2026年普通高等学校招生考试仿真卷4
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2＝( )
[A]－2 [B]0
[C]1 [D]2
2．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若A＝{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}，B＝{2，3，4，5，6，7}，则A B＝( )
[A]{1，2，4，6} [B]{2，4，6，9}
[C]{2，3，4，5，6，7} [D]{1，2，4，6，9}
3．已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，且对任意x1，x2，均有f (x1x2)＝f (x1)f (x2)成立，则下列函数中符合条件的是( )
[A]y＝ln |x| [B]y＝x3
[C]y＝2|x| [D]y＝|x|
4．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1＝0，a2＝2，a3＝4，…，若an＝2 024，则n＝( )
[A]34 [B]33
[C]32 [D]30
5．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为( )
[A] [B]
[C] [D]
6．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在y轴上，且∠F1MF2＝120°，若线段MF2的中点恰好在双曲线的渐近线上，则E的离心率为( )
[A] [B]
[C]2 [D]
7.已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，若M，N，将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
[A](k∈Z)
[B](k∈Z)
[C](k∈Z)
[D](k∈Z)
8．已知函数f (x)＝(x＋a)·ex，若对任意x1＞x2＞1都有x1f (x2)－x2f (x1)＜0，则实数a的取值范围是( )
[A](－4，＋∞) [B][－4，＋∞)
[C][－1，＋∞) [D](－1，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．的展开式中，下列结论正确的是( )
[A]展开式共6项
[B]常数项为64
[C]所有项的系数之和为729
[D]所有项的二项式系数之和为64
10．下列说法正确的是( )
[A]若事件A与B相互独立，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，则P(A|B)＝P(A)
[B]在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
[C]若随机变量ξ服从二项分布B，则E(2ξ＋3)＝5
[D]设随机变量X服从正态分布N(0，1)，则P
11．已知函数f (x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)，则下列结论正确的是( )
[A]函数f (x)的一个周期为2π
[B]函数f (x)在上单调递增
[C]函数f (x)的最大值为
[D]函数f (x)的图象关于直线x＝对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设m∈R，i为虚数单位，若集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{－2i，1，2}，且A B，则m＝________．
13．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是________．
14．已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)，斜率为－的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为(－1，1)，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为－，则E的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知函数f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f (2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
(2)求f (x)的单调区间和极值．
16．(15分)在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c＝a cos C．
(1)求；
(2)若cos A＝，且△ABC的面积为，求sin 及a．
17．(15分)如图，四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB＝2，CD＝1，∠ABC＝60°，PC＝3，点M在棱PB上．
(1)当M是棱PB的中点时，求证：CM∥平面PAD；
(2)当直线CM与平面PAB所成的角θ最大时，求平面CAM与平面BAM夹角的大小．
18．(17分)11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10∶10．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率p0；
(3)现用p0估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19．(17分)椭圆E：＝1(a>b>0)的焦点到直线x－3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合．斜率为k的直线l过抛物线G的焦点与椭圆E交于点A，B，与抛物线G交于C，D两点．
(1)求椭圆E及抛物线G的方程；
(2)是否存在常数λ，使为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
6/6高考标准仿真卷·仿真卷4
1．A [因为单位向量e1，e2的夹角为120°，所以(2e1－e2)e2＝2e1e2－＝2|e1||e2|cos 120°－|e2|2＝2×1×1×－12＝－2．故选A．]
2．D [由题图可知，A B＝{x|x∈(A∪B)，且x (A∩B)}，
因为A＝{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，4，5，6，7}，
则A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{3，5，7}，
因此，A B＝{1，2，4，6，9}．故选D．]
3．D [对于A，y＝ln |x|的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B，y＝x3是奇函数，故B错误；对于C，2|x1x2|＝(2|x1|)|x2|，故C错误；对于D，|x1x2|＝|x1|·|x2|，且y＝|x|是R上的偶函数，故D正确．故选D．]
4．B [由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，则一位自然数有3个，两位自然数有＝6(个)，三位自然数有＝18(个)，由0，2，4组成可重复数字的四位自然数，按从小到大的顺序依次为2 000，2 002，2 004，2 020，2 022，2 024，…，故2 024为第6个四位自然数．因为an＝2 024，则n＝3＋6＋18＋6＝33．故选B．]
5．C [根据题意，设r1＝a，圆台的内切球的半径为R，则r2＝2r1＝2a，R＝2，如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底面分别切于点O1，O2，则有ED＝a，EA＝2a．又易知OD，OA分别为∠EDO1，∠EAO2的平分线，所以∠DOA＝90°．在Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝ED·EA，即4＝2a2，解得a＝．因为半径为2的球与圆台的上、下底面均相切，则圆台的高h＝2R＝4，故圆台的体积V＝ h＝．故选C．]
6．A [不妨设M在y轴的正半轴，设M(0，t)，t＞0，由于△MF1F2为等腰三角形，∠F1MF2＝120°，所以t＝c，故设MF2的中点为N，由于F2(c，0)，所以N，N在渐近线y＝x上，，所以，所以e＝．故选A．]
7．C [根据函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象，M，
得A＝2，，所以ω＝2，
再根据五点法作图，得2×＋φ＝π＋2kπ，
所以φ＝－，故f (x)＝2cos ．
将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝2cos ＝－2cos 的图象，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，求得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
则函数g(x)的单调递增区间为?，k∈Z．故选C．]
8．B [令g(x)＝(x＞1)，对任意x1＞x2＞1都有x1f (x2)－x2f (x1)＜0，即对任意x1＞x2＞1，＞，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以g′(x)＝≥0，即当x＞1时，x2＋ax－a≥0恒成立，分离参数a，得－a≤＋2(x＞1)，因为当x＞1时，x－1＋，所以－a≤4，所以a≥－4．故选B．]
9．CD [的展开式共有7项，所有项的二项式系数之和为26＝64，所以选项A错误，选项D正确；展开式的通项Tk＋1＝x6-2k，令6－2k＝0，得k＝3，所以常数项为＝160，所以选项B错误；在中，令x＝1，得所有项的系数之和为36＝729，所以选项C正确．故选CD．]
10．ABC [若事件A与B相互独立，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，可得P(AB)＝P(A)·P(B)，则P(A|B)＝＝P(A)，故A正确；
在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故B正确；
若随机变量ξ服从二项分布B，则E(ξ)＝1，
E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝5，故C正确；
随机变量X服从正态分布N(0，1)．
可得μ＝0，σ2＝1，则P，故D错误．故选ABC．]
11．ABD [对于A，因为f (x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)，所以f (x＋2π)＝sin [sin (x＋2π)]＋cos [cos (x＋2π)]＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f (x)，所以函数f (x)的一个周期为2π，所以A正确；对于B，f ′(x)＝cos (sin x)·cos x－sin (cos x)·(－sin x)＝cos x·cos (sin x)＋sin x·sin (cos x)>0在上恒成立，所以函数f (x)在上单调递增，所以B正确；对于C，因为＝sin 1＋cos 0＝sin 1＋1>>，所以函数f (x)的最大值不为，所以C错误；对于D，f (π－x)＝sin [sin (π－x)]＋cos [cos (π－x)]＝sin (sin x)＋cos (－cos x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝对称，所以D正确．故选ABD．]
12．1 [根据题意，得2m＋(m－1)i＝－2i(无解)或2m＋(m－1)i＝2，解得m＝1．]
13． [因为甲、乙两班人数之比为5∶3，所以设甲班人数为5n，乙班人数为3n，则甲班女生人数为3n，乙班女生人数为n，所以进行民意调查的人数为8n，其中女生人数为4n，所以遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率P＝．]
14． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，线段AB，CD的中点分别为M(xM，yM)，N(xN，yN)．因为两式相减得，所以yM＝－·xM，同理得yN＝－·xN．因为kAB＝kCD，所以AB∥CD，所以不妨令＝k(k＞0)，则，所以＝k＝k．又与有公共点P，所以P，M，N三点共线，所以，
即，
整理得(xM－xN)＝0．
因为xM≠xN，所以1－＝0，所以，所以E的离心率e＝．]
15．解：(1)f ′(x)＝＋2x＋a，x＞0，
由题意知f ′(2)＝，即，所以a＝－3．
(2)f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由(1)知f (x)＝ln x＋x2－3x＋2，
f ′(x)＝．
当x∈时，f ′(x)＞0；
当x∈时，f ′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0．
所以f (x)的单调递增区间是，(1，＋∞)，单调递减区间是．
当x＝时，f (x)取得极大值f －ln 2；
当x＝1时，f (x)取得极小值f (1)＝0．
16．解：(1)因为c＝a cos c，
所以由正弦定理及题意可得sin C－cos A sin C＝sin A cos C，
即sin C＝sin C cos A＋sin A cos C＝sin (A＋C)，
而sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
所以c＝b，故．
(2)由(1)知cos A＝，则sin A＝，
所以sin 2A＝2sin A cos A＝2×，cos 2A＝cos2A－sin2A＝，
所以sinsin 2A＋＝．
又S△ABC＝bc sin A＝，所以c＝3，b＝3，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝27＋9－2×3＝27，解得a＝3．
17．解：(1)证明：取PA的中点N，连接MN，DN，因为M是PB的中点，故MN为△PAB的中位线，即MN∥AB，且MN＝AB，又AB＝2，CD＝1，且AB∥CD，CD＝AB，所以MN∥CD且MN＝CD，所以四边形MNDC为平行四边形，所以CM∥DN，因为CM 平面PAD，DN 平面PAD，所以CM∥平面PAD．
(2)过点C作CC′⊥AB于点C′，则以点C为坐标原点，分别以CD，CC′，CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则P(0，0，3)，C(0，0，0)，D(1，0，0)，
B，则＝(－2，0，0)．
设平面PAB的法向量m＝(x，y，z)，
则即
取y＝，则z＝，则m＝．
设，又，
则，
所以cos θ＝＝，
即λ＝时，cos θ最大．
此时，M，所以．又，
设平面CAM的法向量n＝(a，b，c)，
则
取a＝2，则b＝－2，c＝12，所以n＝．
所以mn＝0×2＋＋×12＝0，
所以m⊥n，
所以平面CAM与平面BAM夹角的大小为90°．
18．解：(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2．
设“打成10∶10后，甲先发球”为事件A，
则“打成10∶10后，乙先发球”为事件，
且P(A)＝P＝，
所以P(X＝0)＝P(A)·P·P＝，
P(X＝1)＝P(A)·P·P＝，
P(X＝2)＝P(A)·P·P＝，
所以X的分布列为
故X的均值E(X)＝0×．
(2)设“第一局比赛甲获胜”为事件B，
由(1)可得P(B|X＝0)＝0，P(B|X＝1)＝P(B)，P(B|X＝2)＝1．
因为P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
所以由全概率公式得
P(B)＝P(X＝0)P(B|X＝0)＋P(X＝1)P(B|X＝1)＋P(X＝2)P(B|X＝2)＝P(B)＋×1，
解得P(B)＝，即第一局比赛甲获胜的概率p0＝．
(3)由(2)知p0＝，故估计甲每局获胜的概率均为，
设甲获胜时的比赛总局数为Y，则Y＝3，4，5．
因为每局的比赛结果相互独立，
所以P(Y＝3)＝，P(Y＝4)＝，
P(Y＝5)＝，
故该场比赛甲获胜的概率P＝P(Y＝3)＋P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝．
19．解：(1)设椭圆E与抛物线G的公共焦点为F(c，0)，由题意得
联立解得c＝2，a＝，b＝1，p＝4，
所以椭圆E：＋y2＝1，抛物线G：y2＝8x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
直线l的方程为y＝k(x－2)，与椭圆E的方程联立得化简得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
则Δ1＝400k4－20(5k2＋1)(4k2－1)＝20(k2＋1)>0．
所以x1＋x2＝，
|AB|＝＝
＝．
将直线l的方程y＝k(x－2)与抛物线G的方程联立得化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0．
则Δ2＝(4k2＋8)2－16k4＝64(k2＋1)>0，x3＋x4＝．
|CD|＝x3＋x4＋4＝，
所以．
要使为常数，则20＋λ＝4，得λ＝－．
故存在λ＝－，使为常数．
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