专题限时集训(十二)
1．C [由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π.故选C．]
2．C [如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为．根据题意，可以补充成长方体．又底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角为45°，则长、宽、高分别为4，4，4，即图形为正方体，则外接球的球心为体对角线中点，体对角线长刚好为球的直径，所以外接球的半径r＝＝2，所以外接球的表面积为4πr2＝48π.故选C．]
3．A [如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A-BCD，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，设球的半径为r，故r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π.故选A．]
4．B [如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，且∠BAC＝，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝1＋1－2×1×1×cos ＝3，则BC＝．
设底面△ABC的外接圆的半径为r，圆心为O1，由正弦定理得2r＝＝2，即O1A＝1．
设直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O，外接球的半径为R，△A1B1C1的外接圆的圆心为O2，
在Rt△OO1A中，可得R＝＝＝＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝20π．
故选B．]
5．B [在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×＝3，
则AB2＝AC2＋BC2，所以AC⊥BC，因为PA⊥平面ABC，把三棱锥P-ABC补成长方体，如图所示，PB为长方体体对角线，所以三棱锥P-ABC外接球的直径为PB，又PB＝＝＝，即外接球的直径为，所以外接球的表面积为4π×＝13π.故选B．]
6．B [圆锥和侧面展开图如图所示．
设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，两式相除解得r＝1，l＝2，所以∠BAC＝，轴截面为等边三角形，圆锥的高h＝＝，
设圆锥的内切球的球心为O，半径为R，Q，S为球O与AB，AC的切点，在Rt△AOS中，OS＝AO，即R＝(－R)，解得R＝．故选B．]
7．A [如图，直角三角形ABC外接圆的圆心是斜边AC的中点O1，过该点作一条垂直于平面ABC的直线．因为平面ABC⊥平面PAC，所以所作直线在平面PAC内，且经过等边三角形PAC的中心，所以等边三角形PAC的中心就是三棱锥P-ABC外接球的球心，
所以△PAC外接圆的半径也是三棱锥P-ABC外接球的半径．
在△PAC中，由正弦定理知，＝2R(R是△PAC外接圆的半径)，即＝2R，所以R＝＝，所以三棱锥P-ABC外接球的半径为，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝．
故选A．]
8．A [如图，设切点为E，连接O1E，则O1E⊥EP，因为圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，
设OE＝r，PE＝2r，则OP＝r，
所以V2＝πr2·r＝．
由△PEO∽△PO1E可得＝，即PE2＝OP·O1P，
所以4r2＝r×O1P，所以O1P＝＝，
所以OO1＝O1P－OP＝－r＝r．
在Rt△O1OE中，EO1＝＝＝r，
即球的半径R＝，所以V1＝π×＝πr3，
所以＝＝．故选A．]
9．ACD [设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，故DE＝r1，AE＝r2，
∠OAD＋∠ODA＝，∠DOA＝，OE⊥AD，
故OE2＝DE·AE，即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
故圆台的高为2R＝2，母线长为r1＋r2＝4，圆台的表面积为π(12＋32)＋π(1＋3)×4＝26π，球O的表面积S＝4πR2＝12π．
故选ACD．]
10．ACD [对于A，由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，
故该正八面体结构的表面积S＝8××m2＝2m2，故A正确；
对于B，连接AS，PS，则AS＝PS＝m，PS⊥底面ABCD，
故该正八面体结构的体积V＝2××m2×m＝m3，故B错误；
对于C，底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R＝PS＝m，
故该正八面体结构的外接球表面积S′＝4π×＝2πm2，故C正确；
对于D，该正八面体结构的内切球半径r＝＝＝，
故内切球的表面积S″＝4π×＝，故D正确．
故选ACD．]
11．ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD．]
12．29π [由题意可知△ABC是直角三角形，AC＝5，则△ABC的内切圆的半径为r＝＝1．
直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，则其高为h＝2r＝2，
分别取AC，A1C1的中点E，F，连接EF，则EF也是该直三棱柱的高，EF的中点O是其外接球球心，OC＝＝＝．
所以外接球的表面积为S＝4π·OC2＝29π．]
13． [由题意可知，三棱锥P-ABC可以以PA，PB，PC为棱，补成棱长为2的正方体，
所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同，
所以外接球直径2R＝PA＝2，其表面积S外＝4πR2＝12π．
设三棱锥内切球半径为r，则由等体积法可得r＝VP-ABC，
即r×2×2＋×2×2＋×2×2＋×2×2＝××2×2×2，
解得r＝，故S内＝4πr2＝π，所以S外－S内＝12π－π＝．]
14．π [设正三棱台ABC-A1B1C1.如图，先分析正三棱台的一个侧面ABB1A1．
设AB＜A1B1，在△AA1B中，由于∠A1AB是钝角，故△AA1B中最大的边是A1B．
若A1B＝2，则AB和AA1的长只能取1或．此时若两边长均为1，则不满足两边之和大于第三边，构不成三角形，不符合题意；
若一边长为1，另一边长为，则△AA1B为直角三角形，与∠A1AB是钝角矛盾；
若两边长均为，则A1B1的长只能为1，与AB＜A1B1矛盾，
故只能是A1B＝，AB＝AA1＝1，A1B1＝2．
设正三棱台的上底面中心为D，下底面中心为D1．
如图，在直角梯形ADD1A1中求球O的半径，
利用三角形重心的性质易求得
AD＝，A1D1＝，DD1＝，
设球O的半径为R，OD1＝x，x＞0，由图1 得
R2＝x2＋＝＋，
解得x＝－，R2＝(舍)，
由图2得R2＝x2＋＝＋，
解得x＝，R2＝，故球O的表面积为4πR2＝π．]
1 / 1专题限时集训(十二) 与球有关的“切”“接”“截”问题
一、单项选择题
1．(2024·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )
A．4π B．6π C．8π D．10π
2．(2024·广东汕尾模拟)已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，直线PD与平面ABCD所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A．16π B．32π
C．48π D．64π
3．(2024·江西上饶模拟)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为( )
A．4π B．2π
C． D．π
4．(2024·黑龙江哈尔滨二模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为( )
A．16π B．20π
C．28π D．32π
5．(2024·江苏南京模拟)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，PA＝3，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )
A． B．13π
C．52π D．π
6．(2024·福建泉州模拟)已知圆锥的侧面积是2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的半径为( )
A． B．
C． D．
7．(2024·广东六校模拟)已知三棱锥P-ABC，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，△PAC是边长为2的等边三角形，且平面ABC⊥平面PAC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )
A．π B．π
C．π D．8π
8．(2024·宁夏银川一模)如图，球O1与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V2，则V1∶V2＝( )
A．32∶9
B．27∶8
C．26∶7
D．9∶4
二、多项选择题
9．已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列说法中正确的是( )
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
10．(2024·河南信阳一模)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则( )
A．该正八面体结构的表面积为2m2
B．该正八面体结构的体积为m3
C．该正八面体结构的外接球表面积为2πm2
D．该正八面体结构的内切球表面积为
11．(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
三、填空题
12．(2024·四川成都模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，若AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，则该三棱柱外接球的表面积为________．
13．(2024·陕西西安模拟)三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两垂直．设三棱锥P-ABC的外接球和内切球的表面积分别为S外和S内，则S外－S内＝________．
14．(2024·湖南师大附中二模)若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{1，，2}，且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________．
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