一、空间向量的概念及运算
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力.
例1 (1)(多选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是( )
A.+++=0
B.+--=0
C.-+-=0
D.·=·
(2)已知空间向量a=(2，4，-2)，b=(-1，0，2)，c=(x，2，-1).若b⊥c，则cos〈a，c〉= .
反思感悟 (1)向量的线性运算，实质上是在正确进行数乘运算的基础上，运用平行四边形法则或三角形法则进行向量求和或差运算，其关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
(2)涉及空间向量的数量积的应用时，主要用到以下三个重要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=|a|2=a2.
跟踪训练1 (1)在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||=||，则P点坐标为( )
A.(3，0，0)
B.(0，3，0)
C.(0，0，3)
D.(0，0，-3)
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.求与夹角的余弦值.
二、利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例2 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
跟踪训练2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.
三、利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为=(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图).
(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图).
2.通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例3 在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=30°，求点D到平面ABC的距离.
反思感悟 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
跟踪训练3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
四、利用空间向量求空间角
1.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
例4 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD=AD=AB=1，∠PAD=45°，E是PA的中点，点G在线段AB上，且满足CG⊥BD.
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值；
(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面GPC所成角的正弦值是若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由.
反思感悟 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
(2)应用空间向量求空间中的角时，往往要转化成元素的特征向量的夹角问题，并要注意特征向量的夹角与所求夹角的关系.
跟踪训练4 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成角的大小；
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
答案精析
例1 (1)CD [因为-+-=+=0，
所以C正确；
又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2，
所以·=2×2×cos∠ASB，·=2×2×cos∠CSD，
而∠ASB=∠CSD，
于是·=·，
因此D正确，其余两项都不正确.]
(2)
解析 因为b⊥c，
则b·c=-x+0-2=0，
解得x=-2，所以c=(-2，2，-1)，
故cos〈a，c〉==
=.
跟踪训练1 (1)C
(2)解 记=a，=b，=c，
则|a|=|b|=|c|=1，
〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，
∴a·b=b·c=c·a=.
=b+c-a，=a+b，
∴||=，||=，
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1，
∴cos〈〉=
=.
例2 (1)证明 以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∵=(0，1，1)，
平面PAD的一个法向量为
n=(1，0，0)，
∴·n=0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
(2)解 由(1)知，=(-1，2，0)，=(1，0，-2)，
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则
=(-1，y-1，z-1)，
∵MN⊥BD，MN⊥PB，
∴
即
∴∴N，
∴在平面PAD内存在一点
N，
使MN⊥平面PBD.
跟踪训练2 (1)证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，
B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因为=(-3，0，0)，
=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥，
即AC⊥BC1.
(2)解 假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设=t=(-3t，4t，0)，
其中0≤t≤1.
则E(3-3t，4t，0)，=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)，
=(-3，0，4)，
又因为=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，
m(4t-4)-4n=0，-4m-4n=4，
解得t=.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
这时点E为AB的中点.
例3 解 如图所示，以AD的中点O为原点，分别以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，
C，D，
∴ =，
=，
=，
设n=(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则
∴y=-x，z=-x，
可取n=(-，1，3)，
代入d= ，
得d==，
即点D到平面ABC的距离是.
跟踪训练3
例4 (1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
∴DA，DC，DP两两垂直.
如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵CD=AD=AB=1，
∠PAD=45°，易知∠PDA=90°，
于是PD=DA=1，
又E是PA的中点，故D(0，0，0)，
A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，
P(0，0，1)，E，
∴=(-1，-1，0)，
=(0，-1，1)，
设平面PBC的法向量为
m=(x，y，z)，
则即
令y=1，则x=-1，z=1，
∴m=(-1，1，1)，
又=，
∴m·=-1×+0+1×=0，
∴m⊥，又DE 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)解 设点G的坐标为
(1，t，0)，0≤t≤2，
则=(1，t-1，0)，
由(1)知=(1，2，0)，
由CG⊥BD得
·=1+2(t-1)=0 t=，
∴G=，
设平面GPC的法向量为
n=(a，b，c)，
由得
令a=1，则n=(1，2，2)，
则|cos〈n，m〉|===，
∴平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为.
(3)解 假设在线段PA上存在点H，使得GH与平面GPC所成角的正弦值为.=(-1，0，1)，
设=λ=(-λ，0，λ)，
λ∈[0，1]，=，
∴=+=，
∴cos〈，n〉==，
∵GH与平面GPC所成角的正弦值为，∴=，
整理得20λ2+8λ-1=0，
解得λ=或λ=-(舍去)，
∴=，||=，
∴存在满足条件的点H，
且AH=.
跟踪训练4 解 (1)由题意得
A(2，0，0)，F，
B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0).
∴=，
=(-1，-1，)，
∴·=1-2+1=0.
∴异面直线AF和BE所成角的大小为90°.
(2)设平面BEC的法向量为
n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)，
=(-1，-1，)，
则
∴x=0，取z=1，则y=，
∴平面BEC的一个法向量为
n=(0，，1).
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈，n〉|===.
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.(共51张PPT)
章末复习课
第一章 空间向量与立体几何
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一、空间向量的概念及运算
二、利用空间向量证明位置关系
三、利用空间向量计算距离
内容索引
四、利用空间向量求空间角
空间向量的概念及运算
一
1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.
2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力.
(1)(多选)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是
A.+++=0
B.+--=0
C.-+-=0
D.·=·
√
例 1
√
因为-+-=+=0，所以C正确；
又因为底面ABCD是边长为1的正方形，
SA=SB=SC=SD=2，
所以·=2×2×cos∠ASB·
=2×2×cos∠CSD，
而∠ASB=∠CSD，于是·=·
因此D正确，其余两项都不正确.
解析
(2)已知空间向量a=(2，4，-2)，b=(-1，0，2)，c=(x，2，-1).若b⊥c，则
cos〈a，c〉= .
因为b⊥c，
则b·c=-x+0-2=0，
解得x=-2，所以c=(-2，2，-1)，
故cos〈a，c〉===.
解析
(1)向量的线性运算，实质上是在正确进行数乘运算的基础上，运用平行四边形法则或三角形法则进行向量求和或差运算，其关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
(2)涉及空间向量的数量积的应用时，主要用到以下三个重
要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=|a|2=a2.
反
思
感
悟
(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||=||，则P点坐标为
A.(3，0，0) B.(0，3，0)
C.(0，0，3) D.(0，0，-3)
跟踪训练 1
√
设P(0，0，z)，
则有
=解得z=3.
解析
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.求与夹角的余弦值.
记=a=b=c，则|a|=|b|=|c|=1，
〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，
∴a·b=b·c=c·a=.
=b+c-a=a+b，
∴||=||=
·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1，
∴cos〈〉==.
解
二
利用空间向量证明位置关系
1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明.
2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA= AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
例 2
以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∵=(0，1，1)，
平面PAD的一个法向量为n=(1，0，0)，
∴·n=0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
证明
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
由(1)知=(-1，2，0)=(1，0，-2)，
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
设N(0，y，z)，则=(-1，y-1，z-1)，
∵MN⊥BD，MN⊥PB，
∴∴∴N
∴在平面PAD内存在一点N
使MN⊥平面PBD.
解
利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).
反
思
感
悟
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求证：AC⊥BC1；
跟踪训练 2
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、
z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，
B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因为=(-3，0，0)=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥
即AC⊥BC1.
证明
(2)在棱AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.
假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
设=t=(-3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
则E(3-3t，4t，0)=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)=(-3，0，4)，
又因为=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，m(4t-4)-4n=0，-4m-4n=4，解得t=.
所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，
这时点E为AB的中点.
解
利用空间向量计算距离
三
1.空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量=a，则向量在直线l上的投影向量为=(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图).
(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图).
2.通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD= AB=1，且∠BAD=30°，求点D到平面ABC的距离.
例 3
如图所示，以AD的中点O为原点，分别以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则AB
CD
∴ = =
=
解
设n=(x，y，z)为平面ABC的法向量，
则
∴y=-x，z=-x，可取n=(-1，3)，
代入d= ，得d==
即点D到平面ABC的距离是.
解
利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可.
反
思
感
悟
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为
A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 .
跟踪训练 3
如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，
N(4，2，4)，
∴=(2，2，0)=(-2，0，4)，
易知平面AMN∥平面EFBD，
故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.
设n=(x，y，z)是平面AMN的法向量，
则
解析
解得
取z=1，则x=2，y=-2，
得n=(2，-2，1)是平面AMN的一个法向量.
∵=(0，4，0)，
∴平面AMN与平面EFBD的距离d==.
解析
利用空间向量求空间角
四
1.空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥ DC，AB⊥AD，CD=AD=AB=1，∠PAD=45°，E是PA的中点，点G在线段AB上，且满足CG⊥BD.
(1)求证：DE∥平面PBC；
例 4
∵PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
∴DA，DC，DP两两垂直.
如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵CD=AD=AB=1，
∠PAD=45°，易知∠PDA=90°，
于是PD=DA=1，
又E是PA的中点，故D(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E
证明
∴=(-1，-1，0)=(0，-1，1)，
设平面PBC的法向量为m=(x，y，z)，
则
令y=1，则x=-1，z=1，
∴m=(-1，1，1)，又=
∴m·=-1×+0+1×=0，
∴m⊥又DE 平面PBC，∴DE∥平面PBC.
证明
(2)求平面GPC与平面PBC夹角的余弦值；
设点G的坐标为(1，t，0)，0≤t≤2，
则=(1，t-1，0)，由(1)知=(1，2，0)，
由CG⊥BD得·=1+2(t-1)=0 t=
∴G=
设平面GPC的法向量为n=(a，b，c)，
由
解
令a=1，则n=(1，2，2)，
则|cos〈n，m〉|===
∴平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为.
解
(3)在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面GPC所成角的正弦值是若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由.
假设在线段PA上存在点H，使得GH与平面GPC所成角的正弦值为.
=(-1，0，1)，设=λ=(-λ，0，λ)，
λ∈[0，1]=
∴=+=
∴cos〈n〉==
∵GH与平面GPC所成角的正弦值为∴=
解
整理得20λ2+8λ-1=0，
解得λ=或λ=-(舍去)，
∴=||=
∴存在满足条件的点H，且AH=.
解
(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
(2)应用空间向量求空间中的角时，往往要转化成元素的特征向量的夹角问题，并要注意特征向量的夹角与所求夹角的关系.
反
思
感
悟
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成角的大小；
跟踪训练 4
由题意得A(2，0，0)，F
B(2，2，0)，E(1，1)，C(0，2，0).
∴==(-1，-1)，
∴·=1-2+1=0.
∴异面直线AF和BE所成角的大小为90°.
解
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
设平面BEC的法向量为n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)=(-1，-1)，
则
∴x=0，取z=1，则y=
∴平面BEC的一个法向量为n=(01).
解
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈n〉|===.
即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
解
第一章 空间向量与立体几何
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