专题限时集训(二十二) 函数的图象与性质
一、单项选择题
1．已知函数f (x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2x，x∈的值域为B，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(－∞，4] D．(－1，4]
2．(2024·四川遂宁模拟预测)下列函数满足f (log23)＝－f (log32)的是( )
A．f (x)＝1＋ln x B．f (x)＝x＋
C．f (x)＝x－ D．f (x)＝1－x
3．(2024·重庆三模)已知f (x)是定义域为R的奇函数且满足f (x)＋f (2－x)＝0，则f (20)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
4．(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
5．(2024·山东烟台一模)函数f (x)＝，则y＝f (x)的部分图象大致形状是( )
A B
C D
6．(2024·云南玉溪期中)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x－2)＝－f (x)，且函数y＝f (2x－1)为奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f (x)的一个周期是2
B．f (x)是奇函数
C．f (x)不一定是偶函数
D．f (x)的图象关于点(2 025，0)中心对称
7．定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，且f (3)＝0，则不等式(2x－1)f (x)>0的解集是( )
A． B．∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
8．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，且当x<3时，f (x)＝x，则下列结论中一定正确的是( )
A．f (10)>100 B．f (20)>1 000
C．f (10)<1 000 D．f (20)<10 000
二、多项选择题
9．(2024·山东大联考模拟)已知f (x)，g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f (x)＋g(x)＝ex，设函数G(x)＝，则G(x)( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在R上单调递减 D．在R上单调递增
10．(2024·九省联考)已知函数f (x)的定义域为R，且f ≠0，若f (x＋y)＋f (x)f (y)＝4xy，则( )
A．f ＝0
B．f ＝－2
C．函数f 是偶函数
D．函数f 是减函数
11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，则( )
A．f (0)＝0
B．f (1)＝0
C．f (x)是偶函数
D．x＝0为f (x)的极小值点
三、填空题
12．(2024·湖北武汉二模)已知函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f (1－x)的定义域为________．
13．(2024·福建龙岩一模)定义在R上的函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，且f (x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f (2x＋3)≤f (1)的解集为________．
14．(2024·重庆模拟)设a∈R，函数f (x)＝若f (x)的最小值为f (1)，则实数a的取值范围是________．
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1．B [∵f (x)＝，∴≥0，∴x(x－4)≤0且x≠0，可得A＝{x|02．C [令t＝log23，t>1，则＝log32∈(0，1)，由f (log23)＝－f (log32)可得f (t)＝－f ，
对于A，f ＝1＋ln ＝1－ln t≠－f (t)，故A错误；
对于B，f ＝＋t＝f (t)，不满足f (t)＝－f ，B错误；
对于C，f ＝－t＝－f (t)，
即f (t)＝－f ，即f (log23)＝－f (log32)，C正确；
对于D，f ＝1－≠－f (t)，
即f (log23)＝－f (log32)不成立，D错误．故选C．]
3．B [由f (x)是定义域为R的奇函数，得f (－x)＝－f (x)，且f (0)＝0，
又由f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，即f (2－x)＝－f (x)，
则有f (2－x)＝f (－x)，可得f (x＋2)＝f (x)，
即函数f (x)是周期为2的周期函数，
故f (20)＝f (0)＝0.故选B．]
4．B [对于A，f (x)＝，函数定义域为R，但f (－1)＝，f (1)＝，则f (－1)≠f (1)，故A错误；
对于B，f (x)＝，函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故B正确；
对于C，f (x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f (x)不是偶函数，故C错误；
对于D，f (x)＝，函数定义域为R，因为f (1)＝，f (－1)＝，则f (1)≠f (－1)，则f (x)不是偶函数，故D错误．
故选B．]
5．A [函数y＝f (x)的定义域为R，
f (－x)＝＝＝f (x)，
即函数y＝f (x)为偶函数，排除BD；
当x∈时，f (x)＝>0，排除C．
故选A．]
6．D [对于A，因为定义在R上的函数f (x)满足f (x－2)＝－f (x)，
所以f (x)＝－f (x＋2)，所以f (x＋2)＝－f (x＋4)，
所以f (x)＝f (x＋4)，所以f (x)的一个周期是4，所以A错误，
对于BC，因为f (x－2)＝－f (x)，
所以f (－x－2)＝－f (－x)，
因为函数y＝f (2x－1)为奇函数，所以f (2x－1)＝－f (－2x－1)，
所以f (x－1)＝－f (－x－1)，所以f (x)的图象关于点(－1，0)对称，
所以f (－x－2)＝－f (x)，所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，
对于D，因为f (x)为偶函数，f (x)的图象关于点(－1，0)对称，
所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，
因为f (x)的一个周期是4，所以f (x)的图象关于点(1＋4×506，0)对称，
即f (x)的图象关于点(2 025，0)中心对称，所以D正确．故选D．]
7．C [因为函数f (x)满足对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，所以f (x)在[0，＋∞)上单调递减，又f (x)是定义在R上的偶函数，所以f (x)在(－∞，0)上单调递增，又f (3)＝0，所以f (－3)＝f (3)＝0，作函数f (x)的草图，如图所示，
所以，当x<－3时，2x－1<0，f (x)<0，则(2x－1)f (x)>0；
当－30，
则(2x－1) f (x)<0；
当0，f (x)>0，
则(2x－1)f (x)>0；
当x>3时，2x－1>0，f (x)<0，
则(2x－1)f (x)<0；
当x＝－3或x＝3或x＝时，(2x－1) f (x)＝0．
综上，不等式(2x－1)f (x)>0的解集为(－∞，－3)．
故选C．]
8．B [因为当x<3时，f (x)＝x，
所以f (1)＝1，f (2)＝2，
又因为f (x)>f (x－1)＋f (x－2)，
则f (3)>f (2)＋f (1)＝3，
f (4)>f (3)＋f (2)>5，
f (5)>f (4)＋f (3)>8，
f (6)>f (5)＋f (4)>13，
f (7)>f (6)＋f (5)>21，
f (8)>f (7)＋f (6)>34，
f (9)>f (8)＋f (7)>55，
f (10)>f (9)＋f (8)>89，
f (11)>f (10)＋f (9)>144，
f (12)>f (11)＋f (10)>233，
f (13)>f (12)＋f (11)>377，
f (14)>f (13)＋f (12)>610，
f (15)>f (14)＋f (13)>987，
f (16)>f (15)＋f (14)>1 597>1 000，则依次下去可知f (20)>1 000，则B正确；且无法证明ACD一定正确．故选B．]
9．AD [根据题意可知f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，因为f (x)＋g(x)＝ex①，
所以f (－x)＋g(－x)＝e－x，
即f (x)－g(x)＝e－x②，联立①②，
解得f (x)＝，g(x)＝，
所以G(x)＝，定义域为R，又G(－x)＝＝－G(x)，
所以G(x)是奇函数，
又G′(x)＝＝>0，
所以G(x)在R上单调递增，故A，D正确，B，C错误．故选AD．]
10．ABD [令x＝，y＝0，则有f ＋f ×f (0)＝0，
又f ≠0，故1＋f (0)＝0，即f (0)＝－1．
令x＝，y＝－，则有f ＋f ·f ＝4××，
即f (0)＋f ＝－1，由f (0)＝－1，可得f ＝0，
又f ≠0，故f ＝0，故A正确；
令y＝－，则有f ＋f (x)f ＝4x×，
即f ＝－2x，故函数f 是奇函数，
则f ＝－2(x＋1)＝－2x－2，
即f ＝－2x－2，
即函数f 是减函数，
令x＝1，有f ＝－2×1＝－2，
故B正确，C错误，D正确．故选ABD．]
11．ABC [因为f (xy)＝y2f (x)＋x2f (y)，
对于A，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确．
对于B，令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)，
则f (1)＝0，故B正确．
对于C，令x＝y＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)＝2f (－1)，则f (－1)＝0，
令y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)＝f (x)，
又函数f (x)的定义域为R，所以f (x)为偶函数，故C正确．
对于D，不妨令f (x)＝0为常数函数，显然符合题设条件，此时f (x)无极值，故D错误．故选ABC．]
12．(－2，2] [由函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)，
令－1≤1－x<3，解得－213．[－1，0] [因为函数f (x)满足f (2＋x)＝f (2－x)，则f (x)的图象关于直线x＝2对称，
又因为f (x)在(－∞，2]上单调递减，则f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
则由f (2x＋3)≤f (1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，
即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则所求不等式的解集为[－1，0]．]
14．[1，6] [当x>1时，4x＋－3a≥2－3a＝16－3a，
当且仅当4x＝，即x＝2时等号成立，
即当x>1时，函数的最小值为16－3a，
当x≤1时，f (x)＝(x－a)2＋9－a2，
要使得函数f (x)的最小值为f (1)，
则需满足解得1≤a≤6，即实数a的取值范围是[1，6]．]
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