专题限时集训(八) 数列的通项公式
一、单项选择题
1．(2024·湖南长沙模拟)已知数列{an}中，a1＝1且an＋1＝，则a10＝( )
A． B．
C．－ D．
2．(2024·安徽阜阳模拟)已知正项数列{an}满足an＋1＝an，则＝( )
A． B．
C． D．
3．若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则( )
A．bn＝2×3n B．bn＝2×3n-1
C．bn＝2×3n＋1 D．bn＝2×3n-1＋1
4．(2024·河北唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．在数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n(2n－1)an，则数列{an}的通项公式为an＝ ( )
A． B．
C．2－ D．2－
6．(2024·福建莆田三模)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足f (x＋1)＝2f (x)＋1，且f (1)＝1，则f (100)＝( )
A．2100－1 B．2100＋1
C．2101－1 D．2101＋1
二、多项选择题
7．(2024·湖北黄冈二模)已知数列{an}满足：a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，Sn－1＝3an(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A．a2＝ B．{an}是等比数列
C．an＋1＝an，n≥2 D．Sn－1＝，n≥2
8．已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an＝nan＋1，则( )
A．为等差数列
B．{an}为递增数列
C．{an}的前n项和Sn＝2n+2(n－1)＋4
D．的前n项和Tn＝
三、填空题
9．(2024·山东烟台模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，2an＋1－3an＝2n，则＝________．
10．(2024·北京西城一模)在数列{an}中，a1＝2，a2＝－3.数列{bn}满足bn＝an＋1－an.若{bn}是公差为1的等差数列，则{bn}的通项公式为bn＝________，an的最小值为________．
四、解答题
11．(2024·云南昆明模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，an＋2＝2an＋1－an＋2．
(1)证明：{an＋1－an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋，若数列{bn}是递增数列，求实数k的取值范围．
12．(2024·广东深圳一模)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝4，S4＝20，且为等差数列．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若数列{bn}满足b1＝6，且＝，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合M＝{Tn|Tn∈N*}，求M(用列举法表示)．
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1．D [由an＋1＝，可得＝＋，
即－＝，所以是以＝1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋×9＝，所以a10＝．故选D．]
2．B [依题意，＝·，则数列是以为公比的等比数列，因此＝·，所以＝．故选B．]
3．B [∵“梦想数列”{an}满足an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，∴由正项数列{bn－1}为“梦想数列”，可得bn＋1－1＋1＝3(bn－1＋1)，即bn＋1＝3bn，∵b1＝2，∴bn＝2×3n-1.故选B．]
4．D [由题意可得an＋1－an＝a1＋2n，
则可得a2－a1＝a1＋2，
a3－a2＝a1＋4，
…
a10－a9＝a1＋18，
将以上等式左右两边分别相加，得
a10－a1＝9a1＋＝9a1＋90，即a10＝10a1＋90，
又a10＝130，所以a1＝4.故选D．]
5．A [由于数列{an}中，a1＝，前n项和Sn＝n·(2n－1)an，
∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)(2n－3)an－1，
两式相减可得，an＝n(2n－1)an－(n－1)(2n－3)an－1，
∴(2n＋1)an＝(2n－3)an－1，所以＝，
因此an＝a1××××…×＝×××…××＝．
当n＝1时也满足上式，故选A．]
6．A [设在数列{an}中，an＝f (n)，则a1＝f (1)＝1，an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，
故{an＋1}是首项和公比都是2的等比数列．
由等比数列的通项公式可得an＋1＝2n，则an＝2n－1，
故f (100)＝a100＝2100－1.故选A．]
7．AC [由Sn－1＝3an(n≥2)，
当n＝2时，S1＝a1＝3a2＝1，解得a2＝，故A正确；
由已知可得Sn＝3an＋1，
所以Sn－Sn－1＝3an＋1－3an(n≥2)，
所以an＝3an＋1－3an(n≥2)，
即an＋1＝an(n≥2)，而a2＝a1，故C正确，B不正确；
因为Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝1＋＝，n≥2，故D错误．故选AC．]
8．BCD [由2(n＋1)an＝nan＋1，得＝2×，
所以是以＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
因为＝4×2n-1＝2n+1，
所以an＝n·2n+1，显然递增，故B正确；
因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n+1，
2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n+2，
所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n+1－n·2n+2＝－n·2n+2，
故Sn＝2n+2(n－1)＋4，故C正确；
因为＝＝n，
所以的前n项和Tn＝＝，故D正确．故选BCD．]
9． [由2an＋1－3an＝2n，得＝×＋1，
则－4＝，
又－4＝0，则＝4，则an＝2n，
故a8＝28，S8＝＝29－2，所以 ＝＝．]
10．n－6 －13 [由题意b1＝a2－a1＝－5，又等差数列{bn}的公差为1，所以bn＝－5＋(n－1)·1＝n－6，故an＋1－an＝n－6，所以当n≤6时，an＋1－an≤0，当n>6时，an＋1－an>0，
所以a1>a2>a3>a4>a5>a6＝a7
又an＋1－an＝n－6，所以a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝2＋(－5)＋(－4)＋(－3)＋(－2)＋(－1)＝－13，即an的最小值是－13．]
11．解：(1)证明：因为an＋2＝2an＋1－an＋2，所以an＋2－an＋1－(an＋1－an)＝2an＋1－an＋2－2an＋1＋an＝2为常数，
又a2－a1＝3，所以数列{an＋1－an}是公差为2，首项为3的等差数列．
所以an＋1－an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1．
当n≥2时，(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝2(n－1)＋1＋2(n－2)＋…＋2×1＋1，
所以an－a1＝n2－1，因为a1＝1，所以an＝n2．
又a1＝1满足an＝n2，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2．
(2)由(1)知bn＝n2＋，因为数列{bn}是递增数列，
所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋－＝(2n＋1)>0对n∈N*恒成立，
得到k<(n＋1)2n2对n∈N*恒成立，所以k<4．
所以实数k的取值范围是(－∞，4)．
12．解：(1)证明：设等差数列的公差为d，则＝＋3d，即S1＋3d＝5，①
因为S2＝a1＋a2＝S1＋4，所以由＝＋d，
得S1＋2d＝4.②
由①②解得S1＝2，d＝1，所以＝n＋1，
即Sn＝n(n＋1)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝2，符合上式，
所以an＝2n(n∈N*)，
因为当n≥2时，an－an－1＝2，
所以数列{an}是等差数列．
(2)由(1)可知＝＝＝，
当n≥2时，bn＝··…··b1＝××…××6＝，
因为b1＝6满足上式，所以bn＝＝12．
所以Tn＝12＝12×＝12－，
因为当∈N*时，n＝1，2，3，5，11，
所以M＝{6，8，9，10，11}．
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