专题限时集训(十三)
1．C [对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．
对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n相交或异面，故D错误．故选C．]
2．B [由题意得VG-ABD＝×S△ABD·BB1＝××2×2×2＝，
设点B到平面GAD的距离为h，则由等体积转化法得VB-AGD＝×S△ADG·h＝VG-ABD＝，
当G与B1重合时，S△ADG最大，最大为×2×2＝2，
此时h最小，最小值为＝．故选B．]
3．D [依题意，底面半径为3 km，山高为3 km，则母线长SA＝＝12(km)，
底面圆的周长为2πr＝6π(km)，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角α＝＝，如图，是圆锥侧面展开图，
显然AB＝＝13(km)，
过点S作SH⊥AB，垂足为H，此时SH为点S和线段AB上的点的距离的最小值，
即点H为公路的最高点，AH段为上坡路段，HB段为下坡路段，由直角三角形射影定理知SA2＝AH·AB，即122＝13AH，解得AH＝ km，
所以公路上坡路段长为 km.故选D．]
4．C [对于①，因为二面角A-BC-D为直二面角，所以平面ABC⊥平面BCD．
又因为平面ABC∩平面BCD＝BC，DC⊥BC，且DC 平面BCD，
所以DC⊥平面ABC，所以①正确；
对于②，由DC⊥平面ABC，且AB 平面ABC，可得AB⊥CD．
又因为AB⊥AC，且AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，
所以AB⊥平面ACD，所以②正确；
对于③，因为AB⊥平面ACD，且AB 平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD，所以③正确；
对于④，由题意可知平面ABC⊥平面BCD．
若平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面ABC＝AB，可得AB⊥平面BCD．
又因为BC 平面BCD，所以AB⊥BC．
因为AB与BC不垂直，所以矛盾，所以平面ABD与平面BCD不垂直，所以④错误．
故选C．]
5．B [法一：如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，
可知S△ABC＝×6×6×＝9＝×2×＝，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则＝h＝，解得h＝．
分别过A1，D1作底面垂线，垂足为M，N，设AM＝x，
则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，
可得DD1＝＝，
结合等腰梯形BCC1B1可得＝，
即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan ∠A1AM＝＝1．
法二：如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角．
因为＝＝，则＝，
可知＝VP-ABC＝，则VP-ABC＝18．
设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝d××6×6×＝18，解得d＝2．
取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，
所以PA与平面ABC所成角的正切值tan ∠PAO＝＝1.故选B．]
6．D [由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD．
如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，因为PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF.过点P作PG⊥EF，垂足为G.易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF.又PG 平面PEF，所以CD⊥PG.又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝．故选D．]
7．ABC [对于A，如图1，连接EF，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，
所以直线MN∥平面ABC，能满足；
对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，能满足；
对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC，能满足；
对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出直线MN∥平面ABC，不能满足．
故选ABC．]
8．ABD [对于A，因为平面A′D′FE⊥平面BCFE，
平面A′D′FE∩平面BCFE＝EF，BE⊥EF，BE 平面BCFE，
所以BE⊥平面A′D′FE，又A′D′ 平面A′D′FE，所以BE⊥A′D′，A正确；
对于B，因为A′E∥D′F，A′E 平面D′FC，D′F 平面D′FC，
所以A′E∥平面D′FC．
又BE∥CF，BE 平面D′FC，CF 平面D′FC，
所以BE∥平面D′FC．
又A′E∩BE＝E，A′E，BE 平面A′EB，所以平面A′EB∥平面D′FC，B正确；
对于C，因为＝，＝，则≠，
所以多面体A′EBCD′F不是三棱台，C错误；
对于D，如图，延长A′D′与EF相交于点G，
因为平面A′D′FE⊥平面BCFE，平面A′D′FE∩平面BCFE＝EF，A′E 平面A′D′FE，A′E⊥EF，
所以A′E⊥平面BCFE，则∠A′GE为直线A′D′与平面BCFE所成的角．
因为A′E∥D′F，所以＝，
解得GF＝1，GE＝3，tan ∠A′GE＝＝1，
则∠A′GE＝，D正确．
故选ABD．]
9． [如图，连接AC交BE于点O，连接OF．
因为AD∥BC，AD＝BC，AE∶AD＝2∶5，所以＝＝．
因为PA∥平面EBF，平面EBF∩平面PAC＝OF，PA 平面PAC，所以PA∥OF，所以＝＝．]
10． [如图，
作AD⊥l，BC⊥l，垂足分别为D，C，连接BD，AC，
则AD⊥β，BC⊥α，
所以∠BAC为AB与α所成的角，∠ABD为AB与β所成的角，即∠BAC＝，∠ABD＝．
设AB＝2m，
则BC＝m，AC＝m，AD＝BD＝m，得DC＝＝m，
建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则A(m，0，0)，B(0，m，m)，所以＝(－m，m，m)，取直线l的单位方向向量为l＝(0，1，0)，设AB与l所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，l〉|＝＝＝，
所以θ＝，即AB与l所成的角为．]
11．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，垂足为H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H 平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H．
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠ACB＝∠A1CB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1．
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝．
法一：由＝·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
12．解：(1)证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点，所以＝＝，
所以△OBA∽△ABC，
所以∠CAB＝∠AOB．
记BF⊥AO的垂足为H，
则△BHA∽△OBA，
所以∠HBA＝∠AOB．
所以∠HBA＝∠CAB，
所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，
所以CF＝BF，
故CF＝AF，F是AC的中点．
因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC．
因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，
所以EF∥DO．
又DO 平面ADO，EF 平面ADO，
所以EF∥平面ADO．
(2)由(1)得FO∥AB，因为AB⊥BC，所以FO⊥BC．
又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，
所以二面角P-BC-F的大小为120°．
如图，过点P作PM⊥平面ABC，垂足为M，连接MO，MB，
则∠POM是二面角P-BC-M的平面角，
所以∠POM＝60°．
在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2，得PO＝2，所以PM＝．
所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC×PM＝×2×2＝．
1 / 1专题限时集训(十三) 空间点、线、面的位置关系
一、单项选择题
1．(2024·天津高考)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
2．(2024·河北石家庄模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，G为线段B1D1上的动点，则点B到平面GAD距离的最小值为( )
A．1 B．
C． D．2
3．(2024·贵州贵阳一模)如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为3 km，山高为3 km，B是山坡SA上一点，且AB＝7 km.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为( )
A．10.2 km B．12 km
C． km D． km
4．(2024·北京丰台期末)在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折起，使得二面角A-BC-D为直二面角，得到图2所示四面体A-BCD．小明对四面体A-BCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD⊥平面ABC；②AB⊥平面ACD；③平面ABD⊥平面ACD；④平面ABD⊥平面BCD．其中判断正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B．1
C．2 D．3
6．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为( )
A．1 B．2
C． D．
二、多项选择题
7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN∥平面ABC的是( )
A B
C D
8．(2024·河北保定二模)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF＝EF＝2DF＝2，AE＝3，EB＝4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A′D′位置，且平面A′D′FE⊥平面BCFE，连接A′B，D′C，如图2，则( )
A．BE⊥A′D′
B．平面A′EB∥平面D′FC
C．多面体A′EBCD′F为三棱台
D．直线A′D′与平面BCFE所成的角为
三、填空题
9．(2024·陕西咸阳模拟)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别为AD，PC上一点，且AE∶AD＝2∶5，当PA∥平面EBF时，＝________．
10．(2024·江苏南通二模)已知二面角α-l-β为直二面角，A∈α，B∈β，A l，B l，AB与α，β所成的角分别为，则AB与l所成的角为________．
四、解答题
11．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
12．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积．
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