专题限时集训(十一) 空间几何体的表面积、体积
一、单项选择题
1．(2024·陕西西安模拟)乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，其表面积约为( )
A．3 000 mm2 B．4 000 mm2
C．5 000 mm2 D．6 000 mm2
2．(2024·安徽合肥三模)已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为( )
A．48π B．16π
C．64π D．
3．如图所示的花盆为正四棱台，上口宽为5，下口宽为3，侧棱长为3，则该花盆的体积为( )
A． B．49
C． D．245
4．(2024·广东广州模拟)如图所示，某同学制作了一个工艺品．该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)．若其中一截面圆的周长为4π，则球的体积为( )
A． B．
C． D．
5．(2024·天津二模)在各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上、下底面的中心分别为D，H，三个侧面的中心分别为E，F，G，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥D-EFG和H-EFG，则剩余部分的体积为( )
A． B．
C． D．
6．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O为四边形ACC1A1对角线的交点，设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1，四棱锥O-BCC1B1的体积为V2，则V2∶V1＝( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．2∶3
7．(2023·全国甲卷)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
8．(2024·湖北武汉二模)灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分(除去两个球缺)．如图2，球缺是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高．已知球缺的体积公式为V＝(3R－h)h2，其中R是球的半径，h是球缺的高．已知该灯笼的高为40 cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆的直径为24 cm，则该灯笼的体积为(取π＝3)( )
A．32 000 cm3 B．33 664 cm3
C．33 792 cm3 D．35 456 cm3
二、多项选择题
9．某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A．圆锥的体积是9π
B．圆锥的侧面展开图的圆心角是
C．过圆锥的两条母线作截面，面积的最大值是8
D．圆锥的侧面积是12π
10．(2024·新疆喀什区二模)如图，圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，下面说法正确的是( )
A．线段AC＝2
B．该圆台的表面积为11π
C．该圆台的体积为7π
D．沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为5
11．(2024·湖北武汉模拟)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是( )
A．弧AD的长度为π
B．曲池的体积为
C．曲池的表面积为20＋14π
D．三棱锥A-CC1D的体积为5
三、填空题
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，则四棱锥B-A1EFC1的体积为________．
13．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm，下底面直径为34 cm，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为________cm2(结果保留π)．
14．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
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1．C [标准尺寸乒乓球的直径是40 mm，则其半径R＝20 mm，故表面积S＝4πR2≈5 000(mm2)．故选C．]
2．D [设圆锥的底面圆半径为r，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2πr＝8π，解得r＝4，
又侧面展开图是半径为8的半圆，即圆锥的母线长为8，
则圆锥的高h＝＝4，
所以该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×42×4＝．
故选D．]
3．A [如图，由题意，该棱台的上、下底面的对角线长分别为5，3，
所以棱台的高为h＝＝5，
故棱台的体积为V＝h(S上＋S下＋)＝×5×(52＋32＋)＝．故选A．]
4．C [设球的半径为R，截面圆的半径为r，相对的两个截面圆间的距离为2d，
因为截面圆的周长为4π，可得2πr＝4π，解得r＝2，
又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分，
所以相对两截面圆之间的距离为2d＝8，解得d＝4，
根据球的截面的性质，可得R2＝r2＋d2＝22＋42＝20，即R＝2(负值舍去)，
所以球的体积为V＝R3＝．故选C．]
5．A [如图所示，
因为三个侧面的中心分别为E，F，G，
所以三棱锥D-EFG和三棱锥H-EFG的底面EFG面积为S△ABC，
高为正三棱柱的高的一半，
故挖去的几何体的体积为2××××2×2sin 60°×1＝，三棱柱的体积为×2×2sin 60°×2＝2，故剩余几何体的体积为2－＝．
故选A．]
6．A [如图，连接A1B，
则V1＝，VA1-ABC＝V1，
所以＝V1，
又O为A1C的中点，
所以点A1到平面BCC1B1的距离是点O到平面BCC1B1的距离的2倍，则＝＝2V2，
所以V1＝2V2，即＝．
故选A．]
7．C [如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO．
由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM 平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA．
在△PAC中，由余弦定理，得PA＝＝，所以PB＝.在△PBC中，由余弦定理，得cos ∠PCB＝＝，所以sin ∠PCB＝，所以S△PBC＝PC·BC sin ∠PCB＝4．
故选C．]
8．B [该灯笼去掉圆柱部分的高为40－8＝32(cm)，则R－h＝＝16(cm)，由圆柱的底面圆的直径为24 cm，则有(R－h)2＋122＝R2，即162＋122＝R2，可得R＝20 cm，则h＝4，V＝2V圆柱＋V球－2V球缺＝2×4×122×π＋×π×203－2×(60－4)×42
＝3 456＋32 000－1 792＝33 664(cm3)．故选B．]
9．BCD [因为圆锥的底面半径r＝3，母线长l＝4，
所以圆锥的高h＝＝＝．
对于A，因为圆锥的体积为V＝S底h＝π×32×＝3π，故A错误；
对于B，因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为2π×3＝6π，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为＝，故B正确；
对于C，设圆锥的两条母线的夹角为θ，过这两条母线作截面，其面积为S＝×4×4×sin θ＝8sin θ，
当θ＝时，面积有最大值，最大值为8，故C正确；
对于D，圆锥的侧面积为S侧＝π×3×4＝12π，故D正确．故选BCD．]
10．ABD [显然四边形ABCD是等腰梯形，AB＝AD＝BC＝2，CD＝4，其高即为圆台的高h＝＝．对于A，在等腰梯形ABCD中，AC＝＝2，A正确；
对于B，圆台的表面积S＝π×12＋π×22＋π(1＋2)×2＝11π，B正确；
对于C，圆台的体积V＝π·(12＋1×2＋22)×＝π，C错误；
对于D，将圆台一半侧面展开，如图中扇环ABCD，且E为AD的中点，
而圆台对应的圆锥半侧面展开图为COD，且OC＝4，又∠COD＝＝，
在Rt△COE中，CE＝＝5，斜边CE上的高为＝>2，即CE与弧AB相离，
所以C到AD中点的最短距离为5，D正确．
故选ABD．]
11．ACD [设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，因为弧AD的长度是弧BC长度的3倍，R＝3×r，即R＝3r，
所以CD＝R－r＝2r＝2，所以r＝1，R＝3，
所以弧AD的长度为π，故A正确；
曲池的体积为V＝×AA1＝×5＝10π，
故B错误；
曲池的表面积为×2＋×5＋2×5×2
＝×2＋×5＋20＝20＋14π，故C正确；
三棱锥A-CC1D的体积为××2×5×3＝5，故D正确．
故选ACD．]
12．1 [法一：＝
＝××2－×2×2＝1．
法二：＝＝
＝××1×1×2＋××1×2×2＝1．]
13．705π [如图为圆台轴截面：
如图为圆台侧面展开图：
圆台上底面半径为r1＝9 cm，下底面半径为r2＝17 cm，l1＝＝3r1，l2＝＝3r2，
则扇环面积为：πr2l2－πr1l1＝π＝＝3π(172－92)＝624π(cm2)，
则新灯罩所需环保材料的面积为＝624π＋81π＝705π(cm2)．]
14． 1 [设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线l＝2r，
由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×π×r2×r＝πr3，
球的体积V2＝πR3＝π×＝πr3，
所以＝＝；
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2，
所以＝＝1．]
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