第3课时 空间中直线、平面的垂直
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
一、直线与直线垂直
问题1 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
知识梳理
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 .
例1 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤
(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.
求证：BD1⊥EB1.
二、直线与平面垂直
问题2 如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？
知识梳理
设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α λ∈R，使得 .
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思感悟 向量法证明线面垂直的两种思路
(1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论.
(2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
跟踪训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.
三、平面与平面垂直
问题3 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
知识梳理
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β .
例3 如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.
反思感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
(2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.
1.知识清单：
(1)直线与直线垂直的向量表示及应用.
(2)直线与平面垂直的向量表示及应用.
(3)平面与平面垂直的向量表示及应用.
2.方法归纳：转化法、法向量法.
3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
1.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
2.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( )
A.4 B.－4
C.5 D.－5
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知＝λ，＝3，若AM⊥DE，则λ等于( )
A. B.
C. D.
4. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 .
答案精析
问题1 垂直.
知识梳理
u1⊥u2 u1·u2=0
例1 证明 方法一 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴=，=(1，0，1)，
∴·=-+0+=0.
∴⊥，即AB1⊥MN.
方法二 设=a，=b，=c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0，
=a+c，=(a+b)，
=b+c，
=-=-a+b+c，
∴·
=(a+c)·
=-+cos 60°+0-0+0+=0.
∴⊥，即AB1⊥MN.
跟踪训练1 证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则
B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
E，B1(1，1，1).
=(-1，-1，1)，
=，
∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
问题2 平行(共线).
知识梳理
u∥n u=λn
例2 证明 方法一 设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2a，0，0)，
C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，
E(2a，2a，a)，
F(a，a，2a).
所以=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)，
=(-2a，2a，0).
设平面B1AC的法向量为
m=(x，y，z)，
则
取x=1，则y=1，z=-1，
故m=(1，1，-1).
又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.
所以∥m，所以EF⊥平面B1AC.
方法二 由方法一可知，
=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)，
=(-2a，2a，0).
因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，
·
=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)
=2a2-2a2+0=0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC=A，
AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
方法三 设=a，=c，=b，
连接BD(图略)，
则=+
=+)
=+)
=+-)
=(b+c-a).
因为=+=a+b，
所以·=(b+c-a)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0，
所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1，
AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
跟踪训练2 证明 连接C1D，
∵C1在平面ABC内的射影为D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，
B(，0，0)，
C(0，-1，0)，
C1(0，0，)，E，
A1(0，2，)，∴=(，0，0)，
=，
=(0，-3，-).
方法一 设平面BDE的法向量为
m=(x，y，z)，
∵即
不妨取z=1，则y=，
则m=(0，，1)，
∴平面BDE的一个法向量为
m=(0，，1)，
∵=(0，-3，-)，
∴=-m，∴∥m，
∴A1C⊥平面BDE.
方法二 ∵·=0，
·=-=0，
∴⊥，⊥，
即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE=D，
BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
问题3 垂直.
知识梳理
n1⊥n2 n1·n2=0
例3 证明 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，
E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴=(0，-1，-1)，
=(1，-1，-1).
设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥.
∴
令y=1，得z=-1，x=0，
即n=(0，1，-1).
显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0，所以n⊥，
即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
跟踪训练3 证明 取AB的中点O，CD的中点M，
连接OM，则OM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
OM 平面ABCD，
所以OM⊥平面PAB，
又PA=PB，所以PO⊥AB，
以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设
AP=a，
AD=b，
则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，
P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，-a，b)，
所以=(0，0，b)，=(a，a，0)，
=(0，0，b)，=(a，-a，0)，
设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
则由得
z1=0，令x1=1，
则y1=-1，即n1=(1，-1，0)，
同理，
z2=0，令x2=1，
可得y2=1，即n2=(1，1，0).
因为n1·n2=1-1=0，
所以平面PAD⊥平面PBC.
随堂演练
1.B [a·b=-2+2+0=0，
∴a⊥b，∴α⊥β.]
2.D [∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.]
3.D [连接AM，DE，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，
M，E(1，1，λ)，
则=，
=(1，1，λ)，
因为AM⊥DE，所以·=0，即(-1)×1+×1+λ=0，
解得λ=.]
4.垂直
解析 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则E，F，
P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
∴=，
=(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
则即
令y=1，则z=1，
∴平面PBC的一个法向量为
n=(0，1，1).
∴=-n，
∴∥n，∴EF⊥平面PBC.(共100张PPT)
第3课时
空间中直线、平面的垂直
第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
<<<
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.(重点)
学习目标
类比空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
导 语
一、直线与直线垂直
二、直线与平面垂直
课时对点练
三、平面与平面垂直
随堂演练
内容索引
直线与直线垂直
一
提示 垂直.
如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？
问题1
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2 .
u1⊥u2
u1·u2=0
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
注 意 点
<<<
如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1.求证：AB1⊥MN.
例 1
方法一 设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得AB
CNB1
∵M为BC的中点，∴M.
证明
∴==(1，0，1)，
∴·=-+0+=0.
∴⊥
即AB1⊥MN.
证明
方法二 设=a=b=c，
则由已知条件和正三棱柱的性质，
得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0，
=a+c=(a+b)=b+c，
=-=-a+b+c，
∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0.
∴⊥即AB1⊥MN.
证明
证明两直线垂直的基本步骤
(1)坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
(2)基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
反
思
感
悟
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E为AC的中点.
求证：BD1⊥EB1.
跟踪训练 1
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，
则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
EB1(1，1，1).
=(-1，-1，1)，=
∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，
∴⊥∴BD1⊥EB1.
证明
二
直线与平面垂直
提示 平行(共线).
如图，设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？
问题2
设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α λ∈R，使得 .
u∥n
u=λn
(课本例4) 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1 =1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
例 2
设=a=b=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，
且=a+b-c=b-a=c.
因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，
所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.
在平面BDD1B1上，取为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λ+μ.
证明
所以·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0.
所以是平面BDD1B1的法向量.
所以A1C⊥平面BDD1B1.
证明
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
例 2
方法一 设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a).
所以=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
证明
设平面B1AC的法向量为m=(x，y，z)，
则
取x=1，则y=1，z=-1，故m=(1，1，-1).
又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.
所以∥m，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
方法二 由方法一可知=(-a，-a，a)
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
因为·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)
=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，
·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
方法三 设=a=c=b，
连接BD(图略)，
则=+=+)
=+)=+-)
=(b+c-a).
因为=+=a+b，
证明
所以·=(b+c-a)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0，
所以⊥即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
证明
向量法证明线面垂直的两种思路
(1)应用判定定理：选取基向量或建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量和平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量与另两个相交直线的方向向量的数量积均为零，从而证得结论.
(2)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
反
思
感
悟
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D.求证：A1C⊥平面BDE.
跟踪训练 2
连接C1D，
∵C1在平面ABC内的射影为D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴，
证明
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，B(0，0)，
C(0，-1，0)，C1(0，0)，
EA1(0，2)，
∴=(0，0)=
=(0，-3，-).
证明
方法一 设平面BDE的法向量为m=(x，y，z)，
∵
不妨取z=1，则y=则m=(01)，
∴平面BDE的一个法向量为m=(01)，
∵=(0，-3，-)，
∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE.
证明
方法二 ∵·=0·=-=0，
∴⊥⊥即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
证明
平面与平面垂直
三
提示 垂直.
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？
问题3
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β .
n1⊥n2
n1·n2=0
(课本例5) 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图，l⊥α，l β，
求证：α⊥β.
例 3
如图，取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
因为l⊥α，
所以u是平面α的法向量.
因为l β，而n是平面β的法向量，
所以u⊥n.
所以α⊥β.
证明
如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.
例 3
如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=PB=PC=3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1).
设平面EFG的法向量为n=(x，y，z)，
则有n⊥n⊥.
∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1).
证明
显然=(3，0，0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0，所以n⊥
即平面EFG的法向量与平面PBC的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
证明
证明面面垂直的两种方法
(1)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
(2)几何法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
反
思
感
悟
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.
跟踪训练 3
取AB的中点O，CD的中点M，
连接OM，则OM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
OM 平面ABCD，
所以OM⊥平面PAB，
又PA=PB，所以PO⊥AB，
以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
证明
设AP=a，AD=b，
则A(0，-a，0)，B(0，a，0)，
P(a，0，0)，C(0，a，b)，
D(0，-a，b)，
所以=(0，0，b)=(a，a，0)，
=(0，0，b)=(a，-a，0)，
设n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，
n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
证明
则由
z1=0，令x1=1，
则y1=-1，即n1=(1，-1，0)，
同理z2=0，令x2=1，
可得y2=1，即n2=(1，1，0).
因为n1·n2=1-1=0，
所以平面PAD⊥平面PBC.
证明
1.知识清单：
(1)直线与直线垂直的向量表示及应用.
(2)直线与平面垂直的向量表示及应用.
(3)平面与平面垂直的向量表示及应用.
2.方法归纳：转化法、法向量法.
3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若平面α，β的法向量分别为a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，则α与β的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
√
a·b=-2+2+0=0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
解析
1
2
3
4
2.已知平面α的法向量为a=(1，2，-2)，平面β的法向量为b=(-2，-4，k)，若α⊥β，则k等于
A.4 B.-4 C.5 D.-5
√
∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.
解析
1
2
3
4
3.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知＝λ，＝3，若AM⊥DE，则λ等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
连接AM，DE，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，M，E(1，1，λ)，
解析
则，＝(1，1，λ)，
因为AM⊥DE，所以·＝0，
即(－1)×1＋×1＋λ＝0，解得λ＝.
1
2
3
4
4.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是 .
垂直
1
2
3
4
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，
则EFP(0，0，1)，
B(1，1，0)，C(0，1，0)，
∴==(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，
解析
1
2
3
4
则
令y=1，则z=1，
∴平面PBC的一个法向量为n=(0，1，1).
∴=-n，
∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 B C D C ABC 0 AC
题号 10 11 12 答案 (-2，4，1)或 (2，-4，-1) ABD
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，
B(1，0，0)，P(0，0，1).
因为∠ABC=60°，AB=BC，
所以△ABC为正三角形.
所以C，E，，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设D(0，y1，0)，则，
由AC⊥CD得·=0，
即-=0，
解得y1=，则D，
所以.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又，
所以·=-××=0，
所以⊥，即AE⊥CD.
7.
(2)方法一 由(1)知=(1，0，0)，，
设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，
则
即
令y=2，则n=(0，2，-).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
又，
显然n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
方法二 由(1)知，.
所以·××(-1)=0，
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
7.
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知=(1，0，0)，
所以·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
答案
1
2
3
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10
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12
8.
答案
1
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3
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8
9
10
11
12
设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，
S(0，0，1)，E.
方法一 连接AC，设AC与BD相交于点O，
连接OE，则O.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为=(0，0，1)，，
所以，
又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z).
因为=(-1，1，0)，，
所以
令x=1，
可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0).
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2==(0，0，1).
因为n1·n2=0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
基础巩固
1.设l1的一个方向向量为a=(1，3，-2)，l2的一个方向向量为b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于
A.1 B. C. D.3
√
因为l1⊥l2，所以a·b=0，
即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，
所以2m=9-4=5，即m=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量，
则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.已知n1=(，x，2)，n2=(-3，，-2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x等于
A.-7 B.-1
C.1 D.7
√
因为α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2=×(-3)+x×+2×(-2)=0，解得x=7.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.已知点A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为
A.(1，0，-2) B.(1，0，2)
C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)
√
答案
1
2
3
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5
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7
8
9
10
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12
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC，
所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0，
得-x+1-z=0. ①
·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， ②
联立①②得x=-1，z=2，
故点P的坐标为(-1，0，2).
解析
5.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，则下列结论正确的有
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为·=-2-2+4=0，
所以⊥，所以AP⊥AB，A正确；
因为·=-4+4+0=0，
所以⊥，所以AP⊥AD，B正确；
因为AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，
AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，
所以是平面ABCD的一个法向量，C正确；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=-=(2，3，4)，
设=λ=(-λ，2λ，-λ)，
即此方程组无解，D错误.
解析
6.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
因为a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对.
解析
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点.
(1)求证：AE⊥CD；
答案
1
2
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12
答案
1
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9
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11
12
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA=AB=BC=1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，
P(0，0，1).
因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形.
所以C，E=，
证明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设D(0，y1，0)，则=，
由AC⊥CD得·=0，
即-+=0，
解得y1=，则D，
所以=.
又=，
证明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以·=-×+×=0，
所以⊥，即AE⊥CD.
证明
(2)求证：PD⊥平面ABE.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
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8
9
10
11
12
方法一 由(1)知=(1，0，0)，=，
设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，
则
令y=2，则n=(0，2，-).
又==n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
证明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由(1)知==.
所以·=×+×(-1)=0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
证明
8.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设AB=AS=1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.
方法一 连接AC，设AC与BD相交于点O，
连接OE，则O.
因为=(0，0，1)，=，
所以=，
又E AS，所以OE∥AS.
证明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二 设平面BDE的法向量为n1=(x，y，z).
因为=(-1，1，0)，=，
所以
证明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令x=1，
可得平面BDE的一个法向量为n1=(1，1，0).
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为
n2==(0，0，1).
因为n1·n2=0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
证明
9.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.和AC，MN都不垂直
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为2a(a>0)，
则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，
N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a).
∴=(-a，-a，a)，=(0，a，a)，=(-2a，2a，0)，=(0，0，2a).
∴·=0，·=0，·=2a2≠0，
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直.
解析
10.在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n所在的直线与平面ABC垂直，且|n|=，则n的坐标为 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(-2，4，1)或(2，-4，-1)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根据题意，得=(-1，-1，2)，
=(1，0，2).设n=(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
∴
可得
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵|n|=，∴=，
解得y=4或y=-4.
当y=4时，x=-2，z=1；
当y=-4时，x=2，z=-1.
∴n的坐标为(-2，4，1)或(2，-4，-1).
解析
11.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是
A.MN与CC1垂直
B.MN与平面ACC1A1垂直
C.MN与DC平行
D.MN与平面BDA1平行
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
能力提升
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设AB=2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)，
对于A，=(-1，-1，0)，=(0，0，2)，
则·=0，所以MN⊥CC1，故A正确；
对于B，=(-2，2，0)，则·=0，
所以MN⊥AC，又AC∩CC1=C，AC，CC1 平面ACC1A1，所以MN⊥平面ACC1A1，故B正确；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
对于C，=(0，2，0)，若MN与DC平行，则存在唯一实数λ，使得=λ
无解，所以MN与DC不平行，故C错误；
对于D，=(2，2，0)，=(2，0，2)，设平面BDA1
的法向量n=(x，y，z)，则有
可取n=(1，-1，-1)，因为·n=-1+1+0=0，且MN 平面BDA1，所以MN∥平面BDA1，故D正确.
解析
12.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD=8，CE=6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足=λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥
平面PCE，则λ的值为 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(4λ，0，0)，则=(4，0，-2)，=(4，4，-4)，
=(4(λ-1)，0，-2)，=(4，-4，2)，
若m=(x，y，z)是平面DEF的一个法向量，
则令z=2，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可得m=，
若n=(a，b，c)是平面PCE的一个法向量，
则令c=2，可得n=(1，1，2)，
由平面DEF⊥平面PCE，得m·n=0，
即++4=0，解得λ=.
解析
第一章 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
<<<作业10 空间中直线、平面的垂直
分值：80分
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分
1.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于
A.1 B. C. D.3
2.设a，b分别是两条直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则x等于
A.－7 B.－1 C.1 D.7
4.已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为
A.(1，0，－2) B.(1，0，2)
C.(－1，0，2) D.(2，0，－1)
5.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的有
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.∥
6.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对.
7.(13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
(1)求证：AE⊥CD；(6分)
(2)求证：PD⊥平面ABE.(7分)
8.(14分)在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
9. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.和AC，MN都不垂直
10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n所在的直线与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为 .
11. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是
A.MN与CC1垂直
B.MN与平面ACC1A1垂直
C.MN与DC平行
D.MN与平面BDA1平行
12.已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为 .
答案精析
1.B [因为l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝.]
2.C [a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量，
则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件.]
3.D [因为α⊥β，所以n1⊥n2，
所以n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.]
4.C [由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，
又PA⊥平面ABC，
所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，
得－x＋1－z＝0. ①
·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0， ②
联立①②得x＝－1，z＝2，
故点P的坐标为(－1，0，2).]
5.ABC [因为
·＝－2－2＋4＝0，
所以⊥，
所以AP⊥AB，A正确；
因为·＝－4＋4＋0＝0，
所以⊥，
所以AP⊥AD，B正确；
因为AP⊥AB，AP⊥AD，
AB∩AD＝A，
AB，AD 平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD，
所以是平面ABCD的一个法向量，C正确；
＝(2，3，4)，
设＝λ＝(－λ，2λ，－λ)，
即此方程组无解，D错误.]
6.0
解析 因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0对.
7.证明 (1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，
B(1，0，0)，P(0，0，1).
因为∠ABC＝60°，AB＝BC，
所以△ABC为正三角形.
所以C，E，
设D(0，y1，0)，
则，
由AC⊥CD得·＝0，
即－＝0，
解得y1＝，则D，
所以.
又，
所以·＝－××＝0，
所以⊥，即AE⊥CD.
(2)方法一 由(1)知＝(1，0，0)，，
设平面ABE的法向量为
n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝2，则n＝(0，2，－).
又，
显然n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
方法二 由(1)知
，
.
所以·××(－1)＝0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知＝(1，0，0)，
所以·＝0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
8.证明 设AB＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，
D(0，1，0)，
A(0，0，0)，
S(0，0，1)，
E.
方法一 连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则O.
因为＝(0，0，1)，，
所以，
又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二 设平面BDE的法向量为
n1＝(x，y，z).
因为＝(－1，1，0)，
，
所以
令x＝1，
可得平面BDE的一个法向量为
n1＝(1，1，0).
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为
n2＝＝(0，0，1).
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
9.AC [以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).
设正方体的棱长为2a(a>0)，
则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，
C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，
A1(2a，0，2a).
∴＝(－a，－a，a)，
＝(0，a，a)，
＝(－2a，2a，0)，＝(0，0，2a).
∴·＝0，·＝0，
·＝2a2≠0，
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直.]
10.(－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析 根据题意，得
＝(－1，－1，2)，
＝(1，0，2).设n＝(x，y，z)，
∵n与平面ABC垂直，
∴即
可得
∵|n|＝，
∴，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；
当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为
(－2，4，1)或(2，－4，－1).
11.ABD [如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A(2，0，0)，
B(2，2，0)，
C(0，2，0)，
D(0，0，0)，
A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)，
对于A，＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，2)，则·＝0，
所以MN⊥CC1，故A正确；
对于B，＝(－2，2，0)，
则·＝0，所以MN⊥AC，
又AC∩CC1＝C，
AC，CC1 平面ACC1A1，
所以MN⊥平面ACC1A1，故B正确；
对于C，＝(0，2，0)，若MN与DC平行，则存在唯一实数λ，
使得＝λ，
所以无解，
所以MN与DC不平行，故C错误；
对于D，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，设平面BDA1的法向量n＝(x，y，z)，则有
可取n＝(1，－1，－1)，
因为·n＝－1＋1＋0＝0，
且MN 平面BDA1，
所以MN∥平面BDA1，故D正确.]
12.
解析 如图，以A为坐标原点，
AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，
P(0，0，4)，F(4λ，0，0)，
则＝(4，0，－2)，＝(4，4，－4)，
＝(4(λ－1)，0，－2)，
＝(4，－4，2)，
若m＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量，
则令z＝2，
可得m＝，
若n＝(a，b，c)是平面PCE的一个法向量，
则
令c＝2，可得n＝(1，1，2)，
由平面DEF⊥平面PCE，得m·n＝0，
即＋4＝0，解得λ＝.
