【高考快车道】第一阶段 专题一 研习四 排列、组合、二项式定理 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略（基础版）

(共34张PPT)
第一阶段　突破核心　升华思维
专题一　送分考点　自我研习
研习四　排列、组合、二项式定理
　考点1　排列与组合
（一）
　考点2　二项式定理
（二）
考点1　排列与组合
解决排列与组合问题应注意的3点
(1)“分类”与“分步”要明确，保证分类要不重不漏，分步要环环相扣．
(2)分组分配中提防 “均分”问题，避免重复计数．
(3)关注限制条件，采用特殊元素(位置)优先安置的策略，如：相邻问题捆绑法、间隔问题插空法、定位问题优先法、多元问题分类法、至多至少问题间接法、相同元素分组问题隔板法等等．
1．(教材改编)灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有(　　)
A．81种 　B．64种 　C．6种 　D．24种
题号
1
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4
6
8
7
9
√
A　[由题意可知，每名学生都有3种选法，故不同的选购方式有34＝81(种)．故选A．]
2．(教材改编)某志愿者小组有5人，从中选3人到A，B两个社区开展活动，其中1人到A社区，则不同的选法有(　　)
A．12种 　 B．24种
C．30种 　 D．60种
1
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√
C　[求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去A社区，再从余下4人中选2人去B社区，所以不同的选法有＝30(种)．故选C．]
题号
3．(教材改编)用数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数，其中奇数和偶数互不相邻的个数为(　　)
A．6 　 B．8
C．12 　 D．24
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6
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√
A　[依题意，当个位和百位数字是奇数时，有四位数个，当个位和百位数字是偶数时，有四位数个，所以所求四位数的个数为＝6.故选A．]
题号
4．(教材改编)用6种不同的颜色给如图所示的图形上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有(　　)


A．240种 　 B．360种
C．480种 　 D．600种
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√
题号
C　[将区域标号，如图所示．因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有6×5×4＝120(种)不同的涂色方法．


若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法，
所以共有120×(1＋3)＝480(种)不同的涂色方法．
故选C．]
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题号
5．(多选)(教材改编)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
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√
√
题号
BD　[对于A，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)情况，故A错误；对于B，先安排丙、丁、戊三人，有＝6(种)情况，再将甲、乙两人插空，则有＝12(种)情况，故甲、乙不相邻的排法有6×12＝72(种)情况，故B正确；对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有＝24(种)；若最左端不排乙，则最左端只能从丙、丁、戊选出1人，又乙不能在最右端，则有＝54(种)情况，则共有24＋54＝78(种)排法，故C错误；对于D，将甲与乙捆绑，看成一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有＝24(种)，故D正确．故选BD．]
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题号
6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 　 B．90种
C．125种 　 D．150种
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√
题号
B　[根据题意，分2步进行分析：
将5名交警分成1，2，2的三组，有＝15(种)分组方法；
将分好的三组全排列，对应3个路口，有＝6(种)情况，则共有15×6＝90(种)分配方案．故选B．]
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题号
7．(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
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√
√
题号
BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126(种)，故C错误，D正确．故选BD．]
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题号
8．编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为________．
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6　[由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，方法数为＝6．]
6　
题号
9．(2024·江苏南通模拟)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有________种．
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36　[根据题意，设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
①，将乙、丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有＝2种情况；
②，将这个整体与丁戊全排列，有＝6种安排方法，
③，排好后，有4个空位，由于甲、乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个安排甲，有＝3种安排方法，
所以不同的安排方案共有2×6×3＝36(种)．]
36　
题号
考点2　二项式定理
解决二项式定理问题应注意的3点
(1)二项展开式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝an－kbk为第k＋1项，利用它可求展开式中的特定项．
(2)二项式系数与二项展开式中项的系数不同，前者指的是，而后者指的是除字母外的系数，二项展开式中项的系数问题常与特殊化思想联系在一起，注意赋值法求值的应用．
(3)需熟知二项式定理的原理及推导过程，对于一些非二项展开式中项的系数问题，可转化为二项式定理问题．
1．(教材改编)(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)11的展开式中，各项系数和与含x3项的系数分别是(　　)
A．4 092，495 　
B．8 188，220
C．4 092，220 　
D．8 188，495
题号
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√
A　[令x＝1，则22＋23＋24＋…＋211＝＝4×(1 024－1)＝4 092，所以各项系数和为4 092，
含x3项的系数为
＝
＝
＝
…
＝＝＝495．
故选A．]
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题号
2．(教材改编)(x－y)(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数是(　　)
A．－10 　 B．－5
C．5 　 D．15
√
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B　[(x＋y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝x5-kyk，k＝0，1，2，3，4，5，故xy4的系数为，x2y3的系数为，故(x－y)(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为＝－5.故选B．]
题号
3．(教材改编)(x＋y－2)5的展开式中，x2y2的系数为(　　)
A．－60 　 B．－20
C．30 　 D．60
√
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A　[(x＋y－2)5＝[x＋(y－2)]5，要找到展开式中含有x2y2的项，需从x2(y－2)3中找到含有x2y2的项，即y2(－2)1＝－60x2y2，故x2y2的系数为－60.故选A．]
题号
4．(教材改编)已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　　)
A．24 　B．18 C．12 　D．6
√
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A　[已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则n＝4，从而的展开式通项为Tk＋1＝x4-k＝2kx4-2k(k＝0，1，2，3，4)，令4－2k＝0，解得k＝2，所以展开式中的常数项为22＝24.故选A．]
题号
5．(2024·湖北武汉二模)已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 (　　)
A．n＝5
B．n＝8
C．展开式的常数项为－20
D．的展开式中各项系数的和为1
√
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题号
D　[由题可知，2n＝64，则n＝6，所以AB错误；
展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝x6-k·＝x6-2k．
令6－2k＝0，得k＝3，则T4＝x6-6＝－160，故C错误；
令x＝1，得＝1，则的展开式中各项系数的和为1.
故选D．]
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题号
6．(a－x)(1＋x)6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝(　　)
A．4 　B．3 C．2 　D．1
√
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3
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B　[设(a－x)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得64(a－1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a7①，
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－…－a7②，
①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64(a－1)＝2×64，解得a＝3.故选B．]
题号
7．(2024·福建三明三模)各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数(3 750)8转换为十进制数的算法为3×83＋7×82＋5×81＋0×80＝2 024.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是(　　)
A．3 　B．4 C．5 　D．6
√
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题号
A　[＝7×85＋7×84＋7×83＋7×82＋7×81＋7×80＝7×(85＋84＋83＋82＋81＋80)＝7×＝86－1＝(10－2)6－1＝×100×(－2)6－1＝×100×
(－2)6－1，因为×100×
(－2)5]是10的倍数，所以换算后这个数的末位数字即为×100×(－2)6－1的末位数字，由×100×(－2)6－1＝64－1＝63，知末位数字为3．
故选A．]
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题号
8．(多选)(2024·山西临汾三模)在的展开式中(　　)
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为38
√
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8
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11
√
题号
AB　[对于A，二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数的和为＝128，故A正确；
对于B，二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C，Tk＋1＝(－)k＝ (0≤k≤8，k∈N)，Tk＋1为有理项，k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D，令x＝1，则所有项的系数的和为＝1，故D错误．故选AB．]
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题号
9．(多选)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则(　　)
A．a9＝5 120
B．a0－a1＋a2－…－a9＋a10－a11＋a12＝312
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D．＋＋…＋＋＋＝－1
√
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√
题号
BD　[(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，令x－1＝t，则(2t－1)12＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a11t11＋a12t12，
对于A，a9t9＝(2t)9·(－1)3＝－112 640t9，∴a9＝－112 640，故A错误；
对于B，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＋a10－a11＋a12＝312，故B正确；
对于C，令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝1，令t＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a12＝1－1＝0，故C错误；
对于D，令t＝，得a0＋＋＋…＋＋＋＝0，∴＋＋…＋＋＋＝－a0＝－1，故D正确．故选BD．]
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10
11
题号
10．若n为等差数列－4，－2，0，…中的第7项，则二项式展开式的中间项的系数为________．
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10
11
1 120　[由题意可得等差数列的公差为2，首项为－4，
所以an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，所以a7＝2×7－6＝8，
所以二项式展开式的中间项
T5＝(2x2)4＝×24×x4＝1 120x4，
所以中间项的系数为1 120．]
1 120　
题号
11．(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
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11
5　[二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z，设展开式中第k＋1项系数最大，
则解得≤k≤，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．]
5　
题号
THANK YOU