专题限时集训(十五) 事件的独立性与条件概率、全概率公式
一、单项选择题
1．(2024·江苏盐城一模)已知随机事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝，则P(A∪B)＝( )
A． B．
C． D．
2．一名工人维护甲、乙两台机床，在一小时内，甲需维护和乙需维护相互独立，它们的概率分别是0.4，0.3，则至少有一台需要维护的概率为( )
A．0.58 B．0.46
C．0.42 D．0.12
3．(2024·山东滨州二模)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是( )
A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P＝0.6
C．若P＝0.5，则P(AB)＝0.25
D．若B A，则P＝0.8
4．为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班．已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95.若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为( )
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.9
5．(2024·湖北武汉模拟)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，开关闭合后，这个电路是通路的概率是( )
A． B．
C． D．
6．(2024·河北衡水三模)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·山东日照二模)同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是( )
A．A与B相互独立 B．A与B互斥
C．P(B)＝ D．P(C)＝
8．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为f ( p)，下列说法正确的是( )
A．三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3
B．f ( p)的常数项为3
C．f ＜f
D．f ＝
三、填空题
9．(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
10．(2024·广东广州模拟)选手甲和乙进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用五局三胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为________．
四、解答题
11．(2024·广西桂林模拟)乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为．
(1)当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且甲获胜”的概率；
(2)在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．
12．(2024·广东佛山二模)联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用，为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：
①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”“成语类”“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有4道，“成语类”有6道，“文化类”有8道，若答对将获得一份奖品．
②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得－1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”“成语类”“文化类”的概率分别为，，，求留学生甲答对所选试题的概率；
(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为，，求留学生乙获得奖品的概率．
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1．B [因为事件A，B相互独立，且P(A)＝P(B)＝，可得P(AB)＝P(A)P(B)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝．故选B．]
2．A [记至少有一台需要维护为事件A，则P(A)＝1－(1－0.4)(1－0.3)＝1－0.42＝0.58．
故选A．]
3．D [对于A：因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不相互独立，故A错误；
对于B：若A，B相互独立，则P＝＝＝P(A)＝0.5，故B错误；
对于C：因为P＝，所以P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.4×0.5＝0.2，故C错误；
对于D：若B A，则P(AB)＝P(B)＝0.4，所以P＝＝＝0.8，故D正确．
故选D．]
4．D [设A1＝“李先生骑自行车上班”，A2＝“李先生坐公交车上班”，B＝“李先生准时到达单位”，根据题意得，P(A1)＝0.6，P(A2)＝1－0.6＝0.4，P(B)＝0.95，设P(B)＝m，则P(B)＝P(A1)P(B)＋P(A2)P(B)＝0.6×0.95＋0.4m＝0.93，解得m＝0.9.故选D．]
5．B [元件B，C都不正常工作的概率p1＝＝，
则元件B，C至少有一个正常工作的概率为1－p1＝，
而电路是通路，即元件A正常工作，元件B，C至少有一个正常工作同时发生，
所以这个电路是通路的概率P＝×＝．故选B．]
6．D [设甲、乙、丙三人各射击一次命中分别为事件A，B，C，每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件D，则P(D)＝P()＝××＋××＋××＝，P(AD)＝P(A)＝××＋××＝，则P(A|D)＝＝＝．故选D．]
7．AC [对于A，依题意P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝＝P(A)P(B)，
所以事件A与事件B相互独立，故A正确；
对于B，由题意可知，事件A与事件B有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A与事件B不互斥，故B错误；
对于C，D，P(C)＝1－×＝，因为B C，所以P(BC)＝P(B)＝，
所以P(B|C)＝＝＝，故C正确，D错误．
故选AC．]
8．ABD [设实际比赛局数为X，则X的取值为3，4，5，
所以P(X＝3)＝p3＋(1－p)3，
P(X＝4)＝p(1－p)3，
P(X＝5)＝p2(1－p)2，
因此三局就结束比赛的概率为p3＋(1－p)3，则A正确；
f ( p)＝p2(1－p)2＝6p4－12p3＋3p2＋3p＋3，
由f (0)＝3，则常数项为3，则B正确；
由f ＝，则D正确；
由f ′( p)＝24p3－36p2＋6p＋3＝3(2p－1)(4p2－4p－1)，
因为0≤p≤1，所以4p2－4p－1＜0，
所以令f ′( p)＞0，则0≤p＜；
令f ′( p)＜0，则＜p≤1，
则函数f ( p)在上单调递增，在上单调递减，
因为f (1－p)＝(1－p)2p2＝f ( p)，
所以f ( p)的图象关于p＝对称，得f ＞f ，则C错误．
故选ABD．]
9． [法一：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝×＋×＋×＝．
法二：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3.则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝．将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为＝．]
10． [根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行三局为事件B，
P(A)＝×××××××＝，
P(AB)＝××＝，故P＝＝＝．]
11．解：(1)10∶10平后，两人又打4个球且甲获胜，该局比赛结束，这4个球的得分情况为：
前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为××＝．
(2)因为甲先发球，且甲11∶2获胜，所以一共打了13个球，最后1个球由甲发球，且最后一球甲赢，
前12球，甲发球6次，乙发球6次，乙共获胜2次，所以单局比赛中甲11∶2获胜的概率为＝．
12．解：(1)设留学生甲选1道“拼音类”试题为事件A，选1道“成语类”试题为事件B，选1道“文化类”试题为事件C，答对试题为事件D，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝，
所以P(D)＝P(A)P(DB)＋P(C)P(D|C)＝×＋×＋×＝．
(2)每一轮中留学生乙得1分的概率为×＝，
每一轮中留学生乙得0分的概率为×＋＝，
每一轮中留学生乙得－1分的概率为×＝，
在3轮比赛后，留学生乙得3分的概率为P1＝＝，
在3轮比赛后，留学生乙得2分的概率为P2＝×＝，
在3轮比赛后，留学生乙得1分的概率为P3＝×××＝，
所以乙最终获得奖品的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
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