专题限时集训(二十五)
1．解：(1)由题意知f ′(x)＝ax＋2a－1－＝＝，且x∈(0，＋∞)，
当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f ′(x)＝0 x＝，
当0
当x>时，f ′(x)>0，f (x)在区间上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题设知f (x)≥bmin＝2对任意x∈[1，e]恒成立．
当a<1时，此时f (1)＝－1<2，不合题意，舍去．
当a≥1时，f ′(x)≥0，f (x)在[1，e]上单调递增，只需f (1)＝－1≥2 a≥．
综上，实数a的取值范围为．
2．解：(1)因为f (x)＝(x≠0)．
所以f ′(x)＝＝．
由f ′(x)>0得x>1，又函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以函数f (x)在(－∞，0)和(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)因为0当x>0时，f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (x)min＝f (1)＝ae1-a>ae0＝a，
所以方程f (x)＝a无解．
综上可知，方程f (x)＝a的根的个数为0．
3．解：(1)函数f (x)＝x(ex－ax2)的定义域为R，求导得f ′(x) ＝ (x ＋ 1)ex－3ax2，f ′(－1)＝－3a，
依题意，f ′(－1)＝0，则a＝0，f (x)＝xex，f ′(x) ＝ (1 ＋ x)ex，
当x<－1时，f ′(x)<0，当x>－1时，f ′(x)>0，
因此函数f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
所以函数f (x)在x＝－1处取得极小值f (－1)＝－，无极大值．
(2)函数f (x)＝x(ex－ax2)在(0，＋∞)上只有一个零点，等价于y＝ex－ax2在(0，＋∞)上只有一个零点，
设g(x)＝ex－ax2，则g(x)＝0在(0，＋∞)上只有一解，
即a＝在(0，＋∞)上只有一解，于是曲线y＝(x>0)与直线y＝a只有一个公共点．
令φ(x)＝(x>0)，求导得φ′(x)＝，当0＜x<2时，φ′(x)<0，当x>2时，φ′(x)>0，
因此函数φ(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
函数φ(x)在x＝2取得极小值同时也是最小值φ(2) ＝ ，
当x→0时，φ(x)→＋∞；当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，
画出φ(x)＝大致的图象，如图，
g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝φ(2) ＝ ，
所以f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝．
4．解：(1)当a＝1时，f (x)＝(x－1)ex，则f ′(x)＝xex，
当x＜0时，f ′(x)＜0，当x＞0时，f ′(x)>0，
故f (x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)(端点效应)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0，
又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex，
设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex．
若a＞，则g′(0)＝2a－1＞0，
因为g′(x)为连续函数，
故存在x0∈(0，＋∞)，使得 x∈(0，x0)，总有g′(x)＞0，
故g(x)在(0，x0)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0，
故h(x)在(0，x0)上单调递增，故h(x)＞h(0)＝0，与题设矛盾．
若0＜a≤，则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln (1+ax)－ex，
下证：对任意x＞0，总有ln (1＋x)＜x成立，
证明：设S(x)＝ln (1＋x)－x，
故S′(x)＝－1＝＜0，
故S(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故S(x)＜S(0)＝0，即ln (1＋x)＜x成立．
由上述不等式有eax＋ln (1+ax)－ex＜eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0，
故h′(x)＜0总成立，即h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝0，即f (x)＜－1．
当a≤0时，有h′(x)＝eax－ex＋axeax＜1－1＋0＝0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝0．
综上，实数a的取值范围为．
(3)证明：取a＝，则 x＞0，总有x－ex＋1＜0成立，
令t＝，则t＞1，t2＝ex，x＝2ln t，
故2t ln t＜t2－1，即2ln t＜t－对任意的t＞1恒成立．
所以对任意的n∈N*，有2ln ＜－，
整理得到ln (n＋1)－ln n＜，
故＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln (n＋1)－ln n＝ln (n＋1)，
故不等式成立．
1 / 1专题限时集训(二十五) 导数的综合应用
1．(2024·江苏常州模拟)已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－2ln x，a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)对于任意x∈[1，e]， b∈[2，＋∞)，使得f (x)≥b，求实数a的取值范围．
2．(2024·广东广州一模)已知0(1)求f (x)的单调区间；
(2)讨论方程f (x)＝a的根的个数．
3．(2024·广东汕头三模)已知函数f (x)＝x(ex－ax2)．
(1)若曲线y＝f (x)在x＝－1处的切线与y轴垂直，求y＝f (x)的极值．
(2)若f (x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a．
4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝xeax－ex．
(1)当a＝1时，讨论f (x)的单调性；
(2)当x>0时，f (x)<－1，求实数a的取值范围；
(3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln (n＋1)．
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