专题限时集训(六) 解三角形中的高线、中线、角平分线问题
一、单项选择题
1．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝( )
A． B．
C． D．
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为( )
A．49 B．7
C． D．
3．(教材改编)在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝( )
A．2 B．4
C．2 D．6
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为( )
A． B．
C． D．3
5．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝( )
A．2 B．
C．3 D．2
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为( )
A．3 B．
C． D．2
二、多项选择题
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若BC边上的中线AD＝3，则下列结论正确的有( )
A．A＝ B．A＝
C．＝6 D．△ABC的面积为3
8．(2024·山东淄博模拟)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，下列结论正确的是( )
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．若B＝，a＝2，且△ABC有两解，则b的取值范围是
D．若∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，则4a＋c的最小值为9
三、填空题
9．在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则BC边上的中线AD的取值范围是________．
10．在△ABC中，AB>AC，BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6，则sin B＝________，∠BAC的平分线AM的长等于________．
四、解答题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2b cos B，C＝．
(1)求B；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；③△ABC的面积为．
12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin ＝c sin B．
(1)求C；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值．
1 / 1专题限时集训(六)
1．B [如图，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝，所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA，
则AD＝CA，AB＝＝AC，
所以∠ABC＝∠C＝，
则在△ABC中，sin B＝sin ＝．
故选B．]
2．D [因为S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝，故可得b＝5．
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝19，
故c＝，不妨取AB的中点为M，故＝，
故＝
＝＝．
即AB边上的中线长为．
故选D．]
3．A [如图，在△AMC中，cos ∠AMC＝，
在△BCM中，cos ∠BMC＝，
∵∠AMC＋∠BMC＝π，
∴cos ∠AMC＝－cos ∠BMC，
又∵AM＝BM，
∴＝－，
整理可得AC2＋BC2＝2(CM2＋AM2)，
即4＋BC2＝2(7＋AM2)，
∴2AM2＝AB2＝BC2－10，
∴2BC2－20＝AB2．
在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝4＋BC2－2BC，
∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20，
解得BC＝－6(舍)或BC＝4，
∴AB＝＝2．
故选A．]
4．D [因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得9＝a2＋27－2×a×3×，
整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，
所以a＝6，S△ABC＝ac sin B＝，
所以AC边上的高线的长为＝3．
故选D．]
5．B [因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°，
即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝AD＝，可得2×AC＝2×＋×AC，则×AC＝4，解得AC＝．
故选B．]
6．C [如图，在△ABC中，由A，C，B成等差数列，角C的平分线交AB于点D，则C＝，
所以∠ACD＝∠BCD＝，
由CD＝，a＝3b，所以＝＝，
在△ACD和△BCD中，由余弦定理得
AD2＝b2＋3－2b·cos 30°＝b2－3b＋3，
DB2＝(3b)2＋3－2·3b·cos 30°＝9b2－9b＋3，
故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，
解得b＝，故a＝4．
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即c2＝16＋－2×4××＝，故c＝．]
7．ACD [由(2b－c)cos A＝a cos C，
得2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C，
得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A
＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
因此2cos A＝1，得cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B不正确；
因为AD是BC边上的中线，所以由＝，
得4，
得36＝c2＋12＋2×2×c，
得c＝2或c＝－4(舍去)，
因此＝2×2×＝6，C正确；
S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确．故选ACD．]
8．BCD [选项A，因为a cos A＝b cos B，
即＝，所以a2，
整理可得(a2－b2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，所以>A>－B>0，
由正弦函数y＝sin x在上单调递增，
则sin A>sin ＝cos B，故B正确；
选项C，如图，若△ABC有两解，则a sin B
选项D，由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，BD＝1，得ac sin 120°＝a sin 60°＋c sin 60°，
即ac＝a＋c，得＋＝1，得4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a＝3时，取等号，故D正确．
故选BCD．]
9．[2，) [设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，
因为sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理
得b＋c＝2a＝8，
所以c＝8－b，
因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
可得
则 解得3由bc＝b(8－b)＝－b2＋8b＝－(b－4)2＋16，
得15由＝，
所以
＝
＝
＝
＝，
结合bc的范围，
代入得|的取值范围为[，)．]
10． [∵BC＝2，A＝60°，△ABC的面积等于6＝AB·AC·sin A＝AB·
∴AB·AC＝24，①
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
可得28＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC＝(AB＋AC)2－3×24，
∴AB＋AC＝10，②
∴由①②联立解得 (由于AB>AC，舍去)或
∴cos B＝＝＝，可得sin B＝＝．
∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC＝30°，
∴S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
即S△ABC＝AB·AM sin∠BAM＋AC·AM sin ∠CAM，
即6＝×6×AM×＋×4×AM×，解得AM＝．]
11．解：(1)依题意c＝2b cos B，C＝，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin 2B＝，由于0(2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①．
如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．
若选②，由(1)知A＝，
设BC＝AC＝2x，由C＝，
得cos ＝，
则AB＝2x，
故周长为x＝4＋2，解得x＝1．
从而BC＝AC＝2，AB＝2．
则在△ABD中，
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，
解得AD＝．因此BC边上的中线长为．
若选③，由(1)知A＝B＝，因为S△ABC＝，
得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×××＝，
∴AD＝．因此BC边上的中线长为．
12．解：(1)由已知A＋B＋C＝π，所以b sin ＝b sin ＝b cos ，
所以b cos ＝c sin B，由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B，
因为B，C∈(0，π)，则sin B≠0，0<<，cos ≠0，
所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ，所以sin ＝，所以＝，则C＝．
(2)由S△ABC＝c·2＝ab sin C，得ab＝4c，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c，因为c>0，则c≥4，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，
此时△ABC面积的最小值为4．
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