+-)]
=log2[(1+)2-()2]
=.
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项
(1)基本原则.
对数的化简、求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用方法.
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
(3)注意事项.
①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5+lg 2=lg 10=1”解题;
②准确应用以下结论:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,a≠1,N>0).
[针对训练] 计算:
(1)2(lg)2+lg ×lg 5+;
(2)log535+2lo-log5-log514.
【解】 (1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +
1-lg =1.
(2)原式=log5+2lo=log553-1=3-1=2.
探究点二 换底公式及其推论的应用
角度1 用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
【解】 因为2b=3,所以b=log23,即log32=,
log1456==
===.
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数式,然后将真数统一为已知对数式的真数的乘积的形式.
[针对训练] (1)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
【解】 (1)log147=a,log145=b,
所以log3528====.
(2)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,
所以log3645==
==.
角度2 应用换底公式及其推论求值
[例3] 计算:(1)log1627×log8132;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
【解】 (1)原式=×=×=×=.
(2)原式=(log253+52+5)(log52+22+23)
=(3log25+log25+log25)(log52+log52+log52)
=×3×(log25×log52)=13.
(1)利用换底公式化简、求值时应注意的问题.
①针对具体问题,选择恰当的底数;
②注意换底公式与对数运算性质结合使用;
③换底公式的正用与逆用;
④恰当应用换底公式的两个常用结论.
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路.
[针对训练] 计算:
(1)log23×log34×log45×log52;
(2)log89×log2732.
【解】 (1)原式=×××=1.
(2)原式=lo32×lo25=log23×log32=×log23×log32=.
探究点三 指数与对数的综合应用
[例4] (1)设3a=4b=36,求+的值;
(2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
【解】 (1)由3a=4b=36,
得a=log336,b=log436,
由换底公式得=log363,=log364,
所以+=2log363+log364=log3636=1.
(2)令2x=3y=5z=k(k>0),
所以x=log2k,y=log3k,z=log5k.
所以=logk2,=logk3,=logk5.
由++=1,
得logk2+logk3+logk5=logk30=1,
所以k=30,
所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[针对训练] (1)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,求logabcx的值;
(2)已知2x=50y=100,求x-1+y-1的值.
【解】 (1)因为logax=2,logbx=3,logcx=6,
所以=2,=3,=6,lg x≠0.
则logabcx=
==1.
(2)因为2x=50y=100,
所以x=log2100,y=log50100,
所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.
学海拾贝
[典例探究] 素数也叫质数,部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数),法国数学家马林·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1,第19个梅森素数为Q=24 253-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)( )
[A]1045 [B]1051 [C]1056 [D]1059
【答案】 B
【解析】 =≈2170.
令2170=k,则lg 2170=lg k,
所以170lg 2=lg k,又lg 2≈0.3,
所以51≈lg k,即k≈1051.
所以与最接近的数为1051.故选B.
[应用探究] 已知lg 3≈0.477 1,由此可以推断32 023是几位整数( )
[A]963 [B]964 [C]965 [D]966
【答案】 D
【解析】 因为lg 3≈0.477 1,令32 023=t,
所以lg t=2 023×lg 3,
则lg t≈2 023×0.477 1=965.173 3,
所以可以推断32 023是966位整数.故选D.
课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.lo的结果是( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 B
【解析】 原式=lo=-log22=-.故选B.
2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是( )
[A]a-2 [B]3a-(1+a)2
[C]5a-2 [D]-a2+3a-1
【答案】 A
【解析】 log38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.
3.若ln a与ln b互为相反数,则有( )
[A]a+b=1 [B]a-b=1
[C]=1 [D]ab=1
【答案】 D
【解析】 ln a与ln b互为相反数,则ln a+ln b=0,
即ln ab=0,则ab=1.故选D.
4.若xlog23=1,则3x+3-x等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意得x===log32,
所以3x+3-x=+=2+=.故选A.
5.若lg a,lg b是方程5x2-10x+3=0的两个实根,则ab的值为( )
[A]2 [B] [C]100 [D]
【答案】 C
【解析】 由根与系数的关系可得lg a+lg b=2,
所以lg ab=lg a+lg b=2,所以ab=102=100.故选C.
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,常用pH来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lg c(H+),其中c(H+)表示溶液中氢离子的浓度,单位是mol/L.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135 mol/L,则A溶液的pH约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) ( )
[A]0.268 [B]0.87
[C]1.13 [D]1.87
【答案】 B
【解析】 由题意得pH=-lg 0.135=-lg (135×10-3)=-lg 135+3=-lg (33×5)+3=-3lg 3-lg 5+
3=-3lg 3-(1-lg 2)+3=-3lg 3+lg 2+2≈0.87.故选B.
7.(5分)log4(log216-log2+log26)= .
【答案】
【解析】 log4(log216-log2+log26)
=log4[log2(16÷×6)] =log4(log2162)
=log48=lo23=.
8.(5分)已知2x=3y=M,且=1,则M的值为 .
【答案】 72
【解析】 因为2x=3y=M,
所以x=log2M,y=log3M,则=logM2,=logM3,
所以=+=2logM3+3logM2=logM9+logM8=logM72=1,
所以M=72.
9.(13分)计算:(1)+lo;
(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.
【解】 (1)原式=+lo()-1=-1=0.
(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3×lg 5×lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+
3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=3-2=1.
10.(15分)求值.
(1)-log38·log89+log182+log189.
(2)(2log43+log83)(log32+log92).
【解】 (1)-log38·log89+log182+log189=3-·+log18(2×9)=3-2+1=2.
(2)(2log43+log83)(log32+log92)=(2lo3+lo3)(log32+lo2)
=(log23+log23) ( log32+log32)
=log23×log32
=2.
11.(多选)已知2log3+log3b=0,则下列等式一定正确的是( )
[A]=2b [B]a·eln a=b
[C]b=2a [D]log2a=log8ab
【答案】 BD
【解析】 由2log3+log3b=0,得a>0,b>0,且log3a-2+log3b=0,即log3a-2b=0,所以a-2b=1,b=a2,而此时b=2a不总是成立,故C错误;
由于=2b,即22a=2b,所以b=2a,结合以上分析可知A错误;
由于a·eln a=b,即为a·a=a2=b,故B正确;
又log8ab=log8a3=loa3=log2a,故D正确.故选BD.
12.(5分)我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w mm,厚度为x mm的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为(w) mm,厚度变为(4x) mm.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤log2(注:lg 2≈0.3,lg 3≈0.5,lg 7≈0.8),根据以上信息,一张长边长为210 mm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
【答案】 8
【解析】 由题意n≤log24 200=(log24+log21 000+log2)=(2+3log210+log2),
因为log210=≈,013.(16分)(1)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125,lg;
(2)已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解】 (1)因为lg 2=a,lg 3=b,
所以log125===.
lg=lg 54=lg 6+lg 9=lg 6+lg 3
=(lg 2+lg 3)+lg 3=(a+b)+b=a+b.
(2)因为3a=5b=c,所以c>0,
所以a=log3c,b=log5c,
所以=logc3,=logc5,
所以+=logc15.
由logc15=2得c2=15,又c>0,
所以c=.
14.(5分)若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,则lg (ab)·(+)= .
【答案】 12
【解析】 原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
由已知a,b是原方程的两个根,
则lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
lg (ab)·(+)
=
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
故lg (ab)·(+)=12.
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课时作业
(总分:100分)
单选每小题5分,多选每小题6分.
1.lo的结果是( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 B
【解析】 原式=lo=-log22=-.故选B.
2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是( )
[A]a-2 [B]3a-(1+a)2
[C]5a-2 [D]-a2+3a-1
【答案】 A
【解析】 log38-2log36=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.
3.若ln a与ln b互为相反数,则有( )
[A]a+b=1 [B]a-b=1
[C]=1 [D]ab=1
【答案】 D
【解析】 ln a与ln b互为相反数,则ln a+ln b=0,
即ln ab=0,则ab=1.故选D.
4.若xlog23=1,则3x+3-x等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意得x===log32,
所以3x+3-x=+=2+=.故选A.
5.若lg a,lg b是方程5x2-10x+3=0的两个实根,则ab的值为( )
[A]2 [B] [C]100 [D]
【答案】 C
【解析】 由根与系数的关系可得lg a+lg b=2,
所以lg ab=lg a+lg b=2,所以ab=102=100.故选C.
6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,常用pH来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lg c(H+),其中c(H+)表示溶液中氢离子的浓度,单位是mol/L.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135 mol/L,则A溶液的pH约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) ( )
[A]0.268 [B]0.87
[C]1.13 [D]1.87
【答案】 B
【解析】 由题意得pH=-lg 0.135=-lg (135×10-3)=-lg 135+3=-lg (33×5)+3=-3lg 3-lg 5+
3=-3lg 3-(1-lg 2)+3=-3lg 3+lg 2+2≈0.87.故选B.
7.(5分)log4(log216-log2+log26)= .
【答案】
【解析】 log4(log216-log2+log26)
=log4[log2(16÷×6)] =log4(log2162)
=log48=lo23=.
8.(5分)已知2x=3y=M,且=1,则M的值为 .
【答案】 72
【解析】 因为2x=3y=M,
所以x=log2M,y=log3M,则=logM2,=logM3,
所以=+=2logM3+3logM2=logM9+logM8=logM72=1,
所以M=72.
9.(13分)计算:(1)+lo;
(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg )2+lg +lg 0.06.
【解】 (1)原式=+lo()-1=-1=0.
(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3×lg 5×lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+
3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=3-2=1.
10.(15分)求值.
(1)-log38·log89+log182+log189.
(2)(2log43+log83)(log32+log92).
【解】 (1)-log38·log89+log182+log189=3-·+log18(2×9)=3-2+1=2.
(2)(2log43+log83)(log32+log92)=(2lo3+lo3)(log32+lo2)
=(log23+log23) ( log32+log32)
=log23×log32
=2.
11.(多选)已知2log3+log3b=0,则下列等式一定正确的是( )
[A]=2b [B]a·eln a=b
[C]b=2a [D]log2a=log8ab
【答案】 BD
【解析】 由2log3+log3b=0,得a>0,b>0,且log3a-2+log3b=0,即log3a-2b=0,所以a-2b=1,b=a2,而此时b=2a不总是成立,故C错误;
由于=2b,即22a=2b,所以b=2a,结合以上分析可知A错误;
由于a·eln a=b,即为a·a=a2=b,故B正确;
又log8ab=log8a3=loa3=log2a,故D正确.故选BD.
12.(5分)我们经常听到这样一种说法:一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当纸张的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为w mm,厚度为x mm的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为(w) mm,厚度变为(4x) mm.在理想情况下,对折次数n有下列关系:n≤log2(注:lg 2≈0.3,lg 3≈0.5,lg 7≈0.8),根据以上信息,一张长边长为210 mm,厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
【答案】 8
【解析】 由题意n≤log24 200=(log24+log21 000+log2)=(2+3log210+log2),
因为log210=≈,013.(16分)(1)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log125,lg;
(2)已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解】 (1)因为lg 2=a,lg 3=b,
所以log125===.
lg=lg 54=lg 6+lg 9=lg 6+lg 3
=(lg 2+lg 3)+lg 3=(a+b)+b=a+b.
(2)因为3a=5b=c,所以c>0,
所以a=log3c,b=log5c,
所以=logc3,=logc5,
所以+=logc15.
由logc15=2得c2=15,又c>0,
所以c=.
14.(5分)若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,则lg (ab)·(+)= .
【答案】 12
【解析】 原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
由已知a,b是原方程的两个根,
则lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
lg (ab)·(+)
=
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
故lg (ab)·(+)=12.
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4.2.2 对数的
运算性质
1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行化简求值,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.2.掌握并灵活运用换底公式及其推论,能将一般对数转化为自然对数和常用对数,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
1.对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,n∈R,那么
(1)loga(MN)= ;
logaM+logaN
logaM-logaN
(3)logaMn= .
nlogaM
[思考] 对数运算性质的适用条件是什么
CD
1
D
[做一做2]log29×log34等于( )
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
AD
探究点一 对数运算性质的应用
·方法总结·
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项
(1)基本原则.
对数的化简、求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用方法.
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
·方法总结·
探究点二 换底公式及其推论的应用
角度1 用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
·方法总结·
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数式,然后将真数统一为已知对数式的真数的乘积的形式.
[针对训练] (1)已知log147=a,log145=b,用a,b表示log3528;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
角度2 应用换底公式及其推论求值
[例3] 计算:(1)log1627×log8132;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
·方法总结·
(1)利用换底公式化简、求值时应注意的问题.
①针对具体问题,选择恰当的底数;
②注意换底公式与对数运算性质结合使用;
③换底公式的正用与逆用;
④恰当应用换底公式的两个常用结论.
·方法总结·
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路.
[针对训练] 计算:
(1)log23×log34×log45×log52;
(2)log89×log2732.
探究点三 指数与对数的综合应用
·方法总结·
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
[针对训练] (1)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,求logabcx的值;
(2)已知2x=50y=100,求x-1+y-1的值.
【解】 (2)因为2x=50y=100,
所以x=log2100,y=log50100,
所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.
『学海拾贝』
B
[应用探究] 已知lg 3≈0.477 1,由此可以推断32 023是几位整数( )
[A]963 [B]964 [C]965 [D]966
D
【解析】 因为lg 3≈0.477 1,令32 023=t,
所以lg t=2 023×lg 3,
则lg t≈2 023×0.477 1=965.173 3,
所以可以推断32 023是966位整数.故选D.
