专题限时集训(十六)
1．D [由分布列可得
E(X)＝0.4a＋0.2(a＋1)＋0.4(a＋2)＝a＋1，
D(X)＝0.4(a－a－1)2＋0.2(a＋1－a－1)2＋0.4(a＋2－a－1)2＝0.8.故选D．]
2．B [由X～N(3，22)可知，E(X)＝3，D(X)＝4，
又因为Y＝(X－3)，所以E(Y)＝E＝E(X)－＝－＝0，
D(Y)＝D＝D(X)＝1，则＝＝．故选B．]
3．A [由题意知X＝0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．故选A．]
4．A [由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，
则ξ～B，则E(ξ)＝3×＝1；
η的可能取值为0，1，2，3，η服从超几何分布，
则E(η)＝3×＝，则E(ξ)
5．A [XY的分布列为
XY 1 2 4
P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p)
E(XY)＝1×p(1－p)＋2×[p2＋(1－p)2]＋4×p(1－p)＝－p2＋p＋2，E(X)＝2－p，E(Y)＝p＋1，
所以Cov(X，Y)＝－p2＋p＋2－(2－p)(1＋p)＝0.故选A．]
6．B [设A＝“向右下落”，＝“向左下落”，则P(A)＝P()＝，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X～B，
对于A，P(X＝0)＝＝，故A正确；
对于B，P(X＝5)＝＝，故B错误；
对于C，E(X)＝5×＝，故C正确；
对于D，D(X)＝5××＝，故D正确．
故选B．]
7．ABD [对于A，因为X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，所以E(X)＝μ＝8，故A正确；
对于B，因为P(7所以P(X>9)＝＝，故B正确；
对于C，P＝1－＝1－＝，故C错误；
对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，
所以E(ξ)＝＝＝，故D正确．
故选ABD．]
8．CD [由题意X～B(5，0.8)，则E(X)＝5×0.8＝4，D(X)＝5×0.8×0.2＝0.8，
所以D(2X＋1)＝4×0.8＝3.2，故选项A错误；
由X～B(5，0.8)，则P(X＝k)＝·0.8k·0.25-k，
设当X＝k(k≥1)时概率最大，
则有
即
解得3.8≤k≤4.8，由k∈Z，所以当X＝4时概率最大，
则P(X＝0)即P(X＝k)随k的增大先增大后减小，故D选项正确；
又Y～N(4，1)，则E(Y)＝4，D(Y)＝1，
所以E(X)＝E(Y)，D(X)P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝·0.85·0.25-5＝0.672 32，
又P(Y≥4)＝0.5，所以P(X≤4)>P(Y≥4)，故选项C正确．故选CD．]
9． [设质量指标为X，依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|≤2σ的解集是[99，101]的子集，
由|X－100|≤2σ可得100－2σ≤X≤100＋2σ，所以
解得σ≤，故σ至多为．]
10．4.85 [记事件B：选取的产品为次品，
记事件A1：此件次品来自甲生产线，
记事件A2：此件次品来自乙生产线，
记事件A3：此件次品来自丙生产线，
由题意可得：
P(A1)＝＝0.25，P(A2)＝＝0.35，P(A3)＝＝0.4，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.04，
由全概率公式可得
P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5，
从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.048 5，任意选取100件产品，
设次品数为X，则X～B(100，0.048 5)，
即E(X)＝100×0.048 5＝4.85．]
11．解：(1)用方案甲，最多检测4次，即前3次检测均未检测出患病，则第四次检测出患病或第四次没检测出患病都将知道哪一只是患病的，所以ξ1的最大值为4，即P(ξ1＝4)＝＝．
用方案乙，最多检测3次，即混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测时，第一次未验中，无论第二次是否验中，均可得出结果，若混检时，没检测出阳性，则剩下2只只需要检测一次就知道结果，所以ξ2的最大值为3，即P(ξ2＝3)＝·＝．
(2)方案甲：检测所需要的次数ξ1的可能取值是1，2，3，4．
P(ξ1＝1)＝，P(ξ1＝2)＝＝，P(ξ1＝3)＝＝，P(ξ1＝4)＝，
∴E(ξ1)＝×1＋×2＋×3＋×4＝，
方案乙：检测所需要的次数ξ2的可能取值是2，3，
若方案乙验两次，有两种可能：
①3只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为×＝；
②3只小白鼠混检时结果为阴性，再从其他2只小白鼠中验中阳性的概率为＝(无论第二次是否验中，均可以在第二次结束)，
∴P(ξ2＝2)＝＋＝，
P(ξ2＝3)＝1－P(ξ2＝2)＝1－＝，
∴E(ξ2)＝×2＋×3＝．
综上可得E(ξ2)因此，同学们应该选择乙方案．
12．解：(1)依题意可得(0.050＋0.075＋a＋0.150＋0.100)×2＝1，解得a＝0.125．
(2)由(1)可得高度在[15，17)和[17，19)的频率分别为0.1和0.15，所以抽取的5株中，高度在[15，17)和[17，19)的株数分别为2和3，所以X可取0，1，2，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
(3)从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[21，25]为事件M，至多1株高度低于23 cm为事件N，
则P(M)＝×＝，
P(MN)＝×××＋＝，
所以P(N|M)＝＝＝．
1 / 1专题限时集训(十六) 随机变量及其分布
一、单项选择题
1．(2024·浙江温州一模)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．
X a a＋1 a＋2
P 0.4 0.2 0.4
则D(X)＝( )
A．0.4＋a B．0.8＋a
C．0.4 D．0.8
2．(2024·山东济宁三模)若随机变量X～N(3，22)，随机变量Y＝(X－3)，则＝( )
A．0 B．
C． D．2
3．(教材改编)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是( )
A． B．
C． D．
4．1个口袋中有6个球(除颜色外其他属性都相同)，其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目；η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是( )
A．E(ξ)E(η)
C．E(ξ)＝E(η) D．无法判断
5．(2024·辽宁大连模拟)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)，已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov(X，Y)的值为( )
X 1 2
P p 1－p
Y 1 2
P 1－p p
A．0 B．1
C．2 D．4
6．(教材改编)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右下落，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5.用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是( )
A．P(X＝0)＝ B．P(X＝5)＝
C．E(X)＝ D．D(X)＝
二、多项选择题
7．(2024·重庆模拟)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是( )
A．E(X)＝8
B．若P(79)＝
C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为
D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为
8．(2024·山东聊城三模)某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y～N(4，1)，则( )
A．D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
三、填空题
9．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P≈0.954 5)
10．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5∶7∶8，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为________．
四、解答题
11．(2024·重庆模拟)已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性的即为未患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性，则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验．
若随机变量ξ1，ξ2分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数．
(1)求ξ1，ξ2能取到的最大值和其对应的概率；
(2)为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由．
12．(2024·四川成都三模)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[15，25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示．
(1)求a的值；
(2)若用分层随机抽样的方法从高度在[15，17)和[17，19)中抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[15，17)内的株数为X，求 X的分布列及数学期望E(X)；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[21，25]的条件下，至多 1株高度低于23 cm的概率．
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