【高考快车道】第一阶段 专题一 培优课2 三角函数中ω，φ的范围问题 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略

(共42张PPT)
第一阶段　突破核心　升华思维
专题一　三角函数与解三角形
培优课2　三角函数中ω，φ的范围问题
三角函数中ω，φ的范围求解问题是高考的重点和热点问题之一，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，解决这类问题的一般思路是利用“团体”思想，数形结合求解．
类型3　零点与ω，φ的取值范围
类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
（一）
类型2　单调性与ω，φ的取值范围
（二）
（三）
培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题
（四）
类型1　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
【典例1】　(1)(2024·浙江温州一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域为，则ω的取值范围是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
(2)(2024·云南楚雄模拟)若函数f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，则φ的取值范围是________．
√
(1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈．
显然当x＝0时，可得2sin ＝－，
由f (x)的值域为，利用三角函数图象性质可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范围是．
故选D．
(2)因为x∈，所以4x＋φ∈，因为－π<φ<π，所以－<＋φ<，
则 解得－<φ<．
故φ的取值范围是．]
求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的取值范围．
[跟进训练]
1．(1) (2024·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝sin (x＋φ)，0<φ<π，若函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，则φ的取值范围是(　　)
A．
C．
(2)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在内有5个极值点，则ω的取值范围是________．
√
(1)D　(2)　[(1)若0≤x＜，则φ≤x＋φ＜＋φ，又因为0<φ<π，函数f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，所以当＋φ≥π，即φ≥时，只需满足＋φ≤，此时≤φ≤；当＋φ<π，即φ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则－φ<＋φ－，此时，<φ<．综上，<φ≤，即φ的取值范围是．故选D．
(2)函数f (x)的最小正周期T＝，
将函数f (x)的图象向右平移后的解析式为
f ＝sin ＝sin ，
由x∈，可得ωx－∈，
要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需<，解得<ω≤．]
类型2　单调性与ω，φ的取值范围
【典例2】　(1)(2024·河北唐山二模)函数f (x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A．
C．
(2)(2024·山东威海模拟)已知函数f (x)＝tan (ω>0)在上是增函数，则ω的取值范围是________．
√
(1)C　(2)　[(1)由x∈，可得2x－φ∈，
又|φ|≤，则－φ≤，且f (x)在上单调递增，所以解得≤φ≤，
即φ的取值范围为．故选C．
(2)根据题意，，解得ω≤1，又ω>0，则ω∈(0，1]．
当x∈，ωx－∈，
由题可得－ω－≥－ω－，解得ω≤．
综上所述，ω的取值范围是．]
若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．
[跟进训练]
2．(1)若直线x＝是曲线y＝sin (ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin 在区间上不单调，则ω的最小值为(　　)
A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3
(2)已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)，若g(x)在上单调，则φ的最小值为________．
√
(1)C　(2)　[(1)因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，
则ω－＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－，得－≤x≤，
则函数y＝sin 在上单调递增，
而函数y＝sin 在区间上不单调，
则<，解得ω>9，所以ω的最小值为11．
(2)∵函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
∴函数f (x)的图象向左平移φ个单位长度后得到g(x)＝2sin ＝2sin ，
当－≤x≤时，2φ－≤2x＋2φ＋≤2φ＋，
又g(x)在上单调，
由正弦函数的单调性可知， (k∈Z)或 (k∈Z)．
要使φ最小，则k取0，
故有或
结合φ>0，解得≤φ≤，综上，φ的最小值为．]
类型3　零点与ω，φ的取值范围
【典例3】　(1)(2024·广东六校联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若任意φ∈R，f (x)在上有零点，则ω的取值范围为
(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
√
(2)(2024·山西晋城二模)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　)
A．
C．
√
(1)C　(2)C　[(1)由x∈，可得ωx＋φ∈，
令t＝ωx＋φ，因为任意φ∈R，f (x)在上有零点，
则sin t＝0在上有解，
又因为sin t＝0在内有解的最短区间长度为b－a＝π，所以＋φ－φ>π，解得ω>2．故选C．
(2)将函数f (x)＝2sin 的图象向右平移φ个单位长度，得g(x)＝2sin 的图象，
由0＜x＜φ，得－3φ＜3x＋－3φ＜，
又g(x)在(0，φ)上恰有2个零点，所以－2π≤－3φ＜－π，
解得＜φ≤，即实数φ的取值范围为．故选C．]
已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点即可．
[跟进训练]
3．(1)(2024·江苏连云港模拟)设函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，则实数ω的取值范围是
____________________．
(2)(2024·陕西西安二模)已知函数f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若
f ＝3，f ＝0，且f (x)在区间上没有零点，则ω的一个取值为____________________________________．
(答案不唯一，，2，，6均可)
(1)　(2)(答案不唯一，，2，，6均可)　[(1)因为函数f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一个零点，
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解．
现令方程sin ＝(ω>0)在上至少有两个解，
所以ωπ－≤ωx－≤2ωπ－，
所以 k∈Z，
解得k∈Z，所以＋k≤ω≤＋2k，k∈Z．
又因为＋k≤＋2k，k∈Z，所以k≥－，k∈Z，
所以k＝0，1，2，…，
所以≤ω≤或ω≥．
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一个解时， ω∈．
(2)由题意，在f (x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)中，f ＝3，f ＝0，
所以
所以k1，k2∈Z，
两式相减得ω＝(k2－2k1)π＋，
所以ω＝(k2－2k1)＋，即ω＝，n∈Z，
因为x∈，ω>0，所以ωx＋φ∈，
令ωx＋φ＝t，t∈，
由题意知y＝3cos t在t∈上无零点，故 ，k∈Z，
所以k∈Z，
即k∈Z，
两式相加得－ω≥－π，
所以0<ω≤6，
又ω＝，n∈Z，
所以，当n＝0时，ω＝；当n＝1时，ω＝2；当n＝2时，ω＝；当n＝3时，ω＝；当n＝4时，ω＝6，
所以ω的取值有5个，取其中一个填写即可．]
1．(2024·浙江杭州二模)设甲：“函数f (x)＝2sin ωx在上单调递增”，乙：“0<ω≤2”，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件　　　
D．既不充分也不必要条件
2
4
3
题号
1
5
√
6
培优专练2　三角函数中ω，φ的范围问题
2
4
3
题号
1
5
6
A　[若“函数f (x)＝2sin ωx在单调递增”，则ω>0，
由－≤ωx≤得－≤x≤，
则解得0<ω≤．
所以甲是乙的充分不必要条件．故选A．]
2
4
3
题号
1
5
6
2．(2024·江苏淮安模拟)已知函数f (x)＝2cos (ω>0)在上恰有2个零点，则ω的取值范围为(　　)
A．[18，22)　　　　 B．[22，42)
C．(18，22] D．(22，42]
√
2
4
3
题号
1
5
6
B　[因为x∈，所以ωx＋∈．
令2cos ＝0，则cos ＝．
因为f (x)＝2cos 在上有2个零点，
所以<，解得22≤ω<42．
则ω的取值范围为[22，42)，故选B．]
2
4
3
题号
1
5
6
3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x)>2对任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A．
C．
√
2
4
3
题号
1
5
6
D　[因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，
由f (x)>2知sin (2x＋φ)>，
又当x∈时，2x＋φ∈，且|φ|≤，
所以解得≤φ≤．故选D．]
2
4
3
题号
1
5
6
4．(多选)(2024·海南三亚一模)已知函数f (x)＝sin(ω>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若ω＝1，则是f (x)的图象的对称中心
B．若f (x)≤f 恒成立，则ω的最小值为2
C．若f (x)在上单调递增，则0<ω≤
D．若f (x)在上恰有2个零点，则≤ω≤
√
√
√
2
4
3
题号
1
5
6
ABC　[选项A，若ω＝1，
则f ＝sin ＝sin π＝0，
由正弦函数的图象可知是f (x)的图象的对称中心，A说法正确；
选项B，若f (x)≤f 恒成立，则ω×＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋12k(k∈Z)，
又ω>0，所以ω的最小值为2，B说法正确；
2
4
3
题号
1
5
6
选项C，令g(x)＝ωx＋(ω＞0)，显然g(x)在上单调递增，且g(0)＝，
若f (x)在上单调递增，则g＝ω×，解得ω≤，所以0<ω≤，C说法正确；
选项D，当x∈时，ωx＋∈，
若f (x)在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D说法错误．故选ABC．]
2
4
3
题号
1
5
6
3或4　[由x∈，得ωx＋∈，
画出函数y＝sin x的图象，如图，
由图可知，<，解得<ω≤．
因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．]
5．已知函数f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值是________．
3或4
2
4
3
题号
1
5
6
6．(2024·福建厦门二模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f ＝f ＝－f ，则ω的可能取值为_________．
　[设f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为T，函数f (x)在上单调，故T＝≥2＝π，所以0<ω≤2．
由f ＝－f 以及函数f (x)在上单调，得f ＝f ＝0，
由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－，
若＝T，则＝，∴ω＝；若＝－，则＝－，所以ω＝；
若＝－，则＝－，所以ω＝．
故ω的可能取值为．]
2
4
3
题号
1
5
6
THANK YOU