专题限时集训(十九)
1．C [由题意可知，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设P(x0，y0)，x0≥0，则x0＋2＝4，解得x0＝2，
所以|PF|＝x0＋1＝3.故选C．]
2．A [由已知得e1＝，e2＝，
因为e2＝e1，所以＝×，解得a＝，故选A．]
3．C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝＝2．
故选C．]
4．A [由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点，
所以－＝λ，即λ＝1，
则双曲线方程为－＝1.故选A．]
5．B [如图，设椭圆C的另一个焦点为F′，根据椭圆的对称性知|PF|＝|QF′|，
所以△PFQ的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|QF|＋|PQ|＝8＋|PQ|，
当线段PQ为椭圆短轴时，|PQ|有最小值6，所以△PFQ的周长的最小值为14.故选B．]
6．D [法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，则·＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)
＝＝＋2x0－8＋12－
＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＋＝1，所以＝1－≤1，
所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，连接MN(如图)．
则·＝
＝＝－9＝－9
＝＋2x0＋1＋12－－9＝＋2x0＋4
＝(x0＋4)2．
因为＋＝1，所以＝1－≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤·≤16.故选D．]
7．C [由抛物线方程为y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|≥|QN|，当Q点固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，
又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5，1)，半径r＝1，所以|QN|min＝|MN|－r＝8．
故选C．]
8．ABD [因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以|QA|＝|PQ|，
①若A在圆M内部，且不为圆心，则|MA|<4，|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确；
②若A在圆M外部，则||QA|－|QM||＝||PQ|－|QM||＝|PM|＝4，|MA|>4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确；
③若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q点的轨迹为点M．
若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．
故选ABD．]
9．AC [对于A项，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6是圆，A正确；
对于B项，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1是焦点在y轴上的椭圆，B错误；
对于C项，当λ＝4时，曲线C：＋＝1是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，故C正确；
对于D项，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．
故选AC．]
10．AD [由题意，在椭圆C：＋＝1中，
a＝2，b＝c＝，△PF1Q的周长为4a＝8，A正确；
不妨设P在x轴上方，如图，则P(－，1)，|PF1|＝1，|PF2|＝2a－|PF1|＝3，
所以在Rt△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝<，
所以∠F1PF2>，B错误；
设|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中－2|F1P||PQ|cos ∠F1PF2＝|F1Q|2，
即1＋(m＋3)2－2×1×(m＋3)×＝(4－m)2，解得m＝，
所以|F1Q|＝，D正确；
因为|F2Q|＝|PF2|，
所以＝＝××2×1＝，
C错误．故选AD．]
11．BD [对于A，因为A，B，D为抛物线上任意三点，且＝0，
所以F为△ABD的重心，且F，
所以x1＋x2＋x3＝，y1＋y2＋y3＝0．
又|FA|＋|FB|＋|FD|＝x1＋x2＋x3＋＝6，即p＝2，故A错误；
对于B，延长DF交AB于点E，
因为F为△ABD的重心，所以|FD|＝2|FE|，且E是AB的中点，
因为FA⊥FB，在Rt△FAB中，有|AB|＝2|FE|，所以|FD|＝|AB|，故B正确；
对于C，抛物线方程为y2＝4x，所以抛物线的准线方程为x＝－1，
所以点A，B到直线x＝－1的距离之和d1＋d2＝|FA|＋|FB|，
因为F，A，B三点不一定共线，所以|FA|＋|FB|≥|AB|，
即d1＋d2≥|AB|，故C错误；
对于D，因为＝＝4x2，
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以kAB＝＝，
同理可得kBD＝，kAD＝，
所以＋＋＝＝0，故D正确．
故选BD．]
12．x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
13． [由题意知，∠HMF＝60°，|HM|＝|MF|，所以△MHF为等边三角形，又点M的横坐标为1，所以|HF|＝|MH|＝1＋，又|HF|＝2p＝1＋，所以p＝．]
14． [由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5，得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
1 / 1专题限时集训(十九) 圆锥曲线的定义、方程及性质
一、单项选择题
1．(2024·山东济南二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，该抛物线上一点P到x＝－2的距离为4，则|PF|＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
3．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且双曲线过点，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．y2－＝1 D．x2－＝1
5．(2024·河北石家庄二模)过椭圆C：＋＝1的中心作直线l交椭圆于P，Q两点，F是C的一个焦点，则△PFQ周长的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
6．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则·的取值范围为( )
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
7．(2024·湖南常德一模)已知抛物线方程为y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的点， Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
二、多项选择题
8．已知定圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
9．(教材改编)已知曲线C：＋＝1(λ>0)，则( )
A．当λ＝3时，C是圆
B．当λ＝2时，C是椭圆且其中一个焦点为(2，0)
C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2
D．当0<λ<3时，C是焦点在y轴上的椭圆
10．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2为C的左、右焦点，P为C上一点，且PF1⊥F1F2，若PF2交C于点Q，则( )
A．△PF1Q的周长为8
B．∠F1PF2<
C．△QF1F2的面积为
D．|F1Q|＝
11．(2024·山西晋中模拟)已知抛物线C：y2＝2px( p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)为抛物线C上的任意三点(异于坐标原点O)，＝0，且|FA|＋|FB|＋|FD|＝6，则下列说法正确的有( )
A．p＝4
B．若FA⊥FB，则|FD|＝|AB|
C．设A，B到直线x＝－1的距离分别为d1，d2，则d1＋d2<|AB|
D．若直线AB，AD，BD的斜率分别为kAB，kAD，kBD，则＋＋＝0
三、填空题
12．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
13．已知点M在抛物线C：y2＝2px( p>0)上，过M作C的准线的垂线，垂足为H，F为C的焦点．若∠HMF＝60°，点M的横坐标为1，则p＝________．
14．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
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