【高考快车道】第二阶段 层级二 第11天 大题抢分练(一) 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略（基础版）

(共19张PPT)
第二阶段　重点培优　定时训练
层级二　定时训练　突破提能
第11天　大题抢分练(一)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤．
1．(13分)近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入x(单位：亿元)与经济收益y(单位：亿元)的数据，统计如下：
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题号
1
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研发投入x/亿元 1 2 3 4 5
经济收益y/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5
(1)求样本相关系数r；(保留3位小数)
(2)求y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
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题号
1
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[解]　(1)由于＝＝6.5，
∴r＝
＝＝≈≈0.995，∴样本相关系数r≈0.995．
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题号
1
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将点(3，6.5)代入＋可得＝6.5－2.1×3＝0.2，
∴关于x的经验回归方程为＝2.1x＋0.2，
将x＝10代入经验回归方程，得y＝2.1×10＋0.2＝21.2，
∴预测研发投入10亿元时的经济收益为21.2亿元．
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题号
1
5
2．(15分)设函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)．已知f (x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且f ＝－．
(1)若f (x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设直线l为曲线y＝f (x)在x＝－处的切线，证明：直线l与曲线y＝f (x)有唯一的公共点．
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题号
1
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[解]　(1)由题意可得周期T＝＝2×，故ω＝2，则f (x)＝sin (2x＋φ)，则f ＝sin ＝－cos φ＝－ cos φ＝，
由于φ∈(0，π)，故φ＝，故f (x)＝sin ，
当x∈(0，m)时，2x＋∈，
由于f (x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，故<2m＋≤，解得2
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题号
1
5
(2)证明：f ′(x)＝2cos ，f ′＝2cos ＝2，
f ＝sin ＝0，故直线l的方程为y＝2，
令g(x)＝2－sin ，则g′(x)＝2－2cos ≥0，
故g(x)在定义域内单调递增，又g＝0，
因此g(x)有唯一的零点－，
故直线l与曲线y＝f (x)有唯一的公共点，得证．
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题号
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3．(15分)已知动点P(x，y)到定点F(2，0)的距离与动点P到定直线x＝－2的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)不过点F的直线与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝6，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．
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题号
1
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[解]　(1)由题可知，动点P的轨迹为焦点在x轴、开口朝右的抛物线，∴p＝4，
∴曲线C的方程为y2＝8x．
(2)证明：设直线AB的方程为x＝ty＋m(m≠2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去x化简得y2－8ty－8m＝0，则Δ＝64t2＋32m>0，即2t2＋m>0，
∴y1＋y2＝8t，y1y2＝－8m，又|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝6，即x1＋x2＝2，
又x1＋x2＝ty1＋m＋ty2＋m＝t(y1＋y2)＋2m＝2，
∴8t2＋2m＝2，即4t2＋m＝1，
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题号
1
5
设点M为AB的中点，则M(1，4t)，
∴直线MN的方程为y－4t＝－t(x－1)，
令y＝0，则xN＝5，
故点N为定点，坐标为(5，0)．
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题号
1
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4．(17分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1C1∩平面ABC＝l，点E，F分别在直线l和直线BB1上，且满足EF⊥l，EF⊥BB1．
(1)证明：EF⊥平面BCC1B1；
(2)若直线EF与平面ABC所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
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题号
1
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[解]　(1)证明：由三棱台ABC-A1B1C1知，B1C1∥平面ABC，
因为B1C1 平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面ABC＝l，所以B1C1∥l，
又B1C1∥BC，所以l∥BC，
因为EF⊥l，所以EF⊥BC，
又EF⊥BB1，BC∩BB1＝B，且BC 平面BCC1B1，BB1 平面BCC1B1，
所以EF⊥平面BCC1B1．
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题号
1
5
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设三棱台的高为h，则B，B1，C＝(4，0，0)，＝，
设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
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题号
1
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令y＝h，则z＝，所以平面BCC1B1的一个法向量n＝，易得平面ABC的一个法向量m＝(0，0，1)，
设EF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知∥n，
所以由已知得sin θ＝＝＝＝，
解得h＝，所以三棱台的高为．
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题号
1
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5．(17分)若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，….已知数列{an}是一个二阶等比数列，a1＝1，a2＝4，a3＝64．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn．
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题号
1
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[解]　(1)设＝cn，由题意得数列{cn}是等比数列，c1＝＝4，c2＝＝16，则cn＝4n，即＝4n，
由累乘法得：·…·＝4n-1×4n-2×4n-3×…
×42×4，
于是＝41+2+3+…＋(n-2)＋(n-1)，故an＝＝2n(n-1)．
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题号
1
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(2)由(1)得bn＝
＝＝
＝＝2，
令dn＝，则bn＝2，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(d1－d2＋d2－d3＋…＋dn－dn＋1)＝2(d1－dn＋1)＝2＝2－．
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题号
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