专题限时集训(五) 解三角形
一、单项选择题
1．(2024·浙江金华三模)已知△ABC中，A＝，a＝，b＝2，则c＝( )
A． B．
C．3 D．3
2．(2024·云南昆明三模)已知△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．
C．5 D．2
3．(2024·湖北武汉模拟)在△ABC中，已知AB＝x，BC＝2，C＝，若存在两个这样的△ABC，则x的取值范围是( )
A． B．(0，2)
C．(2，2) D．(，2)
4．(2024·河北秦皇岛三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C，b＝a，则( )
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝( )
A． B．
C． D．
6．(2024·陕西西安模拟)在100 m高的楼顶A处，测得正西方向地面上B，C两点与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°，则B，C两点之间的距离为( )
A．200 m B．240 m
C．180 m D．200 m
二、多项选择题
7．(2024·广西桂林三模)在△ABC中，sin ＝，BC＝1，AC＝5，则( )
A．cos C＝
B．AB＝
C．△ABC的面积为
D．△ABC外接圆的直径是2
8．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c－2b cos A，则( )
A．A＝2B
B．B的取值范围是
C．若b＝3，c＝4，则a＝
D．的取值范围是(，)
三、填空题
9．(2024·山东威海二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＋c＝4，cos C＝－，则sin A＝________．
10．(2024·江西景德镇二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B＝b(2＋cos A)，若△ABC的面积等于4，则△ABC的周长的最小值为________．
四、解答题
11．(2024·湖北武汉模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且c＝a2－b2．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为2，求b＋c．
12．在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，∠BAD＝∠BCD＝．
(1)求四边形ABCD面积的最大值；
(2)求对角线AC的取值范围．
1 / 1专题限时集训(五)
1．D [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即13＝4＋c2－2c，解得c＝3(c＝－舍去)．
故选D．]
2．B [由余弦定理得，cos B＝＝＝，因为B为三角形内角，则sin B＝＝，所以S△ABC＝AB·BC·sin B＝×3×4×＝．
故选B．]
3．C [由正弦定理＝，可得sin A＝＝，
由题意可知，关于A的方程sin A＝在A∈有两解，在同一平面直角坐标系内分别作出曲线y＝sin A，A∈和水平直线y＝，
因为它们有两个不同的交点，所以<<1，所以2
4．A [由b＝a，可得sin B＝sin A，
则sin 2C＝sin (π－3C)＝sin 3C＝sin (2C＋C)，
即sin 2C＝sin 2C cos C＋cos 2C sin C，
即2cos C＝2cos2C＋(2cos2C－1)，
即4cos2C－2cos C－＝0，
由B＝2C>C，故C只能为锐角，可得cos C＝(舍负)，
因为05．A [由余弦定理可得，b2＋c2－a2＝2bc cos A，A∈(0，π)，
由条件可得，
S＝bc sin A＝＝bc cos A，
所以tan A＝，则A＝．故选A．]
6．D [由题意，BC＝－＝100×＝100×．
而tan 15°tan 75°＝·＝·＝1，
所以BC＝100×2＝200 m．故选D．]
7．ABD [对于A，cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；
对于B，由A选项知cos C＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C＝1＋25－2×1×5×＝21，故AB＝，故B正确；
对于C，在△ABC中，C∈(0，π)，故sin C>0，
所以sin C＝＝＝，
所以S△ABC＝BC·AC sin C＝×1×5×＝，故C错误；
对于D，设△ABC外接圆半径为R，
则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确．
故选ABD．]
8．ACD [对于A，由正弦定理及b＝c－2b cos A得sin B＝sin C－2sin B cos A．
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin (A＋B)，
所以sin C＝sin A cos B＋sin B cos A，
所以sin B＝sin (A－B)．
所以B＋A－B＝π(舍)或B＝A－B，即A＝2B，故A正确；
对于B，因为△ABC为锐角三角形，
所以
所以解得＜B＜，故B错误；
对于C，因为A＝2B，＝，
所以＝，所以cos B＝．
因为b＝3，c＝4，cos B＝，所以＝，即＝，即a2＝21，解得a＝(a＝－舍去)，故C正确；
对于D，由正弦定理，得＝＝＝＝2cos B．
因为＜B＜，所以＜cos B＜，所以＜2cos B＜，即的取值范围是(，)．
故D正确．故选ACD．]
9． [在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以c2－b2＝6－2b×，
所以(c－b)(c＋b)＝6＋2b，
因为c＋b＝4，所以4(c－b)＝6＋2b，
所以4c－6b＝6，解得b＝1，c＝3，
由cos C＝－，可得sin C＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
所以sin A＝＝＝．]
10．4＋8 [由正弦定理及a sin B＝b(2＋cos A)，可得sin A sin B＝sin B(2＋cos A)，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin A－cos A＝2sin ＝2，即sin ＝1，
因为－则S△ABC＝bc sin A＝bc＝4，解得bc＝16，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋16，
三角形的周长a＋b＋c＝＋b＋c≥＋2＝4＋8，当且仅当b＝c＝4时等号成立，
综上所述，当且仅当△ABC是以A＝为顶角的等腰三角形时，△ABC的周长取到最小值，且最小值为4＋8．]
11．解：(1)在△ABC中，由余弦定理的推论得，
cos B＝，
代入c＝a2－b2，
则c＝a2－b2，
即a2＋c2－b2－2bc sin A＝2a2－2b2，
即sin A＝＝cos A，
因为A∈(0，π)，且A＝时上式不成立，
所以cos A≠0，所以tan A＝1，则A＝．
(2)因为△ABC的面积为2，
所以bc sin A＝2，即bc＝4，
又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，a＝2，A＝，所以b2＋c2＝12，
则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12＋8，则b＋c＝2＋2．
12．解：(1)因为AD＝BD＝1，∠BAD＝，所以△ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．
在△BCD中，由余弦定理得，
BD2＝a2＋b2－2ab cos ∠BCD，
所以12＝a2＋b2－2ab cos ，
所以a2＋b2－ab＝1，
因为a2＋b2≥2ab，所以ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以四边形ABCD的面积S＝AB2＋ab·sin ＝＋ab≤，即四边形ABCD面积的最大值为．
(2)设∠BDC＝θ∈，
在△BCD中，由正弦定理得，
＝，所以a＝，
在△ABC中，由余弦定理得，
AC2＝AB2＋a2－2a·AB cos ＝12＋a2－2a·cos (π－θ)＝sin2θ＋·sin θcos θ＋1＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ＋1＝sin ＋，
因为θ∈，所以2θ－∈，所以AC∈(1，]，所以AC的取值范围为(1，]．
1 / 1