高考标准仿真卷·仿真卷1
1．B []
2．D [由全称量词命题的否定为存在量词命题，知命题“ x＞0，ex＞1”的否定为“ x＞0，ex≤1”．故选D．]
3．A [定义域为R，f (－x)＝＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除B，D；当x→＋∞时，f (x)→0，排除C．故选A．]
4．C [因为a·(a－b)＝a2－ab＝8，所以ab＝32－8＝1，又|b|＝2，所以cos 〈a，b〉＝．故选C．]
5．B [先将丙、丁2人全排列，有种不同排法，再将丙、丁视作一个整体，与除甲、乙外的2人，共计3人全排列，有种不同排法，最后在3人的中间与两边共4个空中选择2个空插入甲、乙2人，有种不同排法，故共有＝144(种)不同排法．故选B．]
6．D [因为f ′(x)＝＋4x－4，则f ′(2)＝，所以函数f (x)的图象在x＝2处的切线的斜率为，又f (2)＝ln 2＋2×22－8＝ln 2，所以由直线的点斜式方程可得y－ln 2＝(x－2)，即9x－2y＋2ln 2－18＝0．故选D．]
7．A [由题意可知该惊鸟铃的体积为×π×82×20－×π×82×(20－2)≈128(cm3)，所以该惊鸟铃的质量约为128×8.96＝1 146.88(g)≈1(kg)．故选A．]
8．C [由题意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2a－2c，
cos ∠PF1F2＝，
因为a2，
所以2c×2c×a2，
所以4c2＋8ac－4a2＝a2，
所以5a2－8ac－4c2＝0，
所以(5a＋2c)(a－2c)＝0，所以a＝2c，所以e＝．故选C．]
9．AD [对于A，，即－＜＜，即－＜，即＜＜，即＜2x＋1＜3，即＜2x＜2，所以－1＜x＜1，故A正确；
对于B，f (－x)＝＝－f (x)，故B错误；
对于C，f (x)＝1－，因为u＝2x＋1在R上单调递增，且u＞1，y＝1－在u＞1时单调递增，所以f (x)在R上单调递增，故C错误；
对于D，记y＝f (x)＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x＞0得，＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f (x)的值域为(－1，1)，故D正确．
综上，故选AD．]
10．ABD [＝3，＝1，所以样本点的中心坐标为(3，1)，代入＝x＋0.28，得＝＝0.24，故A正确；经验回归方程为＝＝0.24x＋0.28，取x＝8，得＝＝0.24×8＋0.28＝2.2，故B正确；样本数据y的40%分位数为＝0.9，故C错误；由样本相关系数公式可知，去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不变，故D正确．故选ABD．]
11．BC [因为渐近线方程为y＝±x，所以，又焦距为4，所以c＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝．对选项A，实轴长为2a＝2，所以选项A错误；对选项B，离心率e＝＝2，所以选项B正确；对选项C，双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝，所以选项C正确；对选项D，
F2(2，0)，若点P在双曲线的右支上，则|PF2|≥c－a＝2－＝，若点P在双曲线的左支上，则|PF2|≥c＋a＝2＋＝3，所以双曲线上不存在点P，使|F2P|＝1，所以选项D错误．故选BC．]
12．0．271 8 [记技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ1，标准差为σ1，技术改造后，该企业生产的该种零部件质量指标的均值为μ2，标准差为σ2，由题知μ1＝μ2＝50，σ1＝0.4，σ2＝0.2，(49.6，50.4)＝(μ1－σ1，μ1＋σ1)＝(μ2－2σ2，μ2＋2σ2)，所以技术改造前的优品率约为0.682 7，技术改造后的优品率约为0.954 5，故优品率之差约为0.954 5－0.682 7＝0.271 8．]
13． [由题意知＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋3k(k∈Z) ①．因为函数f (x)在区间上无最小值，所以(k∈Z)，解得6k－(k∈Z) ②．又ω＞0，所以由①②可得，ω＝．]
14．56π 80π [圆台上底面面积S′＝＝4π，下底面面积S＝π·42＝16π，所以圆台的体积V＝h＝×6＝56π．易知A，B，C，D四点所在的球面，即为圆台的外接球球面，如图，作出圆台的轴截面，则圆台的外接球球心O在轴O1O2上，且在圆台内部，设外接球半径为R，则＝6，解得R2＝20，所以该球的表面积为4πR2＝80π．]
15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为Sn＋2＝Sn＋2n＋3(n∈N*)，
所以an＋2＋an＋1＝2n＋3，
所以2a1＋(2n＋1)d＝2n＋3，
n＝1，2时可得：2a1＋3d＝5，2a1＋5d＝7，解得a1＝d＝1，
所以an＝1＋n－1＝n．
(2)由bn＝
可得b2n－1＝a2n－1＋2＝2n－1＋2＝2n＋1，b2n＝32n＝9n．
所以{bn}的前2n项和T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(9＋92＋…＋9n)
＝
＝n2＋2n＋．
16．解：(1)由题意，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
且|PF1|max＝a＋c＝6，
解得a＝4，c＝2，则b＝2，
所以椭圆E的标准方程是＝1．
(2)由(1)可知F1(－2，0)，F2(2，0)，
当直线AB的方程为y＝0时，A(－4，0)，B(4，0)，
则＝(－4＋2，0)·(4＋2，0)＝－12≠－2，不符合题意．
设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x整理得(3m2＋4)y2＋12my－36＝0，
则有y1＋y2＝，y1y2＝，Δ＞0恒成立．
由＝－2，得(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝－2．
又x1＝my1＋2，x2＝my2＋2，
可得(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝－2，
即＝－2，解得m2＝，
所以m＝或m＝－，
故直线l的方程为5x±y－10＝0．
17．解：(1)由统计图知，参与足球运动的人数超过40的学校共4所，
记“选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40”为事件S，
从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为，
其中事件S所包含的基本事件个数为，所以P(S)＝，
所以选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40的概率为．
(2)由统计图知，参与排球运动的人数在30以上的学校共4所，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
E(X)＝0×，
所以随机变量X的数学期望为．
18．解：(1)证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，M(2，1，0)，N．
则＝(0，1，－1)，＝(2，0，0)，．
设平面PDM的法向量为m＝(x，y，z)，
则取y＝1，则z＝1，x＝0，
则m＝(0，1，1)，
所以，则∥m，
所以AN⊥平面PDM．
(2)＝(0，1，－1)，＝(2，1，0)，设平面PDC的法向量为n＝(a，b，c)，
则取b＝2，则a＝－1，c＝2，则n＝(－1，2，2)，
由(1)知平面PDM的一个法向量为m＝(0，1，1)，
设平面PDM与平面PDC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，
所以sin θ＝，
所以平面PDM与平面PDC夹角的正弦值为．
(3)假设存在点E，设(0<λ<1)，＝(－2，0，1)，＝(2，2，－1)，＝(2λ，2λ，－λ)，则＝(2λ－2，2λ，1－λ)，设直线BE与平面PDC所成的角为φ，
由(2)知平面PDC的一个法向量为n＝(－1，2，2)，
则sinφ＝＝＝，
化简得9λ2－10λ＋1＝0，即(9λ－1)(λ－1)＝0，
因为0<λ<1，
所以λ＝，故，
因为＝(2，2，－1)，则＝3，
所以＝＝，
所以存在点E，线段PE的长为．
19．解：(1)由题可得，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－a．
若a＝1，f ′(x)＝ln x，当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)在(0，1)上单调递减；
当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以f (x)极小值＝f (1)＝ln 1＋1－1＝0，无极大值．
(2)f (x)＝x ln x－ax＋a，易知f (1)＝0，
所求问题等价于函数f (x)＝x ln x－ax＋a在区间(1，e]上没有零点，
因为f ′(x)＝ln x＋1－a，
当0＜x＜ea-1时，f ′(x)＜0，所以f (x)在(0，ea-1)上单调递减，
当x＞ea-1时，f ′(x)＞0，所以f (x)在(ea-1，＋∞)上单调递增．
①当ea-1≤1，即a≤1时，函数f (x)在区间(1，e]上单调递增，所以f (x)＞f (1)＝0，此时函数f (x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意．
②当1＜ea-1＜e，即1＜a＜2时，f (x)在区间(1，ea-1)上单调递减，在区间(ea-1，e]上单调递增，
要使f (x)在(1，e]上没有零点，只需f (e)＜0，即e－ea＋a＜0，解得a>，所以
③当e≤ea-1，即a≥2时，函数f (x)在区间(1，e]上单调递减，
f (x)在区间(1，e]上满足f (x)＜f (1)＝0，此时函数f (x)在区间(1，e]上没有零点，满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
6/62026年普通高等学校招生考试仿真卷1
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则＝( )
[A]1 [B]
[C]3 [D]5
2．命题“ x＞0，ex＞1”的否定为( )
[A] x≤0，ex＞1 [B] x＞0，ex≤1
[C] x≤0，ex≤1 [D] x＞0，ex≤1
3．函数f (x)＝的图象大致是( )
[A] [B] [C] [D]
4．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·(a－b)＝8，则cos 〈a，b〉＝( )
[A] [B]
[C] [D]
5．6名同学排成一排，其中甲与乙不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有( )
[A]72种 [B]144种
[C]216种 [D]256种
6．已知函数f (x)＝ln x＋2x2－4x，则函数f (x)的图象在x＝2处的切线方程为( )
[A]9x－y－2ln 2－18＝0
[B]9x＋2y－2ln 2＋18＝0
[C]9x＋2y－2ln 2－18＝0
[D]9x－2y＋2ln 2－18＝0
7．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O1O3＝20 cm，O1O2＝2 cm，AB＝16 cm，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96 g/cm3)( )
[A]1 kg [B]2 kg
[C]3 kg [D]0.5 kg
8．设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1．若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且＝a2，则C的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f (x)＝，则( )
[A]不等式|f (x)|＜的解集是(－1，1)
[B] x∈R，有f (－x)＝f (x)
[C]f (x)在R上单调递减
[D]f (x)的值域为(－1，1)
10．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为y＝bx＋0.28，则( )
[A]b＝0.24
[B]当x＝8时，y的预测值为2.2
[C]样本数据y的40%分位数为0.8
[D]去掉样本点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不变
11．设F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线上任意一点．若双曲线的渐近线方程为x±y＝0，焦距为4，则下列说法正确的是( )
[A]实轴长为
[B]双曲线的离心率为2
[C]双曲线的焦点到渐近线的距离为
[D]存在点P，使得|F2P|＝1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某企业生产一种零部件，其质量指标介于(49.6，50.4)的为优品，技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.16)；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50，0.04)．那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差约为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜σ)≈0.682 7，P(|X－μ|＜2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|＜3σ)≈0.997 3)
13．已知函数f (x)＝sin (ω＞0)满足f (x)≤f 恒成立，且在区间上无最小值，则ω＝________．
14．已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为______；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知等差数列{an}中，Sn＋2＝Sn＋2n＋3(n∈N*)．
(1)求an；
(2)设bn＝求{bn}的前2n项和T2n．
16．(15分)已知F1，F2为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆E上任意一点，|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|的最大值为6．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若＝－2，求直线l的方程．
17．(15分)为了解全市中小学生排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10所学校(记为A，B，C，…，J)，10所学校的参与人数统计图如下：
(1)若从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与足球运动的人数都超过40的概率；
(2)现有一名排球教练在这10所学校中随机选取3所学校进行指导，记X为教练选中参与排球运动的人数在30以上的学校的个数，求X的分布列和数学期望．
18．(17分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AP⊥平面ABCD，AB＝BC＝2AP＝2AD＝2，M，N分别为线段BC和PD的中点．
(1)求证：AN⊥平面PDM；
(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为？若存在，求出线段PE的长；若不存在，请说明理由．
19．(17分)已知函数f (x)＝x ln x＋a－ax(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f (x)的极值；
(2)若函数f (x)在区间[1，e]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
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