【高考快车道】第一阶段 专题五 §2 随机变量及其分布 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略（基础版）

(共77张PPT)
第一阶段　突破核心　升华思维
专题五　概率与统计
§2　随机变量及其分布
【备考指南】　随机变量及其分布考查比较灵活，背景新颖，有较强的时效性．备考中要理解超几何分布、二项分布、正态分布的模型特点，强化概率模型的构建．
　基础考点1　超几何分布、二项分布、正态分布
（一）
　基础考点2　均值、方差在决策中的应用
（二）
　能力考点　超几何分布、二项分布、正态分布中的最值问题
（三）
　专题限时集训(十六)　随机变量及其分布
（四）
基础考点1　超几何分布、二项分布、正态分布
【典例1】　(1)(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2　B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 　D．P(Y>2)<0.8
√
√
(2)(2024·河南名校联考)在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球．小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量X为小张摸出白球的个数．
①若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E(X)和D(X)；
②若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求X的分布列．
(1)BC　[依题可知，＝2.1，s2＝0.01，
所以Y～N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；
因为X～N(1.8，0.12)，
所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)．
因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，
而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．]
(2)[解]　①因为小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量X～B(4，0.8)，所以E(X)＝4×0.8＝3.2，D(X)＝4×0.8×(1－0.8)＝0.64．
②因为小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，所以随机变量X服从超几何分布，
则P(X＝k)＝，k＝2，3，4，
可得P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
三种分布间的联系
二项分布是有放回随机试验模型，超几何分布是无放回随机试验模型，当样本数量无限大时，超几何分布可转化为二项分布，二项分布的极限是正态分布．
(2024·湖南岳阳三模)某地区举行专业技能考试，共有8 000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态
分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计
值，σ＝11.5，试利用正态分布估计所有考
生中初试成绩不低于85分的人数；
(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)由题意得，样本平均数的估计值为
(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)×10＝62，
因为所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ＝11.5，则μ＋2σ＝85，所以P(X≥85)＝P(X≥μ＋2σ)≈＝0.022 75，
所以估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数为0.022 75×8 000＝182．
(2)记该考生的复试成绩为Y，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分，
P(Y＝20)＝＋×××＝，
P(Y＝25)＝×××＝＝，
P(Y＝30)＝＝，
所以该考生进入面试的概率为P(Y＝20)＋P(Y＝25)＋P(Y＝30)＝＋＋＝．
【教师备选资源】
1．(多选)(2024·辽宁鞍山模拟)甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是(　　)
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1个球放入乙盒中，再从乙盒中取出1个球，记B：从乙盒中取出的1个球为白球，则P(B)＝
√
√
√
BCD　[A选项，由题意得P(X＝1)＝＝，故A错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为P＝＝＝，故B正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为Y，则Y～B，则恰好得到2个白球的概率为P(Y＝2)＝×＝，故C正确；
D选项，从甲盒中取出1个白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1个球为白球，此时概率为×＝×＝，从甲盒中取出1个黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1个球为白球，此时概率为×＝，故P(B)＝＋＝，故D正确．故选BCD．]
2．(多选)为调查中学男生的肺功能情况，对两学校各1 000名男生的肺活量数据(单位：mL)进行分析，随机变量X表示甲校男生的肺活量，且X～N(3 000，2002)，随机变量Y表示乙校男生的肺活量，且Y～N(3 200，3002)，则下列说法中正确的有(　　)
A．甲校男生肺活量数据的均值低于乙校
B．乙校男生肺活量数据的波动幅度大于甲校
C．估计甲、乙两校男生肺活量在3 000 mL～3 200 mL的人数占比相同
D．估计甲校男生肺活量低于2 800 mL的人数比乙校男生肺活量低于2 800 mL的人数多
√
√
√
ABD　[由题设，甲校男生肺活量均值为3 000，标准差为200，乙校男生肺活量均值为3 200，标准差为300，所以甲校男生肺活量数据的均值、波动幅度都低于乙校，A，B正确；
甲校男生肺活量在3 000 mL～3 200 mL的概率为P(μ≤X≤μ＋σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)，而乙校对应概率小于P(μ－σ≤Y≤μ)，故男生肺活量在3 000 mL～3 200 mL的人数占比不同，C错误；
甲校男生肺活量低于2 800 mL的概率为P(X＜μ－σ)，而乙校对应概率小于P(Y＜μ－σ)，故估计甲校男生肺活量低于2 800 mL的人数比乙校男生肺活量低于2 800 mL的人数多，D正确．]
基础考点2　均值、方差在决策中的应用
【典例2】　(2024·北京高考改编)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．
[解]　(1)法一(正面计算)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以P(A)＝＝＝．
法二(反面计算)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，
则P(A)＝1－＝．
(2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，
则P(X＝0.4)＝＝0.8，
P(X＝－0.4)＝＝0.1，
P(X＝－1.2)＝＝0.06，
P(X＝－2.0)＝＝0.03，
P(X＝－2.6)＝＝0.01，
故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122．
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则
对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2．
所以E(X)解决分布列、期望、方差问题的三关
(1)判断关：依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型．
(2)概率关：依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机变量取值的概率．
(3)决策关：借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作出合理决策．
(2024·湖南邵阳模拟)某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
(2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
[解]　(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，
则ξ的所有可能取值为1，2，3．
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2．
ξ 1 2 3
P
(2)设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知η～B，
所以P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝．
所以η的分布列为
E(η)＝3×＝2．
η 0 1 2 3
P
则E(ξ)＝E(η)＝2，D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
D(η)＝3××＝，P(ξ≥2)＝＋＝，P(η≥2)＝＋＝，
所以D(ξ)P(η≥2)．
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．
因此甲的实验操作能力较强．
【教师备选资源】
1．某科研机构为研究甲、乙两种中药对某种疾病的治疗效果，医护人员对该症确诊患者进行积极救治．现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药．服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，．
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P(CD)；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药效越好，请问甲、乙两种中药哪种药效更好？
[解]　(1)依题意有，P(C)＝××＝，P(D)＝××＋××＝．
又事件C与D相互独立，
则P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝．
(2)设A组中服用甲种中药康复的人数为X1，则X1～B，
所以E(X1)＝3×＝，
设A组的积分为X2，则X2＝2X1，所以E(X2)＝2E(X1)＝．
设B组中服用乙种中药康复的人数为Y1，则Y1的可能取值为0，1，2，3，P(Y1＝0)＝××＝，
P(Y1＝1)＝××＋××＝＝，
P(Y1＝2)＝×××＋××＝，
P(Y1＝3)＝××＝，
故Y1的分布列为
Y1 0 1 2 3
P
所以E(Y1)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，
设B组的积分为Y2，则Y2＝2Y1，
所以E(Y2)＝E(2Y1)＝2E(Y1)＝．
因为>，所以甲种中药药效更好．
2．(2018·全国Ⅰ卷改编)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f ( p)，求f ( p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？
[解]　(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f ( p)＝p2(1－p)18．
因此f ′( p)＝[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝p(1－p)17(1－10p)．
令f ′( p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f ′( p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f ′( p)＜0．
所以f ( p)的最大值点为p0＝0.1．
(2)由(1)知，p＝0.1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②如果对余下的产品做检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．
由于E(X)＞400，故应该对余下的产品做检验．
【典例3】　(1)已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．
(2)(2023·四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
①若N＝5 000，求X的数学期望；
②已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值(使得P(X＝15)最大的N的值作为N的估计值)．
能力考点　超几何分布、二项分布、正态分布中的最值问题
24
(1)24　[由题意知，P(X＝k) ＝·0.26-k·0.8k，要使P(X＝k)最大，
有
化简得解得≤k≤，故k＝5．
又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，
故D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24．]
(2)[解]　①依题意X服从超几何分布，且
N＝5 000，M＝200，n＝500，
故E(X)＝n×＝500×＝20．
②当N＜685时，P(X＝15)＝0，
当N≥685时，P(X＝15)＝，
记a(N)＝，则
＝
＝
＝
＝．
由N2－698N＋499×199＞N2－683N－684，
当且仅当N＜≈6 665.7，
则可知当685≤N≤6 665时，a(N＋1)＞a(N)；
当N≥6 666时，a(N＋1)＜a(N)，
故N＝6 666时，a(N)最大，所以N的估计值为6 666．
1．二项分布的概率最值
如果X～B(n，p)，P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，
则
(n＋1)p－1≤k≤(n＋1)p．
①若(n＋1)p是正整数，那么(n＋1)p－1也是正整数，此时k＝(n＋1)p－1，且P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，即当k取(n＋1)p或(n＋1)p－1时，P(X＝k)取得最大值．
②若(n＋1)p不是正整数，那么不等式取不到等号，即P(X＝k＋1)≠P(X＝k)，记小于(n＋1)p的最大整数为[(n＋1)p]，则当k＝[(n＋1)p]时，P(X＝k)取得最大值．
2．超几何分布的概率最值
将从含有次品数为a的N件产品中取出n件产品的全部可能组合作为样本点，总数为，其中，次品出现k次的可能为．
则所求概率为hk(N)＝．
注意：当N＝时，hk(N)取到最大值．
(2024·云南昆明一模)聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X，事件X＝k(k＝0，1，…，8)的概率为P(X＝k)，求当P(X＝k)最大时k的值．
[解]　(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“一次应答被采纳”为事件B，由题意P()＝0.1，P(B)＝0.8，P＝0.3，则P(A)＝1－P()＝0.9，P(B)＝P(AB)＋P()P＝0.9×0.8＋0.1×0.3＝0.75．
(2)依题意，X～B，P(X＝k)＝，
当P(X＝k)最大时，有
即
解得≤k≤，k∈N，
故当P(X＝k)最大时，k＝6．
一、单项选择题
1．(2024·浙江温州一模)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
专题限时集训(十六)　随机变量及其分布
则D(X)＝(　　)
A．0.4＋a 　B．0.8＋a 　C．0.4 　D．0.8
X a a＋1 a＋2
P 0.4 0.2 0.4
D　[由分布列可得
E(X)＝0.4a＋0.2(a＋1)＋0.4(a＋2)＝a＋1，
D(X)＝0.4(a－a－1)2＋0.2(a＋1－a－1)2＋0.4(a＋2－a－1)2＝0.8.故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(2024·山东济宁三模)若随机变量X～N(3，22)，随机变量Y＝(X－3)，则＝(　　)
A．0 　B． 　C． 　D．2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由X～N(3，22)可知，E(X)＝3，D(X)＝4，
又因为Y＝(X－3)，所以E(Y)＝E＝E(X)－＝－＝0，
D(Y)＝D＝D(X)＝1，则＝＝．故选B．]
3．(教材改编)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意知X＝0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．故选A．]
4．1个口袋中有6个球(除颜色外其他属性都相同)，其中3个黑球，2个红球，1个白球，ξ表示有放回地摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目；η表示不放回地摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是(　　)
A．E(ξ)E(η)
C．E(ξ)＝E(η) 　 D．无法判断
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，
则ξ～B，则E(ξ)＝3×＝1；
η的可能取值为0，1，2，3，η服从超几何分布，
则E(η)＝3×＝，则E(ξ)题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·辽宁大连模拟)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)，已知X，Y的分布列如下表所示，其中0＜p＜1，则Cov(X，Y)的值为(　　)
A．0 　
B．1 　
C．2 　
D．4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
X 1 2
P p 1－p
Y 1 2
P 1－p p
A　[XY的分布列为
E(XY)＝1×p(1－p)＋2×[p2＋(1－p)2]＋4×p(1－p)＝－p2＋p＋2，E(X)＝2－p，E(Y)＝p＋1，
所以Cov(X，Y)＝－p2＋p＋2－(2－p)(1＋p)＝0.故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
XY 1 2 4
P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p)
6．(教材改编)如图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右下落，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5.用X表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是(　　)
A．P(X＝0)＝ 　 B．P(X＝5)＝
C．E(X)＝ 　 D．D(X)＝
√
题号
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B　[设A＝“向右下落”，＝“向左下落”，则P(A)＝P()＝，
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以X～B，
对于A，P(X＝0)＝＝，故A正确；
对于B，P(X＝5)＝＝，故B错误；
对于C，E(X)＝5×＝，故C正确；
对于D，D(X)＝5××＝，故D正确．故选B．]
题号
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二、多项选择题
7．(2024·重庆模拟)已知某地区十二月份的昼夜温差X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是(　　)
A．E(X)＝8
B．若P(79)＝
C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为
D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数ξ的期望为
√
题号
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√
√
ABD　[对于A，因为X～N(μ，σ2)，P(X>8)＝，所以E(X)＝μ＝8，故A正确；
对于B，因为P(79)＝＝，故B正确；
对于C，P＝1－＝1－＝，故C错误；
对于D，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝2，
所以E(ξ)＝＝＝，故D正确．故选ABD．]
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8．(2024·山东聊城三模)某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y～N(4，1)，则(　　)
A．D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)　
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
√
题号
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√
CD　[由题意X～B(5，0.8)，则E(X)＝5×0.8＝4，D(X)＝5×0.8×0.2＝0.8，所以D(2X＋1)＝4×0.8＝3.2，故选项A错误；
由X～B(5，0.8)，则P(X＝k)＝·0.8k·0.25-k，
设当X＝k(k≥1)时概率最大，
则有
即
题号
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解得3.8≤k≤4.8，由k∈Z，所以当X＝4时概率最大，
则P(X＝0)即P(X＝k)随k的增大先增大后减小，故D选项正确；
又Y～N(4，1)，则E(Y)＝4，D(Y)＝1，
所以E(X)＝E(Y)，D(X)P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝·0.85·0.25-5＝0.672 32，
又P(Y≥4)＝0.5，所以P(X≤4)>P(Y≥4)，故选项C正确．故选CD．]
题号
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三、填空题
9．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P≈0.954 5)
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　[设质量指标为X，依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|≤2σ的解集是[99，101]的子集，由|X－100|≤2σ可得100－2σ≤X≤100＋2σ，所以
解得σ≤，故σ至多为．]
题号
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10．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为5∶7∶8，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为________．
题号
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4.85　[记事件B：选取的产品为次品，
记事件A1：此件次品来自甲生产线，
记事件A2：此件次品来自乙生产线，
记事件A3：此件次品来自丙生产线，
4.85　
由题意可得：
P(A1)＝＝0.25，P(A2)＝＝0.35，P(A3)＝＝0.4，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.04，
由全概率公式可得
P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5，
从这三条生产线中任意选取1件产品为次品的概率为0.048 5，任意选取100件产品，设次品数为X，则X～B(100，0.048 5)，
即E(X)＝100×0.048 5＝4.85．]
题号
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四、解答题
11．(2024·重庆模拟)已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性的即为未患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性，则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验．
若随机变量ξ1，ξ2分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数．
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(1)求ξ1，ξ2能取到的最大值和其对应的概率；
(2)为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由．
题号
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[解]　(1)用方案甲，最多检测4次，即前3次检测均未检测出患病，则第四次检测出患病或第四次没检测出患病都将知道哪一只是患病的，所以ξ1的最大值为4，即P(ξ1＝4)＝＝．
用方案乙，最多检测3次，即混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测时，第一次未验中，无论第二次是否验中，均可得出结果，若混检时，没检测出阳性，则剩下2只只需要检测一次就知道结果，所以ξ2的最大值为3，即P(ξ2＝3)＝＝．
题号
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(2)方案甲：检测所需要的次数ξ1的可能取值是1，2，3，4．
P(ξ1＝1)＝，P(ξ1＝2)＝＝，P(ξ1＝3)＝＝，P(ξ1＝4)＝，
∴E(ξ1)＝×1＋×2＋×3＋×4＝，
方案乙：检测所需要的次数ξ2的可能取值是2，3，
若方案乙验两次，有两种可能：
①3只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为×＝；
题号
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②3只小白鼠混检时结果为阴性，再从其他2只小白鼠中验中阳性的概率为＝(无论第二次是否验中，均可以在第二次结束)，
∴P(ξ2＝2)＝＋＝，P(ξ2＝3)＝1－P(ξ2＝2)＝1－＝，
∴E(ξ2)＝×2＋×3＝．
综上可得E(ξ2)因此，同学们应该选择乙方案．
题号
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12．(2024·四川成都三模)某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[15，25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示．
题号
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(1)求a的值；
(2)若用分层随机抽样的方法从高度在[15，17)和[17，19)中抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[15，17)内的株数为X，求 X的分布列及数学期望E(X)；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[21，25]的条件下，至多 1株高度低于23 cm的概率．
题号
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[解]　(1)依题意可得(0.050＋0.075＋a＋0.150＋0.100)×2＝1，解得a＝0.125．
(2)由(1)可得高度在[15，17)和[17，19)的频率分别为0.1和0.15，所以抽取的5株中，高度在[15，17)和[17，19)的株数分别为2和3，所以X可取0，1，2，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
题号
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所以X的分布列为
题号
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所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
(3)从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在[21，25]为事件M，至多1株高度低于23 cm为事件N，则P(M)＝×＝，P(MN)＝×××＋＝，所以P(N|M)＝＝＝．
X 0 1 2
P
THANK YOU