高考标准仿真卷·仿真卷3
1．D [因为M＝{x|＜4}＝{x|1≤x＜17}，N＝{x|－2＜x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}，所以M∩N＝{1，2，3}．故选D．]
2．A [因为z2＝＋，其在复平面内对应的点的坐标为，则由题意得复数z1在复平面内对应的点的坐标为，所以z1＝ ．故选A．]
3．C [因为x，y都是正数，且x＋y＝2，
则，当且仅当且x＋y＝2，即x＝时取等号．故选C．]
4．A [由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，
设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，
把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，
解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x．故选A．]
5．D [根据题意，分3步分析：
①在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况．
②在第二行的三个方格中，要求每一列上都有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况．
③在第三行中，只有1种情况．
则有3×2×1＝6种情况，即可以传递6种不同的信息．
故选D．]
6．D [由说法②可得ω＝1，由说法③可得，则T＝π＝，ω＝2，②和③相互矛盾．当说法①②④成立时，由题意得A＝3，ω＝1，，k∈Z．因为φ∈，故令k＝0，得φ＝，得f (x)＝3sin ；当说法①③④成立时，由题意知A＝3，ω＝2，，k∈Z，得φ＝kπ－，故不符合题意．综上，故选D．]
7．A [因为e＝，所以a＝2c，
M为椭圆上一动点，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a，
在△MF1F2中，由余弦定理的推论可得
cos ∠F1MF2＝
，当且仅当m＝n时“＝”成立．
所以cos ∠F1MF2的最小值为，又∠F1MF2∈(0，π)，
所以∠F1MF2的最大值为．故选A．]
8．C [把棱长为的正四面体ABCD放到正方体中，如图所示，则正方体的棱长为×＝2，正四面体的外接球即此正方体的外接球，即外接球的半径R＝＝3，则外接球的体积V＝πR3＝36π，V正四面体ABCD＝×(2)3＝8，则制作该模型所需原料的质量为(36π－8)×1≈36×3.14－8×1.73＝99.2(g)，故选C．]
9．BC [如图，作＝a，＝b，找一点C使得四边形OACB是平行四边形，则＝a＋b，＝a－b，由向量a＋b平分a与b的夹角，得四边形OACB是菱形，即|a|＝|b|．对于A，a与b不一定垂直，故A错误；对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，即(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C，a在a＋b上的投影向量为，b在a＋b上的投影向量为，故C正确；对于D，由选项A知a·b不一定为0，则|a＋b|与|a－b|不一定相等，故D错误．故选BC．]
得＝1.1×80－5＝83，则83＝×(80＋87＋75＋a＋100＋79＋93＋68＋85＋77)，解得a＝86，所以A选项正确；因为1.1>0，所以B选项正确，C选项错误；数学成绩每提高5分，则估计物理成绩能提高1.1×5＝5.5(分)，所以D选项正确．故选ABD．]
11．ABC [对于选项A，因为p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；
对于选项B，设N为PQ中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝，故B正确；
对于选项C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1，
联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有3条直线符合题意，故D错误．故选ABC．]
12．8 [因为等差数列{an}的各项均为正数，
所以Sn＝na1＋d＝n2＋n，
又因为数列{}是等差数列，
所以a1－＝0，即2a1＝d，
所以＝8．]
13．65 [的展开式的通项Tk＋1＝＝ (－1)kx6-2k，
令6－2k＝2，得k＝2，得T3＝ (－1)2x2＝15x2；
令6－2k＝0，得k＝3，得T4＝ (－1)3x0＝－20．
故(3－x2)的展开式中，x2项的系数为3×15＋(－1)×(－20)＝65．]
14． [对任意的x∈，ekx(kx－ln 2)－2x ln x≥0恒成立，即不等式ekx(kx－ln 2)≥x ln x恒成立，即不等式e－ln 2ekx·(kx－ln 2)≥eln xln x恒成立，即(kx－ln 2)ekx－ln 2≥(ln x)eln x恒成立，设f (x)＝xex，x≥－1，则f′(x)＝(x＋1)ex≥0，所以f (x)＝xex在[－1，＋∞)上单调递增，又对任意的x∈，ln x≥－1，kx－ln 2＞－1，所以kx－ln 2≥ln x，即对任意的x∈，k≥．可设g(x)＝，x≥，则g′(x)＝，当x∈时，g′(x)＞0，则g(x)单调递增；当x∈时，g′(x)＜0，则g(x)单调递减，所以g(x)max＝g＝＝，所以k≥，则实数k的最小值为．]
15．解：(1)设∠A＝α，因为∠ACD＝90°，∠A＝∠BCD，
所以∠B＝90°－2α，
在△ACD中，因为∠ACD＝90°，
所以AC＝AD·cos A＝AD·cos α，
在△ABC中，由＝得＝．
所以AD sin αcos α＝BC cos 2α．
因为2AD＝3BC，所以3sin αcos α＝2cos 2α，
所以3tan α＝2(1－tan2α)，
所以tanα＝或tan α＝－2(舍去)，
所以tan A＝．
(2)由(1)得tan A＝，
所以sin A＝，cos A＝．
因为AC＝6，所以AD＝＝3，所以BC＝2，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝36＋20－24cos (90°＋A)＝80，
所以AB＝4．
16．解：(1)证明：由题意可知，AE，AB，AD两两垂直．以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，F(1，2，1)，依题意知，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，1)，所以·＝0，即BF⊥AB，
因为直线BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE．
(2)由(1)知，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，－2，2)，
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即取z＝1，则n＝(2，2，1)，
设直线CE与平面BDE所成角为θ，
则sin θ＝＝，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为．
(3)设m＝(a，b，c)为平面BDF的法向量，
则即取b＝1，则m＝(1，1，－2)，所以|cos 〈m，n〉|＝＝＝，所以平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为．
17．解：(1)因为f (x)的定义域为(－2，＋∞)，
f′(x)＝－x＝，
当a≤－1时，f′(x)≤0，所以f (x)在(－2，＋∞)上单调递减；
当－1＜a＜0时，
当x∈(－2，－－1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－－1，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＜0，
所以f (x)在(－2，－－1)上单调递减，在(－－1，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减；当a≥0时，f (x)在(－2，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
(2)(ⅰ)若f (x)有两个极值点，
则由(1)知－1＜a＜0，即a的取值范围为(－1，0)．
(ⅱ)证明：由(1)知f (x)的极大值为f (－1)，
因为f (－1)＝a ln (＋1)－(－1)2＜0，
又因为f (－2)＝4－(－2)2＞0，
所以函数f (x)有且只有一个零点．
18．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，c为半焦距，圆O的半径为r．
由题意可得＝，b－r＝1－，r＝，a2＝b2＋c2，
解得a＝，b＝c＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)证明：直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB为⊙O的切线．
①当AB⊥x轴时，假设AB与x轴相交于点M，把x＝－代入椭圆C的方程可得＋y2＝1，解得y＝±，所以|OM|＝|MB|＝|MA|，所以OA⊥OB，所以∠AOB＝90°，
即以AB为直径的圆过原点O．
②当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝kx＋m，
因为直线AB为⊙O的切线，所以＝，化为3m2－2k2－2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化为(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0，
即－m2＋1＋2k2＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(k2＋1)×＋km×＋m2＝＝0，
所以OA⊥OB，
所以以AB为直径的圆过原点O．
综上可得，以AB为直径的圆过定点O．
19．解：(1)(ⅰ)该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(3，0)．
(ⅱ)由题意知0≤m＋n≤3，
P(ξ＝m，η＝n)＝P(ξ＝m|η＝n)·P(η＝n)．
因为P(η＝n)＝C，
P(ξ＝m|η＝n)＝C＝C，
所以P(ξ＝m，η＝n)＝C·C·
＝CC＝·．
(2)证明：由定义及全概率公式知，
P(ξ＝ai)＝P{(ξ＝ai)∩[(η＝b1)∪(η＝b2)∪…∪(η＝bj)]}
＝P{[(ξ＝ai)∩(η＝b1)]∪[(ξ＝ai)∩(η＝b2)]∪…∪[(ξ＝ai)∩(η＝bj)]}
＝P[(ξ＝ai)∩(η＝b1)]＋P[(ξ＝ai)∩(η＝b2)]＋…＋P[(ξ＝ai)∩(η＝bj)]
＝P[(ξ＝ai)∩(η＝bj)]
＝P(ξ＝ai，η＝bj)
＝pij．
7/82026年普通高等学校招生考试仿真卷3
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x＜4}，N＝{x|－2＜x≤3，x∈Z}，则M∩N＝( )
[A]{x|1＜x≤3} [B]{x|1≤x≤3}
[C]{2，3} [D]{1，2，3}
2．在复平面内，复数z1对应的点与复数z2＝对应的点关于实轴对称，则z1＝( )
[A]i [B]i
[C]－i [D]－i
3．已知x，y都是正数，且x＋y＝2，则的最小值为( )
[A] [B]2
[C] [D]3
4．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为( )
[A]y＝x [B]y＝2x
[C]y＝e2x [D]y＝ex
5．如图所示是传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求)，则一共可以传递的不同信息种数是( )
[A]14 [B]12
[C]9 [D]6
6．关于函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，有下列四个说法：
①f (x)的最大值为3；
②f (x)的图象可由y＝3sin x的图象平移得到；
③f (x)的图象上相邻两个对称中心间的距离为；
④f (x)的图象关于直线x＝对称．
若有且仅有一个说法是错误的，则f 的值为( )
[A]－ [B]－
[C] [D]
7．已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为( )
[A] [B]
[C] [D]
8．3D打印属于快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术．已知某鞠(类似今日的足球)的表面上有四个点A，B，C，D，满足任意两点间的直线距离为2 cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为1 g/cm3，不考虑打印损耗，则制作该模型所需原料的质量约为(参考数据：π≈3.14，≈1.41，≈1.73，精确到0.1)( )
[A]113.0 g [B]267.9 g
[C]99.2 g [D]13.8 g
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量a，b不共线，向量a＋b平分a与b的夹角，则下列结论一定正确的是( )
[A]a·b＝0
[B](a＋b)⊥(a－b)
[C]向量a与b在a＋b上的投影向量相等
[D]|a＋b|＝|a－b|
10．某位同学10次考试的物理成绩y(单位：分)与数学成绩x(单位：分)如表所示：
数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77
已知y与x线性相关，且y关于x的经验回归方程为y＝1.1x－5，则下列说法正确的是( )
[A]a＝86
[B]y与x正相关
[C]y与x的相关系数为负数
[D]数学成绩每提高5分，则估计物理成绩能提高5.5分
11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则( )
[A]若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
[B]以PQ为直径的圆与准线l相切
[C]设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥
[D]过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知等差数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，若数列{}是等差数列，则＝________．
13．(3－x2)的展开式中，x2项的系数是________．(用数字作答)
14．已知k＞0，若对于任意的x∈，不等式ekx(kx－ln 2)－2x ln x≥0恒成立，则实数k的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠ACD＝90°，∠A＝∠BCD，2AD＝3BC.
(1)求tan A的值；
(2)若AC＝6，求AB的值．
16.(15分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝CF＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．
17．(15分)已知函数f (x)＝a ln (x＋2)－x2(a∈R)．
(1)讨论函数f (x)的单调性．
(2)若函数f (x)有两个极值点．
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)证明：函数f (x)有且只有一个零点．
18．(17分)已知椭圆C的中心为O，焦点在x轴上，离心率为.圆O在椭圆C的内部，半径为.P，Q分别为椭圆C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1－.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)A，B是椭圆C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上．求证：以AB为直径的圆过定点．
19．(17分)若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ，η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量．设(ξ，η)的一切可能取值为(ai，bj)，i，j＝1，2，…，记pij表示(ai，bj)在Ω中出现的概率，其中pij＝P(ξ＝ai，η＝bj)＝P[(ξ＝ai)∩(η＝bj)].
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ，η)是一个二维随机变量．
(ⅰ)写出该二维离散型随机变量(ξ，η)的所有可能取值；
(ⅱ)若(m，n)是(ⅰ)中的值，求P(ξ＝m，η＝n)(结果用m，n表示)．
(2)P(ξ＝ai)称为二维离散型随机变量(ξ，η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：
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