【高考快车道】第一阶段 专题一 研习五 古典概型 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略（基础版）

(共54张PPT)
第一阶段　突破核心　升华思维
专题一　送分考点　自我研习
研习五　古典概型
　专题限时集训(一)　研习一～五(A)
（一）
　专题限时集训(二)　研习一～五(B)
（二）
解决古典概型问题应注意的两点
(1)对于古典概型中的抽取问题，要注意是否有顺序性，有无放回．
(2)在利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m时，要明确事件之间是对立关系还是互斥关系．
1．(教材改编)从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A，B，白球标记为C，则该试验的一个样本空间是(　　)
A．{AB，BC}　　　　　　 B．{AB，AC，BC}
C．{AB，BA，BC，CB}　 D．{AB，BA，AC，CA，CB}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
B　[从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为AB，AC，BC，所以该实验的样本空间为{AB，AC，BC}．故选B．]
2．(教材改编)有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
题号
B　[由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，
故两人离开电梯的所有可能情况有7×7＝49(种)，
而两人在同一层离开电梯的可能情况有7×1＝7(种)，
所以两人在同一层离开电梯的概率为＝，
所以两人在不同层离开电梯的概率为1－＝．
故选B．]
1
3
5
2
4
6
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9
题号
3．(教材改编)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
A　[从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有(1，4)，(2，3)，(4，6)共3种情况，所以所求的概率为＝．故选A．]
题号
4．(教材改编)从长方体的8个顶点中任选4个，则这4个点能构成三棱锥的顶点的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
3
5
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4
6
8
7
9
√
B　[根据题意，从长方体的8个顶点中任选4个，有＝70(种)取法， “这4个点构成三棱锥的顶点”的反面为“这4个点在同一个平面”，而长方体有2个底面和4个侧面、6个对角面，一共有12种情况，则这4个点在同一个平面的概率P＝＝，所以这4个点构成三棱锥的概率为1－＝．故选B．]
题号
5．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
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2
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6
8
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9
√
B　[画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝．故选B．]
题号
6．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的概率为(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
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5
2
4
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8
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9
√
C　[三张卡片随机分给三位同学，共有＝6(种)情况，恰有1位同学分到写有自己学号的卡片，则有×1＝3(种)情况，所以恰有1位同学分到写有自己学号卡片的概率为＝．故选C．]
题号
7．15个人围坐在圆桌旁，从中任选4人，他们两两互不相邻的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
3
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9
√
A　[15个人围坐在圆桌旁，从中任选4人，他们两两互不相邻，则可先把11个人入坐好，再让其余4人插空，共有种不同的围坐方法，所以所求概率是＝，故选A．]
题号
8．(2024·辽宁沈阳一模)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA． 　B． 　C． 　D．
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8
7
9
√
C　[由于a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，故可得4×3×2＝24(个)三位数．若b＝1，则“凹数”有：213，214，312，314，412，413，共6个；若b＝2，则“凹数”有：324，423，共2个．所以这个三位数为“凹数”的概率为P＝＝．]
题号
1
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5
2
4
6
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7
9
9．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“　　”表示一根阳线，“　　”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为_____．
　
题号
　[观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线、四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即＝6(种)情况．故所求概率P＝＝．]
1
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7
9
题号
一、单项选择题
1．(2024·广东茂名一模)已知集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝(　　)
A．(－4，－2) 　B．(－2，2) 　C．[－2，2) 　D．[－2，2]
题号
1
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13
14
√
专题限时集训(一)　研习一～五(A)
C　[∵A＝{x|x2＋2x－8<0}＝{x|－4故选C．]
2．(2024·广东深圳二模)已知z＝，其中i为虚数单位，则·(z－1)＝(　　)
A．1＋i 　B．1－i 　C．－1＋i 　D．－1－i
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√
B　[由题意知，z＝＝＝1－i，所以·(z－1)＝(1＋i)(1－i－1)＝1－i．
故选B．]
题号
3．(2024·广东深圳模拟)“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件
C．充要条件 　 D．既不充分也不必要条件
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√
A　[∵(x－3)(x－4)＝0，∴x＝3或x＝4，
∵x＝3 (x－3)(x－4)＝0，反之不成立，
∴“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的充分不必要条件．
故选A．]
题号
4．(2024·山东济南三模)(1－x)6展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5 　B．5 　C．15 　D．35
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√
A　[若要产生x2这一项，则：当在中取1时，再在(1－x)6中取2个(－x)、取4个1，当在中取时，再在(1－x)6中取3个(－x)、取3个1，所以(1－x)6展开式中，x2的系数为16-3(－1)3＝15－20＝－5．故选A．]
题号
5．(2024·浙江杭州一模)已知平面向量a，b满足：＝2＝2，a与b的夹角为120°，若⊥(λ∈R)，则λ＝(　　)
A．0 　B．1 　C． 　D．
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√
D　[由题意得，a·b＝cos 120°＝1×2×＝－1，
由⊥，得＝0，即λa2＋(1－λ)a·b－b2＝0，∴λ－(1－λ)－4＝0，解得λ＝．
故选D．]
题号
6．(2024·北京丰台二模)若a，b∈R，且a>b，则(　　)
A．< 　 B．a2b>ab2
C．a2>ab>b2 　 D．a>>b
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√
D　[由于a>b，取a＝1，b＝－1，＝＝，a2b＝－1＜ab2＝1，无法得到<，a2b>ab2，故AB错误；
取a＝0，b＝－2，则a2＝0，ab＝0，b2＝4，无法得到a2>ab>b2，C错误；
由于a>b，则2a>b＋a>2b，所以a>>b，D正确．故选D．]
题号
7．(2024·河北沧州期中)已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为46，52，55，63，72，75，76，80，从这8名同学中选出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数的概率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
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√
题号
C　[因为8×0.7＝5.6，所以这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数是75，
从8名同学中选3名同学，有种选法，
其中这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好为75的选法有种，根据古典概型可得所求概率P＝＝．故选C．]
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题号
8．(2024·山东烟台二模)已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　)
A．a≥ 　B．02 　D．01
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√
A　[命题p：1<2x<4，即p：0显然当x＝0时满足q：x2－ax－1<0，所以当0x－在0题号
二、多项选择题
9．(2024·江苏南通模拟)若(x2＋x－2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a20x20，则(　　)
A．a0＝1 024
B．a1＝1
C．a19＝10
D．a1＋a3＋a5＋…＋a19＝－512
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√
√
√
题号
ACD　[对于A，令x＝0，则a0＝(－2)10＝1 024，故A正确；
对于D，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a20＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a18－a19＋a20＝1 024，两式相减得a1＋a3＋a5＋…＋a19＝－512，故D正确；
易知(x2＋x－2)10＝(x－1)10(x＋2)10，而(x－1)10中的常数项为1，含x的项为x×(－1)9＝－10x，含x9的项为x9×(－1)＝－10x9，含x10的项为x10，同理(x＋2)10中的常数项为1 024，含x的项为x×29＝5 120x，含x9的项为x9×2＝20x9，含x10的项为x10，所以a1＝1×5 120＋(－10)×1 024＝－5 120，故B错误；
a19＝－10×1＋1×20＝10，故C正确．故选ACD．]
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题号
10．(2024·湖北武汉二模)下列说法正确的是(　　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．＋的最小值为2
C． a>b，m>0，<
D．＋的最小值为2
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√
题号
√
AD　[对于A，若ac2>bc2，则a>b，A正确；
对于B，＋≥2或＋≤－2，因为不知道和0的大小关系，B错误；
对于C，若a>b，m>0，则－＝＝，而m(b－a)<0，但是a(a＋m)与0的大小关系不能确定，故C错误；
对于D，＋≥2，当且仅当＝，即sin x＝0时取等号，D正确．故选AD．]
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题号
11．已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么(　　)
A．若c＝a，则a∥c
B．若＝，则a·b＝0
C．若＝＝，则a与a－b的夹角为
D．若a·b＝a·c，则b，c在a方向上的投影向量相同
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√
√
√
题号
ABD　[A项，若c＝a，则λc＝μa，其中λ＝a·b，μ＝b·c，
若λ＝μ＝0，则a⊥b，b⊥c，故a∥c；
若λ，μ不同时为零，则λc＝μa，根据向量共线定理得，a∥c，故A正确；
B项，若＝，两边平方得a·b＝0，故B正确；
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题号
C项，利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形ABCD，如图，＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b，由＝＝知平行四边形ABCD为菱形，△ABC为等边三
角形，所以a与a－b的夹角为，故C错误；
D项，b，c在a方向上的投影向量分别是，，又a·b＝a·c，所以＝，故D正确．故选ABD．]
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题号
三、填空题
12．(2024·辽宁重点高中二模)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a＜0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值_____________________________________．
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14
1(答案不唯一，只要满足0＜a≤2即可)　[因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1} B．
设f (x)＝x2－x－a，则f (x)＜0的整数解为0，1，则
f (0)＜0，f (1)＜0，f (－1)≥0且f (2)≥0，解得
0＜a≤2.所以满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值
可以取1．]
1(答案不唯一，只要满足0＜a≤2即可)　
题号
13．若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
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15　[∵的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等＝，∴n＝6，则的展开式中的通项为Tk＋1＝
＝·x6-2k，令6－2k＝－2，解得k＝4，故展开式中的系数为＝15．]
15
题号
14．(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
1
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4　[∵a>0，b>0，∴a＋b>0，又ab＝1，
∴＋＋＝＋≥2＝4，
当且仅当a＋b＝4时，且ab＝1取等号，
∴的最小值为4．]
4　
题号
题号
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√
专题限时集训(二)　研习一～五(B)
一、单项选择题
1．(2024·湖南师大附中二模)已知集合A＝{x|－1A．(－1，1) 　 B．(－2，2)
C．(－2，－1)∪(1，2) 　 D．(－2，－1]∪[1，2)
D　[由题意，A∩B＝(－1，1)，A∪B＝(－2，2)，所以 A∪B(A∩B)＝(－2，－1]∪[1，2)．故选D．]
2．(2024·北京西城三模)在复平面内，复数z对应点的坐标为(1，－1)，
则＝(　　)
A．i 　 B．－i
C．1－i 　 D．1＋i
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14
√
B　[因为在复平面内，z对应点的坐标为(1，－1)，所以z＝1－i，
所以＝＝＝＝－i．
故选B．]
题号
3．(2024·广东茂名模拟)已知命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
1
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14
√
B　[因为命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，
所以2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，
解得－1故选B．]
题号
4．在△ABC中，＝2，点P在CD上，且＝m＋(m∈R)，则m＝(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
1
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14
√
D　[因为＝2，所以＝，所以＝m＋＝m＋×＝m＋，又P，C，D三点共线，
所以m＋＝1，得m＝．故选D．]
题号
5．三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A． 　B． 　C． 　D．
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14
√
B　[五位同学排成一列的排法有＝120(种)，其中两位女同学相邻的排法有＝48(种)，所以两位女同学相邻的概率是＝．
故选B．]
题号
6．(2024·北京海淀二模)设a，b∈R，ab≠0，且a>b，则(　　)
A．< 　B．>2 C．sin (a－b)2b
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14
√
C　[对于A，取a＝2，b＝－1，则＝－>＝－2，故A错误；
对于B，取a＝1，b＝－1，则＝2，故B错误；
对于C，由于y＝sin x－x(x>0)，y′＝cos x－1≤0，故y＝sin x－x在(0，＋∞)上单调递减，故sin x－x<0，因此sin x由于a>b，所以a－b>0，故sin (a－b)对于D，取a＝－3，b＝－4，则3a＝<2b＝，故D错误．故选C．]
题号
7．(2024·山西实验中学模拟)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p的充分不必要条件是q，则实数m的取值范围为(　　)
A．(0，3] 　
B．[0，3]
C．(－∞，3) 　
D．(－∞，3]
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2
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14
√
题号
A　[设A＝{x|－2≤x≤10}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
因为p的充分不必要条件是q，所以B是A的真子集，
所以且等号不同时成立，解得0所以01
3
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题号
8．(2024·浙江温州三模)已知m∈N*，(1＋x)2m和(1＋x)2m+1的展开式中二项式系数的最大值分别为a和b，则(　　)
A．aB．a＝b
C．a>b
D．a，b的大小关系与m有关
1
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√
题号
A　[根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项．
即a＝，b＝＝，所以b＝＝＝＝＝a，从而a故选A．]
1
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14
题号
二、多项选择题
9．(教材改编)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，则下列说法正确的是(　　)
A．a∥b
B．⊥a
C．a与b夹角的余弦值为
D．a在b方向上的投影向量为b
1
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√
√
√
题号
BCD　[由a＝(－1，2)，b＝(3，4)，－1×4－2×3＝－10≠0，则a与b不平行，故A错误；
b－a＝(4，2)，(b－a)·a＝－4＋4＝0，则⊥a，故B正确；
a·b＝－1×3＋2×4＝5，＝＝，＝＝5，cos 〈a，b〉＝＝＝，故C正确；
＝b，即a在b方向上的投影向量为b，故D正确．
故选BCD．]
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题号
10．关于二项式(3x－1)5的展开式，下列说法正确的是(　　)
A．第3项的系数为270　
B．x2的系数为90
C．二项式系数和为25
D．系数和为25
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√
√
√
题号
ACD　[二项式(3x－1)5展开式的通项公式为Tk＋1＝(3x)5-k(－1)k＝35-k(－1)kx5-k，k≤5，k∈N，
对于A，展开式中第3项的系数为×33×(－1)2＝270，A正确；
对于B，令5－k＝2，可得k＝3，故展开式中含x2的项为第4项，该项的系数为×32×(－1)3＝－90，B错误；
对于C，(3x－1)5的展开式的二项式系数和为＝25，C正确；
对于D，二项式(3x－1)5的展开式的系数和为(3×1－1)5＝25，D正确．
故选ACD．]
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题号
11．(2024·江苏常州期末)已知复数z1，z2，则下列结论正确的是(　　)
A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2|
B．|z1·z2|＝|z1|·|z2|
C．若|z1|＝5，则|z1－2|的最小值为4
D．在复平面内，z1，z2所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，若⊥，则|z1＋z2|＝|z1－z2|
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√
√
题号
BD　[对于A，设z1＝1，z2＝－1，则|z1|＋|z2|＝2，|z1＋z2|＝0，因此选项A错误；
对于B，设z1＝c＋di，z2＝m＋ni(c，d，m，n∈R)，
则|z1·z2|＝|(c＋di)·(m＋ni)|＝|(cm－dn)＋(cn＋dm)i|
＝＝，
又|z1|·|z2|＝，则|z1·z2|＝|z1|·|z2|，因此选项B正确；
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题号
对于C，设z＝5，则z1－2＝3，此时|z1－2|＝3，因此选项C错误；
对于D，若⊥，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加法、减法的几何意义可知，选项D正确．
故选BD．]
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题号
三、填空题
12．(2024·河北衡水模拟)一个1、两个2、三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为________，相同数字不相邻的概率为________．
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10　　[一个1、两个2、三个3组成一个六位数，共有＝60(个)六位数，则相同数字不相邻的有323 231，132 323，232 313，323 132，231 323，313 232，312 323，321 323，323 123，323 213，共有10个，所以相同数字不相邻的概率为＝．]
10
　
题号
13．(2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则平整完这块场地所需的最少费用是________元．
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10 816　[设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时等号成立．
所以平整完这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元．]
10 816　
题号
14．(2024·云南保山模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为________．
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[0，16]　[取CD的中点E，连接PE，如图所示，所以≤PE≤AE，即PE的取值范围是[2，2]，又由＝()·()＝－＝－4，所以的取值范
围为[0，16]．]
[0，16]　
题号
THANK YOU