江苏省南京市2025-2026学年高一上学期分班考试模拟数学试卷（含答案）

南京市2025届高一分班数学模拟试卷数学学科
注意事项：
1.本试卷6页，共120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．太阳系中的“巨无霸”——木星形成于太阳系第一批固体出现后的380万年，则380万用科学计数法表示为（ ▲ ）
A．3.8×106 B．38×105 C．0.38×107 D．38×106
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A．a2＋a4＝a6 B．a3·a4＝a7 C．a6÷a2＝a3 D．(a3)4＝a7
3．在函数中，自变量x的取值范围是（ ▲ ）
A．－1≤x≤1 B．x≥0 C．x≤1 D．－1＜x＜1
4．如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C是劣弧上的点，连接AB、BC，若OB＝3，∠ABC＝20°，则劣弧的长为（ ▲ ）
A． B． C．π D．2π
6．甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得2分的概率是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．实数64的算数平方根是 ▲ 。
8．分解因式：x2y－9y＝ ▲ 。
9．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ▲ 。
10．若正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是 ▲ 。
11．小雨、小花、小台三名学生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是2.1m，方差分别是s2小雨＝1.50，s2小花＝1.05，s2小台＝0.95，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是
▲ 。
12．甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是
▲ 。
13．如图，函数y＝ax(a＜0)与函数y＝(k＜0)的图象交于点A，C，AB垂直于y轴，垂足为点B，连接BC，已知△BOC的面积为1，则k的值为 ▲ 。
14．如图，点A、B、C、D是正方形网格图中的格点，AB与CD交于点O，sin∠AOD＝
▲ 。
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，DE＝2AE，连接BE、CE，F是BE的中点，连接DF交CE于点G，若CE＝14，则GE的长为 ▲ cm．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M，N分别为AD，BC上一个动点，且AM＝CN，沿直线MN折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为BC上一点，且BP＝2，则PF的最大值为 ▲ ．
（第15题图） （第16题图）
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：（1）＝ （2）＋＝0
18．（7分）先化简，再求值：(x＋3)(x－3)－(x＋2)2，其中x＝．
19．（9分）人工智能（AI）可以帮助人们高效完成工作并优化决策．某学校计划对初三年级开展5种AI兴趣课程，分别是：A（编程基础）、B（图像识别）、C（语音交互）、D（数据分析）、E（智能系统），为了解学生对不同AI模块的喜爱情况，从初三年级随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
（第19题图）
根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 ▲ ；所调查学生的喜欢项目的众数是
▲ ；
（3）若该校初三年级共有800名学生，根据上述调查结果，请估计喜欢B（图像识别）模块的学生人数．
20．（7分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，过对角线的中点O作BD的垂线EF，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝3，AD＝4，求AE的长．
（第20题图）
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．E是CB上一点，且CE＝CD，过点E作EF∥AB，与CA交于点F．
（1）证明：△ADC≌△FCE；
（2）若E是BC的中点，CD＝6，则△ABC的面积为 ▲ ．
（第21题图）
22．（7分）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ▲ ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
23．（7分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是直径，延长边BA，CD交于点P，过点D作DE⊥AP于点E，已知PA＝AC；
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝30°，DE＝3，求⊙O的半径．
（第23题图）
24．（8分）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC．在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA＝60°，距离PA＝80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC＝30°．已知点A与大楼的距离AB为70米．（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC．（结果保留根号）
（第24题图）
25．（9分）为了迎接暑假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 价格 甲 乙
进价（元/双） m m－20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价－进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
26．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x－3(a≠0)．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若a＝1，自变量x满足m≤x≤m＋2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p－q＝2．求m的值；
（3）已知A(2a－1, y1)，B(a, y2)，C(a＋2, y3)为该抛物线上的点，若(y1－y3)(y3－y2)＞0，求a的取值范围．
27．（10分）综合探究
【阅读材料】
学习小组遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
（第27题图）
小文是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小文同学的思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图2，请直接写出△BDE的面积为 ▲ ．
（2）如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若△ABC的面积为2，求出以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积．
【深入探究】
（3）已知点P是 ABCD内的一点，连接PA，PB，PC，PD，∠BAP＝∠BCP，证明：
∠ABP＝∠ADP．
（第27题图）
【实践操作】
（4）如图，已知三条线段a、b、c，请利用无刻度直尺和圆规作一个三角形，使得三角形的三条中线长分别为线段a、b、c的长．（保留作图痕迹，不写作法）
（第27题图）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D C A C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
题号 7 8 9 10 11
答案 8 y(x＋3)(x－3) 4 8 小雨
题号 12 13 14 15 16
答案 1.5≤v≤1.8 －2 4 5＋
三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（8分）
解：（1）方程两边同乘2(4＋x)，得2(3－x)＝4＋x．
解这个方程，得x＝．
检验：当x＝时，2(4＋x)＝≠0，x＝是原方程的解．
（2）方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得x－1＋2＝0．
解这个方程，得x＝－1．
检验：当x＝－1时，(x＋1)(x－1)＝0，x＝－1是增根，原方程无解．
18．（7分）
解：
，
当时，原式．
19．（9分）
（1）解：已知C项目人数为9人，占比，则总人数为（人），D项目人数为（人），
补全条形统计图如图：
（2）；所调查学生的喜欢项目B的人数最多，故众数是B；
（3）样本中喜欢B（图像识别）模块的比例为，
该校初三年级共有800名学生，所以估计喜欢B模块的学生人数为人，
答：喜欢B（图像识别）模块的学生人数是240人．
20．（7分）
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）设，则，而，
在中，根据勾股定理，
，
解得：，
．
21．（7分）
（1）证明：，，
，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：由（1）可知，
，
连接，
是的中点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
的面积．
22．（7分）
（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
23．（7分）
（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，而为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为．
24．（8分）
（1）解：∵，
∴，
在中，，则（米），
答：点到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，如图所示：
在中，，则（米），
∵米，
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，则（米），
∴（米），
答：大楼的高度为米．
25．（9分）
解：（1）依题意得，，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．
经检验，m=100是原分式方程的解．
∴m=100．
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105．
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案．
（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
26．（9分）
（1）解：∵，
∴，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
如图，∵，当时，即，
此时函数的最大值为，最小值为，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得：，不符合题意，舍去，
如图，当，即时，
同理可得：，，
∴，
解得：（舍去）
如图，当，即时，
同理可得：，，
∴，
解得：，（舍去），
如图，当时，
同理：当时，，
当时，，
∴，
解得：，不符合题意，舍去
综上：或；
（3）解：∵，
∴，或，；
∴当，时，即，
∵的对称轴为直线，
∴，且，
解得，；
当，时，即，
∵对称轴为直线，
∴，且，
解得，，
综上所述，或．
27．（10分）
（1）解：设梯形的高为，
∵，
梯形的面积为1，
∴，
过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）平移到，可得，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即M为的中点，
又∵，
∴，，
∴
∵F为的中点，
∴，
∴
∴N为的中点，
∴E为各边中线的交点，
∵为中线，
∴，
∵为中线，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
而，
∴，
即的面积为面积的，
连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
可知与在一条直线上，
∵，
∴的面积等于的面积，
又的面积等于，
∴的面积等于，
∴，
∴的面积等于的面积，
∴的面积等于的面积的，
又为的中线，
∴的面积是面积的，
∴的面积是面积的，
∴，
又的面积为2，
∴，
∴以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于，
故答案为：．
（3）过点P作，分别交、于点E、F，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又
∴，
∴；
（4）以a，b，c为三边作，作出中点N，
连结，作出的中点M，连结交于点E，
延长到A，使，连结，并延长，在的延长线上截得，连结，，，则与互相平行，四边形是平行四边形，
延长长B，使，连结，就是所求作的三角形.