专题限时集训(七)
1．A [设数列{an}的公比为q，由＝a1a5，得＝，所以q2＝，
又因为各项均为正数，所以q＝，
由3a1＋9a2＝2，得3a1＋9a1q＝2，所以a1＝，故an＝．故选A．]
2．C [在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，所以S4＝1，S8－S4＝3，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16构成公差为2的等差数列，所以S20－S16＝1＋(5－1)×2＝9，
即a17＋a18＋a19＋a20＝9.故选C．]
3．C [∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴2(a2＋6)＝a1＋a3，又a1＋a2＝12，∴2(12－a1＋6)＝a1＋a3，整理可得3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36，∴＝＝＝，解得q＝0(舍去)或q＝3．
故选C．]
4．C [因为Sn，Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和，
S12＝，T12＝，
又＝，
所以＝＝＝＝．故选C．]
5．A [由两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，是公差为12的等差数列，故新数列的前17项的和为×17＝1 666，即数列{an}的各项之和为1 666.故选A．]
6．D [不妨设x10，x1·x2＝c>0，故x1>0，x2>0，所以调整顺序后－1，x1，x2或x2，x1，－1成等差数列，x1，－1，x2或x2，－1，x1成等比数列，所以2x1＝x2－1且x2·x1＝1，所以x1＝，x2＝2，所以b＝x1＋x2＝，c＝x1x2＝1，故b＋c＝．故选D．]
7．BC [等差数列{an}中，S7＝＝7a4＝42，解得a4＝6，而a2＝4，
因此公差d＝＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2．
对于A项，a5＝7，A错误；
对于B项，Sn＝＝n2＋n，B正确；
对于C项，＝1＋，为递减数列，C正确；
对于D项，＝＝－，所以的前5项和为－＋－＋…＋－＝－＝，D错误．
故选BC．]
8．ABC [设等比数列{an}的公比为q．
当q＝1时，Sn＝na1，显然不是Sn＝a·bn＋c的形式，所以D错误；当q≠1时，Sn＝＝－·qn，所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝－<0，所以ABC正确．故选ABC．]
9．15 [由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为{an}，则an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
乙每分钟走的路程为5 m，因为第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走了210 m，时间设为t分钟，则＋5t＝210，所以t＝15(负值舍去)．]
10．81 lg 3 [设等比数列{an}的公比为q.因为数列{an}是递增的等比数列，即q＞0，an＜an＋1，
由解得或(舍去)，
则解得或(舍去)，
所以＝＝81，lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q＝lg 3．]
11．解：(1)由数列{an}的前n项和Sn＝2n2－17n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－17n)－[2(n－1)2－17(n－1)]＝4n－19．
当n＝1时，a1＝2－17＝－15，满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－19，n∈N*．
由an＝4n－19≥0，得n≥，
所以n＝1，2，3，4时，an<0，n≥5时，an>0，
所以Sn的最小值为S4＝＝－36．
(2)由(1)知，当n≤4时，bn＝|an|＝－an；
当n≥5时，bn＝|an|＝an，Sn＝2n2－17n，
当n≤4时，Tn＝－Sn＝17n－2n2.
当n≥5时，Tn＝－＋a5＋a6＋…＋an＝Sn－2S4＝2n2－17n＋72，
所以Tn＝
12．解：(1)证明：由已知条件可知，cos an>0，
故an＋1∈，tan2an＋1＝
＝＝1＋tan2an，
则tan2an＋1－tan2an＝1，
故数列{tan2an}是以1为公差的等差数列，且首项为tan2a1＝tan2＝，
故tan2an＝＋n－1＝，即tan an＝．
(2)sin a1·sin a2·…·sin am＝tan a1cos a1·tan a2cos a2·…·tan am cos am
＝··…·＝＝，
由＝，得m＝3 333．
1 / 1专题限时集训(七) 等差数列、等比数列
一、单项选择题
1．(2024·山东泰安模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且3a1＋9a2＝＝a1a5，则( )
A．an＝ B．an＝3n
C．an＝ D．an＝3n-1
2．(2024·广东深圳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
3．(2024·河南南阳三模)已知等比数列{an}的公比为q，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则q＝( )
A． B．－
C．3 D．－3
4．(2024·天津南开模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝( )
A． B．
C． D．
5．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为( )
A．1 666 B．1 654
C．1 472 D．1 460
6．(2024·四川南充模拟)已知函数f (x)＝x2－bx＋c(b>0，c>0)的两个零点分别为x1，x2，若x1，x2，－1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则b＋c＝( )
A．1 B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·山东泰安二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是( )
A．a5＝4
B．Sn＝n2＋n
C．为递减数列
D．的前5项和为
8．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则( )
A．a＋c＝0
B．b是数列{an}的公比
C．ac<0
D．{an}可能为常数列
三、填空题
9．甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过________分钟．
10．(2024·山西太原模拟)已知数列{an}是递增的等比数列，且a2＋a4＝30，a3＝9，则＝________，数列{lg an}的公差为________．
四、解答题
11．(2024·辽宁本溪模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－17n．
(1)求{an}的通项公式，并求Sn的最小值；
(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．
12．(2024·江西上饶模拟)数列{an}满足a1＝，an∈，tan an＋1＝，n∈N*．
(1)证明：数列{tan2an}为等差数列，并求数列{tan an}的通项公式；
(2)求正整数m，使得sin a1·sin a2·…·sin am＝．
1 / 1
