专题限时集训(十八) 直线与圆
一、单项选择题
1．(2024·江苏苏州模拟)圆x2＋y2－2x＝0的圆心到直线2x＋y－1＝0的距离为( )
A．0 B．1
C． D．
2．(2024·河南新乡三模)已知直线l1：2x＋my－1＝0，l2：(m＋1)x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知从点(－5，3)发出的光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：x2＋y2－2x－2y－3＝0的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )
A．2x－3y＋1＝0 B．2x－3y－1＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．3x－2y－1＝0
4．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
5．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
6．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
二、多项选择题
7．(2024·山东4月大联考)已知直线l：x＋my－m＋2＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，则下列说法正确的是( )
A．直线l恒过定点(－2，1)
B．直线l与圆C相交
C．当直线l平分圆C时，m＝－3
D．当点C到直线l的距离最大时，m＝
8．(2024·江苏盐城模拟)已知直线l与圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，则直线l的方程可能为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0
C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝0
三、填空题
9．(2024·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程________．
10．(2024·广东佛山二模)在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，2)，C(3，0)，则△ABC的外接圆的标准方程为________．
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1．D [圆x2＋y2－2x＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，则圆心到直线2x＋y－1＝0的距离d＝＝．故选D．]
2．C [当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2．
当l1∥l2时，＝≠，解得m＝2．
所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．故选C．]
3．A [由圆的方程，得圆心为(1，1)，
∵反射光线恰好平分圆x2＋y2－2x－2y－3＝0的圆周，∴反射光线经过点(1，1)．
∵(－5，3)关于x轴对称的点为(－5，－3)，∴反射光线所在的直线经过点(－5，－3)，
∴反射光线所在的直线方程为＝，
即2x－3y＋1＝0.故选A．]
4．D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0化为标准方程为x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心M(0，－a)，半径为a．
由点到直线的距离公式得＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N(2，－2)，半径为1，
所以|MN|＝＝，|a－1|＝．
由<，可得两圆内含．
故选D．]
5．C [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)．
圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
6．D [
法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0 ①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线l上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．
由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D．
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
连接AM，BM(图略)，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]
7．ACD [对于A，l：x＋my－m＋2＝0，即x＋2＋m·(y－1)＝0，令y－1＝0，x＋2＝0，得y＝1，x＝－2，所以直线l恒过定点(－2，1)，故A正确；
对于B，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心C(1，2)，半径r＝，
点C(1，2)到直线l：x＋my－m＋2＝0的距离d＝，
从而d2－r2＝－5＝＝，
取m＝2，则此时有d＝r，故B错误；
对于C，当直线l平分圆C时，点C(1，2)在直线l：x＋my－m＋2＝0上，
即1＋2m－m＋2＝0成立，解得m＝－3，故C正确；
对于D，设直线l所过的定点为P，即P(－2，1)．
点C到直线l的距离d≤|PC|，当且仅当PC⊥l时，等号成立，
而PC的斜率为＝，
所以当等号成立时有·＝－1，解得m＝，故D正确．故选ACD．]
8．ABC [由题知C1(2，3)，C2(－2，－1)，两圆半径r1＝r2＝2，所以＝＝4＝r1＋r2，
故圆C1，C2外切，则两圆有三条公切线．
如图，C1C2的中点为两圆外切切点G(0，1)，
当直线l过C1C2的中点，且与C1C2垂直时，
因为＝＝1，
所以直线l的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0．
当直线l与C1C2平行，且C1到l的距离为2时，
设直线l的方程为x－y＋m＝0，
所以＝2，解得m＝－3或m＝5，
所以直线l的方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0.故选ABC．]
9．y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可) [因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，故可设切线方程为y＝x＋b．
因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，
圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为＝，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2．]
10．(x－2)2＋(y－1)2＝2 [依题意，设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y＋3＝0，
则其标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2．]
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