【高考快车道】第一阶段 专题一 培优课3 与解三角形有关的最值、范围问题 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略
文档属性
| 名称 | 【高考快车道】第一阶段 专题一 培优课3 与解三角形有关的最值、范围问题 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 22.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-06 00:00:00 | ||
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文档简介
(共73张PPT)
第一阶段 突破核心 升华思维
专题一 三角函数与解三角形
培优课3 与解三角形有关的最值、范围问题
在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
类型3 求面积的最值(范围)问题
类型1 求角(函数值)的最值(范围)问题
（一）
类型2 求边(周长)的最值(范围)问题
（二）
（三）
培优专练3 与解三角形有关的最值、范围问题
（四）
类型1 求角(函数值)的最值(范围)问题
【典例1】 (1)(2024·福建厦门三模)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝，则B的取值范围是________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求：
①角C的大小；
②sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
(1) [因为2cos C＝，
所以2ab cos C＝3b2－a2，
由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
可得b2＝a2－c2，在锐角△ABC中，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝＝，
因为即即2a2>c2，
所以<，所以cos B＝<＝，所以B∈．]
(2)[解] ①因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B，
所以1－2sin2A＋1－2sin2B－＝1－2sinA sin B，
整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推论得cos C＝＝，
因为C∈，所以C＝．
②sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋
＝sin A＋cos A＋＝sin ．
在△ABC中，因为C＝，所以0所以所以所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为．
三角形中的最值与范围问题的两种解决方法
(1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；
(2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围．
提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞；
②若A＝，则＜B＜＜C＜．
[跟进训练]
1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________．
[因为a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，
所以由正弦定理可得b＋c＝3．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
整理得cos A＝－1．
因为bc≤＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立，
所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sinA≤．]
2．(2024·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________．
[因为a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A，
又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B．
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由得A＝－2B>0，可得0＝sin (B＋C)＋sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sinB＋1
＝－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．]
【教师备选资源】
在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝
3sin A·sin B·cos C，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)求的值；
(2)求cos C的最小值．
[解] (1)由已知条件及正弦定理可得，
bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C，
由余弦定理的推论得，
bc·＋2ac·＝3ab·，
化简得＋a2＋c2－b2＝，
从而得3c2－a2－2b2＝0，即a2＋2b2＝3c2，
∴＝＝3．
(2)由余弦定理的推论得，
cos C＝＝
＝＝＝．
∵在△ABC中a，b均大于0，
∴cos C＝≥2＝，
当且仅当＝，即b2＝2a2时取等号，∴cos C的最小值为．
类型2 求边(周长)的最值(范围)问题
【典例2】 (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；(2)求的最小值．
[解] (1)因为＝＝＝，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝．
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cos C＝sin ，
所以C＝＋B，即有A＝－2B．
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5，
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5．
求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解．
[跟进训练]
3．(2024·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是( )
A．(0，6) B．(0，2)
C．(，2) D．(，6)
√
C [由正弦定理得b＝＝＝2sin B，
又△ABC为锐角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B，
所以0°解得30°所以b＝2sin B∈(，2)．
故选C．]
4．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为．
(1)求C；(2)求△ABC周长的最小值．
[解] (1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，
则cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝．
(2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3，
由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝，
△ABC周长l＝a＋b＋≥2＝2＝3，
当且仅当a＝b＝时取等号，所以△ABC周长的最小值为3．
【教师备选资源】
1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________．
－1
－1 [设CD＝2BD＝2m>0，
则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
所以＝＝＝4－
≥4－＝4－2，
当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立，
所以当取最小值时，BD＝m＝－1．]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，则△ABC周长的取值范围为________________．
(2，3] [因为cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C，
所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C
＝sin ＝sin A，
(2，3]
因为A，B∈，则sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得
3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝，
所以≤12，即a＋c≤2，
当且仅当a＝c＝时，等号成立．
又a＋c>b＝，故2故△ABC周长的取值范围为(2，3]．]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－asin C＝b．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值．
[解] (1)因为acos C－asin C＝b，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B．
因为A＋B＋C＝π，
所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)，
所以－sin A sin C＝cos A sin C，
因为sin C>0，所以tan A＝－．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以4＝b2＋c2＋bc，①
即4－bc＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤．
因为AD为BC边上的中线，所以＝)，
所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，②
由①得b2＋c2＝4－bc，③
代入②得||2＝1－bc≥1－＝，
所以AD≥，AD长度的最小值为．
类型3 求面积的最值(范围)问题
【典例3】 (1)在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B． C． D．
(2)(2024·山东济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°．
①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小；
②若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值．
√
(1)B [AD为中线，则2＝，
两边平方得4＝＋2，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤．故选B．]
(2)[解] ①在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°，
由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝．
又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，
得sin ∠ADC＝，
因为AC②连接BD(图略)．在Rt△BCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝2，∠CBD＝60°．
所以，四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD＝＋2sin ∠ABD，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°，
所以当∠ABD＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2，
即四边形ABCD面积的最大值为＋2．
求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
[跟进训练]
5．(2024·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________．
[因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C，
所以由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C．
又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，则sinC＝，cos C＝，
由余弦定理以及重要不等式得：
1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，
即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤，
即△ABC面积的最大值为．]
6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0．
(1)求角A；
(2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值．
[解] (1)∵2b＋c＝2a cos C，
由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C，
则2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C，
即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C＝2sin A cos C，
则2cos A sin C＋sin C＝0．
∵sin C>0且A∈(0，π)，∴cos A＝－，∴A＝．
(2)如图，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝．
因为S△ABC＝S△AEB＋S△AEC，
所以bc sin ∠BAC＝c·AE·sin ∠BAE＋b·AE·sin ∠CAE，
又因为AE＝1，所以bc sin ＝c sin ＋b sin ，即bc＝c＋b．
又bc＝c＋b≥2＝，
当且仅当c＝b时，等号成立，
所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝，
所以△ABC的面积的最小值为．
【教师备选资源】
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c sin ．
(1)求C；
(2)若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，＝，求四边形ABCD面积的最大值．
[解] (1)因为b＝2c sin ，
在△ABC中，由正弦定理得，sin B＝2sin C sin ．
又因为sin B＝sin ＝sin ，
所以sin ＝2sin C sin ，
展开得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C，
即sin A cos C－sin C sin A＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
故cos C＝sin C，即tan C＝．又因为C∈，所以C＝．
(2)法一：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为＝，所以＝0，即＝0，所以DA⊥BA，
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2．
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD
＝xy≤＝＋1，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法二：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影为λ||，所以＝λ．
又＝＝，所以λ＝1，
所以在上的投影为||，所以DA⊥BA．
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2，
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈，
则CB＝2cos θ，CD＝2sin θ，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ，
当2θ＝时，S最大，所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法三：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，
故△ABC外接圆⊙O的半径R＝1．
即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝．
如图2，以△ABC外接圆的圆心为原点，
OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，
则A，B(1，0)．
因为C，D为单位圆上的点，设C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)，
其中α∈，β∈．
所以＝＝(cos β－1，sin β)，
代入＝，即＝1，
可得－cos β＋sin β＝1，即sin ＝．
由β∈可知β－∈，
所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π．
当β＝时，A，D重合，舍去；当β＝π时，BD是⊙O的直径．
设四边形ABCD的面积为S，
则S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝，
由α∈知≤1，所以当α＝时，
即C的坐标为时，S最大，
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为( )
A． B． C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
培优专练3 与解三角形有关的最值、范围问题
A [设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立．因为02．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin ＝
b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为( )
A．
C．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
B [由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A，
∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0，
∴sin ＝，∴＝，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，
∴1≥2ac－ac＝ac，∴(S△ABC)max＝×1×＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(2，3)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
B [由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B，
由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B
＝sin A，
所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A，
由正弦定理得，b＝＝＝2cos A，
而0题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为
( )
A．
C．D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
A [由题意得∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝，
所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0，
即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝ bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法中正确的是( )
A．B＝
B．A的取值范围为
C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2
D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
√
√
ABD [对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B，
即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B，
即sin B＝cos B，
故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确；
对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误；
对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝c×＝，
由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝，
即S＝＝＝＝＝，
由A∈，则tan A∈，
故S∈，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，＝2S，则下列说法中正确的是
( )
A．A＝
B．若b＝2，则△ABC只有一解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4]
D．若D为BC边的中点，则AD的最大值为2＋
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
√
√
ABD [对于A，因为＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，则tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；
对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈，
则则即sin B∈，由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C错误；
对于D，若D为BC边的中点，则＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4，
又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，当且仅当b＝c＝时取等号，
所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4，
即AD≤＝2＋，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图．
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB
＝20－16cos ∠ADB，
7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
在△ACD中，由余弦定理得，
AC 2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC
＝20－16cos ∠ADC，
而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，两式相加得AB2＋
AC 2＝40，
于是2AB·AC≤AB2＋AC 2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号．
在△ABC中，
cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
9
9 [因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，
化简得ac＝a＋c，
又a>0，c>0，所以＝1，
则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当c＝2a＝3时取等号，
故4a＋c的最小值为9．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2．
(1)求证：C＝2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值．
题号
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[解] (1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C，
得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C，
所以sin B＝sin A－2sin B cos C，
又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－
sin B cos C＝sin (C－B)，
又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证．
题号
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(2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B，
令t＝cos B－sin B＝sin ，
又因为△ABC为锐角三角形，所以
得到题号
1
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又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝，
所以t∈，
又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2，
所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为．
题号
1
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10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝．
(1)若∠ABC＝，求BC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值．
题号
1
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[解] (1)连接BD．
因为AB＝AD＝20，∠BAD＝，
故△ABD为等边三角形，所以BD＝20，
所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝，
则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝．
题号
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(2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝，
所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立．
因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋．
题号
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THANK YOU
第一阶段 突破核心 升华思维
专题一 三角函数与解三角形
培优课3 与解三角形有关的最值、范围问题
在解三角形中，求解某个量(式子)的取值范围、最值是高考命题的热点，解决此类问题的常用的方法主要有函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等．
类型3 求面积的最值(范围)问题
类型1 求角(函数值)的最值(范围)问题
（一）
类型2 求边(周长)的最值(范围)问题
（二）
（三）
培优专练3 与解三角形有关的最值、范围问题
（四）
类型1 求角(函数值)的最值(范围)问题
【典例1】 (1)(2024·福建厦门三模)记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2cos C＝，则B的取值范围是________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求：
①角C的大小；
②sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
(1) [因为2cos C＝，
所以2ab cos C＝3b2－a2，
由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
可得b2＝a2－c2，在锐角△ABC中，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝＝，
因为即即2a2>c2，
所以<，所以cos B＝<＝，所以B∈．]
(2)[解] ①因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B，
所以1－2sin2A＋1－2sin2B－＝1－2sinA sin B，
整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推论得cos C＝＝，
因为C∈，所以C＝．
②sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋
＝sin A＋cos A＋＝sin ．
在△ABC中，因为C＝，所以0
三角形中的最值与范围问题的两种解决方法
(1)基本不等式法：将所求表达式转化为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；
(2)函数性质法：将所求表达式转化为某一个角的函数，结合函数的性质确定所求表达式的范围．
提醒：注意在锐角△ABC中隐含着：①A＋B＞；
②若A＝，则＜B＜＜C＜．
[跟进训练]
1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，则sin A的最大值为________．
[因为a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，
所以由正弦定理可得b＋c＝3．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
整理得cos A＝－1．
因为bc≤＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立，
所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sinA≤．]
2．(2024·山西太原模拟)钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B＝c sin A，则sin A＋sin B的最大值是________．
[因为a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A，
又因为A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，则C＝－B或C＝＋B．
当C＝－B时，可得A＝，与△ABC是钝角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由得A＝－2B>0，可得0
＝－2＋，
所以当sin B＝时，sin A＋sin B的最大值为．]
【教师备选资源】
在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝
3sin A·sin B·cos C，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)求的值；
(2)求cos C的最小值．
[解] (1)由已知条件及正弦定理可得，
bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C，
由余弦定理的推论得，
bc·＋2ac·＝3ab·，
化简得＋a2＋c2－b2＝，
从而得3c2－a2－2b2＝0，即a2＋2b2＝3c2，
∴＝＝3．
(2)由余弦定理的推论得，
cos C＝＝
＝＝＝．
∵在△ABC中a，b均大于0，
∴cos C＝≥2＝，
当且仅当＝，即b2＝2a2时取等号，∴cos C的最小值为．
类型2 求边(周长)的最值(范围)问题
【典例2】 (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；(2)求的最小值．
[解] (1)因为＝＝＝，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝．
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cos C＝sin ，
所以C＝＋B，即有A＝－2B．
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5，
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5．
求边(周长)的最值(范围)问题一般通过正弦、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用基本不等式或函数最值求解．
[跟进训练]
3．(2024·海南海口一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，A＝60°，则b的取值范围是( )
A．(0，6) B．(0，2)
C．(，2) D．(，6)
√
C [由正弦定理得b＝＝＝2sin B，
又△ABC为锐角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B，
所以0°
故选C．]
4．(2024·江苏盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面积为．
(1)求C；(2)求△ABC周长的最小值．
[解] (1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，
则cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝．
(2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3，
由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝，
△ABC周长l＝a＋b＋≥2＝2＝3，
当且仅当a＝b＝时取等号，所以△ABC周长的最小值为3．
【教师备选资源】
1．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________．
－1
－1 [设CD＝2BD＝2m>0，
则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
所以＝＝＝4－
≥4－＝4－2，
当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立，
所以当取最小值时，BD＝m＝－1．]
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，则△ABC周长的取值范围为________________．
(2，3] [因为cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C，
所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C
＝sin ＝sin A，
(2，3]
因为A，B∈，则sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得
3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝，
所以≤12，即a＋c≤2，
当且仅当a＝c＝时，等号成立．
又a＋c>b＝，故2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C－asin C＝b．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值．
[解] (1)因为acos C－asin C＝b，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B．
因为A＋B＋C＝π，
所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)，
所以－sin A sin C＝cos A sin C，
因为sin C>0，所以tan A＝－．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以4＝b2＋c2＋bc，①
即4－bc＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤．
因为AD为BC边上的中线，所以＝)，
所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，②
由①得b2＋c2＝4－bc，③
代入②得||2＝1－bc≥1－＝，
所以AD≥，AD长度的最小值为．
类型3 求面积的最值(范围)问题
【典例3】 (1)在△ABC中，A＝，BC边上的中线AD＝，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B． C． D．
(2)(2024·山东济南二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°．
①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小；
②若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值．
√
(1)B [AD为中线，则2＝，
两边平方得4＝＋2，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤．故选B．]
(2)[解] ①在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°，
由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝．
又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，
得sin ∠ADC＝，
因为AC
所以，四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD＝＋2sin ∠ABD，
因为∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°，
所以当∠ABD＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2，
即四边形ABCD面积的最大值为＋2．
求三角形面积的最值(范围)的两种思路
(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．
(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc的最值从而求出三角形面积的最值．
[跟进训练]
5．(2024·山东烟台二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，则△ABC面积的最大值为________．
[因为(a2＋b2－c2)＝ab sin C，
所以由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C．
又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，则sinC＝，cos C＝，
由余弦定理以及重要不等式得：
1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，
即ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤，
即△ABC面积的最大值为．]
6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0．
(1)求角A；
(2)射线AB绕A点旋转90°交线段BC于点E，且AE＝1，求△ABC的面积的最小值．
[解] (1)∵2b＋c＝2a cos C，
由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C，
则2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C，
即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C＝2sin A cos C，
则2cos A sin C＋sin C＝0．
∵sin C>0且A∈(0，π)，∴cos A＝－，∴A＝．
(2)如图，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝．
因为S△ABC＝S△AEB＋S△AEC，
所以bc sin ∠BAC＝c·AE·sin ∠BAE＋b·AE·sin ∠CAE，
又因为AE＝1，所以bc sin ＝c sin ＋b sin ，即bc＝c＋b．
又bc＝c＋b≥2＝，
当且仅当c＝b时，等号成立，
所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝，
所以△ABC的面积的最小值为．
【教师备选资源】
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c sin ．
(1)求C；
(2)若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，＝，求四边形ABCD面积的最大值．
[解] (1)因为b＝2c sin ，
在△ABC中，由正弦定理得，sin B＝2sin C sin ．
又因为sin B＝sin ＝sin ，
所以sin ＝2sin C sin ，
展开得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C，
即sin A cos C－sin C sin A＝0，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
故cos C＝sin C，即tan C＝．又因为C∈，所以C＝．
(2)法一：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为＝，所以＝0，即＝0，所以DA⊥BA，
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2．
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，BC＝x，CD＝y，则x2＋y2＝4，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD
＝xy≤＝＋1，
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法二：如图1，设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影为λ||，所以＝λ．
又＝＝，所以λ＝1，
所以在上的投影为||，所以DA⊥BA．
故BD是⊙O的直径，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2，
在△ABD中，AD＝＝．
设四边形ABCD的面积为S，∠CBD＝θ，θ∈，
则CB＝2cos θ，CD＝2sin θ，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ，
当2θ＝时，S最大，所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
法三：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，
故△ABC外接圆⊙O的半径R＝1．
即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝．
如图2，以△ABC外接圆的圆心为原点，
OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，
则A，B(1，0)．
因为C，D为单位圆上的点，设C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)，
其中α∈，β∈．
所以＝＝(cos β－1，sin β)，
代入＝，即＝1，
可得－cos β＋sin β＝1，即sin ＝．
由β∈可知β－∈，
所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π．
当β＝时，A，D重合，舍去；当β＝π时，BD是⊙O的直径．
设四边形ABCD的面积为S，
则S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝，
由α∈知≤1，所以当α＝时，
即C的坐标为时，S最大，
所以四边形ABCD面积的最大值为＋1．
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为( )
A． B． C． D．
题号
1
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√
培优专练3 与解三角形有关的最值、范围问题
A [设AB＝x，x>0，由余弦定理的推论可得
cos B＝＝＝≥2＝，当且仅当x＝2时，等号成立．因为0
b sin A，b＝1，则△ABC面积的最大值为( )
A．
C．
题号
1
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√
B [由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A，
∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0，
∴sin ＝，∴＝，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时取等号)，
∴1≥2ac－ac＝ac，∴(S△ABC)max＝×1×＝．故选B．]
题号
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3．(2024·江苏连云港模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，则边b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(2，3)
题号
1
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√
B [由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B，
由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B
＝sin A，
所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A，
由正弦定理得，b＝＝＝2cos A，
而0
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4．(2024·黑龙江哈尔滨三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，BC边上的中线AD长为1，则bc的最大值为
( )
A．
C．D．2
题号
1
3
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2
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√
A [由题意得∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，又a＝，且D是BC的中点，所以DB＝DC＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝，
所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0，
即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝ bc≤，当且仅当b＝c＝时取等号．故选A．]
题号
1
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5．(多选)(2024·贵州黔南二模)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则下列说法中正确的是( )
A．B＝
B．A的取值范围为
C．若b＝，则△ABC的外接圆的半径为2
D．若a＝，则△ABC的面积的取值范围为
题号
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7
9
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√
√
√
ABD [对于A，由题意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B，
即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B，
即sin B＝cos B，
故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正确；
对于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正确；
题号
1
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对于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C错误；
对于D，若a＝，则S＝ac sin B＝c×＝，
由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝，
即S＝＝＝＝＝，
由A∈，则tan A∈，
故S∈，故D正确．故选ABD．]
题号
1
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10
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，＝2S，则下列说法中正确的是
( )
A．A＝
B．若b＝2，则△ABC只有一解
C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2，4]
D．若D为BC边的中点，则AD的最大值为2＋
题号
1
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10
√
√
√
ABD [对于A，因为＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，则tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；
对于B，因为b＝2＝a，则B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正确；
题号
1
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对于C，若△ABC为锐角三角形，则B∈，C∈，
则则
对于D，若D为BC边的中点，则＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)，
题号
1
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10
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4，
又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，当且仅当b＝c＝时取等号，
所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4，
即AD≤＝2＋，故D正确．故选ABD．]
题号
1
3
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[依题意，CD＝BD＝2，AD＝4，如图．
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB
＝20－16cos ∠ADB，
7．已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，且BD＝2，AD＝4，则cos ∠BAC的最小值为________．
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在△ACD中，由余弦定理得，
AC 2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC
＝20－16cos ∠ADC，
而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，两式相加得AB2＋
AC 2＝40，
于是2AB·AC≤AB2＋AC 2＝40，当且仅当AB＝AC＝2时取等号．
在△ABC中，
cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值为．]
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8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
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9 [因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
由三角形的面积公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，
化简得ac＝a＋c，
又a>0，c>0，所以＝1，
则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当c＝2a＝3时取等号，
故4a＋c的最小值为9．]
题号
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9．(2024·辽宁沈阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b(b＋a)＝c2．
(1)求证：C＝2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值．
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[解] (1)证明：因为b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C，
得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C，
所以sin B＝sin A－2sin B cos C，
又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－
sin B cos C＝sin (C－B)，
又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命题得证．
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(2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B，
令t＝cos B－sin B＝sin ，
又因为△ABC为锐角三角形，所以
得到
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又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝，
所以t∈，
又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2，
所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以当t＝时，2sin C＋cos B－sin B取到最大值为．
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10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝．
(1)若∠ABC＝，求BC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值．
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[解] (1)连接BD．
因为AB＝AD＝20，∠BAD＝，
故△ABD为等边三角形，所以BD＝20，
所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝，
则∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝．
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(2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝，
所以BC＋CD≤，当且仅当BC＝CD＝时，等号成立．
因此，四边形ABCD周长的最大值为40＋．
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