高考标准仿真卷·仿真卷2
1．B [由题知a5＝7，a10＝2，所以S14＝＝7(a5＋a10)＝7×(7＋2)＝63．故选B．]
2．A [因为a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，a∥b，所以2m－1×(3m－1)＝0，所以m＝1．故选A．]
3．A [由题意可得∠ACB＝＝72°，且cos ∠ACB＝，
所以cos 144°＝2cos272°－1＝2×，因此sin126°＝sin (270°－144°)＝－cos 144°＝．
故选A．]
4．D [根据题意，
因为f (x)＝为增函数，
所以解得3≤a＜4．故选D．]
5．C [由题意知AB∥CD，所以∠EDC(或其补角)为异面直线DE与AB所成的角，如图，设CD的中点为O，连接OE，过E作EF⊥底面圆O，则EF⊥CD．连接OF，因为E是弧AB的中点，所以F为弧CD的中点，所以CD⊥OF．又EF∩OF＝F，所以CD⊥平面OEF，所以CD⊥OE．设AD＝1，则CD＝，所以OF＝，EF＝1，所以OE＝，所以tan ∠EDC
＝，所以∠EDC＝．故选C．]
6．D [展开式中含x2的项为x2·1＋(－x)1＋(－x)2＝x2－6ax2－15x2＝－(6a＋14)x2，所以－(6a＋14)＝－2，解得a＝－2．故选D．]
7．B [由题可知，c＝，
当点P在第一象限时，过点P作PM垂直y轴于点M(图略)，设|OM|＝t，则|FM|＝＋t，由勾股定理知2＝2－t2＝42－2，解得t＝＝，
所以点P的坐标为，
设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，得＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋5，所以a2＝9，b2＝4，
所以椭圆C的标准方程为＝1．
当点P在第四象限时，|FM|＝－t，
由勾股定理得|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝，即2－t2＝42－2，解得t<0，不符合题意．故选B．]
8．D [因为函数f (x)＝2－，可得函数f (x)在R上单调递增，
因为f (x)＋f (－x)＝2－＝2，所以f ＝f (－2ln x)＝2－f (2ln x)，
因为不等式f (ax)＋f ≥2对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
所以f (ax)≥f (2ln x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
因为函数f (x)为定义在R上的增函数，
所以ax≥2ln x，化为a≥，
令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝，
所以当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，此时函数g(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，此时函数g(x)单调递减．
所以当x＝e时，函数g(x)取得极大值，也是最大值，
g(x)max＝g(e)＝，所以a≥．
则实数a的取值范围是
2/22026年普通高等学校招生考试仿真卷2
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若a5＝7，a10＝2，则S14＝( )
[A]49 [B]63
[C]70 [D]126
2．已知a＝(m，1)，b＝(3m－1，2)，若a∥b，则实数m＝( )
[A]1 [B]－1
[C] [D]－
3．黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金△ABC中，＝，根据这些信息可得到sin 126°＝( )
[A] [B]－
[C] [D]
4．已知f (x)＝为增函数，则a的取值范围是( )
[A][－2，4) [B][2，4)
[C][－3，4) [D][3，4)
5．打印用的A4纸的长与宽的比值约为，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽的比值仍约为．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示)，它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为( )
[A] [B]
[C] [D]
6．(x2＋ax－1)·(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为( )
[A]0 [B]3
[C]－1 [D]－2
7．已知椭圆C的一个焦点F(0，－)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为( )
[A]＝1 [B]＝1
[C]＝1 [D]＝1
8．已知函数f (x)＝2－，若不等式f (ax)＋f ≥2对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
[A](0，e2] [B](－∞，e2]
[C] [D]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的是( )
[A]P(X＜100)＝
[B]E(X)＝1.5
[C]P(X＜101.5)＝P(X＞98.5)
[D]P(97＜X＜101.5)＝P(98.5＜X＜103)
10．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
[A]若a≠0，则点O在圆C外
[B]圆C与x轴相切
[C]若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1
[D]点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
11．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉．为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，某市调查了当地100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
[A]年收入在[500，600)(单位：万元)的中小企业约有16家
[B]样本的中位数大于400万元
[C]估计当地中小企业年收入的平均数为376万元
[D]样本在区间[500，700]内的频数为18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.8，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.4，已知第一次击中目标的概率是0.7，则第二次击中目标的概率为________．
13．平行四边形ABCD中，＝5，点P满足＝8，则＝________．
14．已知在数列{an}中，a1，a11∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，S14＝77，则S100＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在①a sin C＝c cos A，②(a＋b)(a－b)＝c2－bc，③sin A－cos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，________．
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．(15分)为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩频率分布直方图如图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布 N(μ，σ2) (用样本平均数和标准差s分别作为μ，σ的近似值)，已知样本标准差s≈7.36，如果有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？(结果取整数)
(3)从得分区间在[80，90)和[90，100]内的试卷中用分层随机抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份试卷中随机抽取3份，若已知抽取的3份试卷来自不同区间，求抽取3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.99．
17．(15分)如图，在四棱锥B PACQ中，BC⊥AB，四边形PACQ为直角梯形，PA⊥AC，PQ∥AC，且AP＝AB＝PQ＝1，PB＝．
(1)求证：直线BC⊥平面PAB；
(2)若直线CA与平面PAB所成的角为，求平面PBQ与平面BQC夹角的余弦值．
18．(17分)已知F1(－2，0)，F2(2，0)，点P满足|PF1|－|PF2|＝2，记点P的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P，Q两点．
①无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值；
②过P，Q作y轴的垂线PA，QB，垂足分别为A，B，记λ＝，求λ的取值范围．
19．(17分)已知函数f (x)＝x ln x(x＞0)．
(1)求函数f (x)的极值点及极值；
(2)若0＜x1＜x2＜1，且f (x1)＝f (x2)，求证：＜(e为自然对数的底数)．
6/6
