【高考快车道】第二阶段 第11天 大题抢分练(一) 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略

(共22张PPT)
第二阶段　重点培优　定时训练
层级二　定时训练 突破提能
第11天　大题抢分练(一)
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解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)已知函数f (x)＝sin x＋2cos2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f (A)＝f (B)，且a≠b．
(1)求C的大小；
(2)若c＝5，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
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[解]　(1)由函数f (x)＝sinx＋2cos2＝sinx＋cos x＋1＝2sin ＋1，
f (A)＝f (B)，可得sin ＝sin ．
在△ABC中，因为A，B∈(0，π)，
所以A＋∈，B＋∈，
又因为a≠b，所以A≠B，
所以A＋＋B＋＝π，解得A＋B＝．
因为A＋B＋C＝π，所以C＝．
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(2)由(1)知C＝，因为△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝2，所以ab＝8，
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即25＝a2＋b2－2ab cos ，
整理得a2＋b2－ab＝25，
所以(a＋b)2－3ab＝25，
即(a＋b)2＝25＋3ab＝49，所以a＋b＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝12．
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2．(15分)某校高三年级1 000名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．
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(1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数；
(2)从这次数学成绩位于的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
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[解]　(1)由频率分布直方图可得(0.002 5＋0.007 5＋0.015×2＋2a)×20＝1，解得a＝0.005．
前四个矩形的面积之和为(0.002 5＋0.007 5＋2×0.015)×20＝0.8，
前五个矩形的面积之和为0.8＋0.005×20＝0.9，
设这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m，
则0.8＋×0.005＝0.85，解得m＝120，
因此，这1 000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120．
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(2)数学成绩位于的学生人数之比为0.007 5∶0.015＝1∶2，
所以所抽取的9人中，数学成绩位于的学生人数为9×＝3，
数学成绩位于的学生人数为9×＝6．
由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P＝＝，P＝＝，
P＝＝，P＝＝，
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所以随机变量X的分布列如表所示：
所以E＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
X 0 1 2 3
P
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3．(15分)已知椭圆C：＝1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．
(1)若线段AB的中点为(1，－1)，求直线AB的方程；
(2)若F恰好是△ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，求点P的坐标．
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[解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2．
由得＝，
即＝－．
∴kAB＝＝－＝．
∴直线AB的方程为y＋1＝(x－1)，即3x－4y－7＝0．
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(2)由椭圆方程知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)．
∵F恰好是△ABP的重心，
∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3．
∴|AF|＝＝＝
＝2－．
同理可得|BF|＝2－，|PF|＝2－．
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又|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，
∴2|PF|＝|AF|＋|BF|＝4－＝4－x3．
整理得x1＋x2＝2x3．
∴x1＋x2＋x3＝3x3＝3，解得x3＝1．
将x3＝1代入椭圆的方程得＝＝，解得y3＝±．
∴P点坐标为或．
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4．(17分)如图所示的空间几何体是以直线AD为轴的圆柱与以四边形ABCD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中AD为半圆柱的母线，点G为弧CD的中点，C，G，D，E四点共面．
(1)求证：平面BDF⊥平面BCG；
(2)当AB＝4，平面BDF与平面ABG夹角的
余弦值为时，求点E到直线BG的距离．
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[解]　(1)证明：过G作GH∥BC交弧AB于H，连接AH，BH，如图所示，
则H为弧AB的中点，则GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形HBCG为平行四边形，所以HB∥CG．
由题意可知，AF⊥AB，Rt△ABF为等腰直角三角形，则∠ABF＝．
因为H为弧AB的中点，所以AH⊥BH，AH＝BH，
则Rt△ABH为等腰直角三角形，则∠ABH＝，
所以∠FBH＝∠ABF＋∠ABH＝，则FB⊥BH，
因为HB∥GC，则FB⊥CG，又BC⊥BF，
BC，CG 平面BCG，BC∩CG＝C，
所以BF⊥平面BCG，因为BF 平面BDF，
所以平面BDF⊥平面BCG．
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(2)由题意知，AF，AB，AD两两垂直，所以以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
设AD＝a，又AB＝4，
则A，F，B，
D，G，
所以＝＝
＝＝＝．
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题号
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设平面BDF的法向量为n1＝，
则即令y1＝1，则n1＝
为平面BDF的一个法向量，
设平面ABG的法向量为n2＝，
则即令x2＝1，
则n2＝为平面ABG的一个法向量，
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设平面BDF与平面ABG的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，解得a＝4(负值舍去)，
所以G，B，E，
则＝＝，
点E到直线BG的距离d＝＝．
所以点E到直线BG的距离为．
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5．(17分)已知函数f (x)＝4(x－1)－2x ln x．
(1)若函数g(x)＝f (x)－m存在零点，求实数m的取值范围；
(2)求证：当n∈N*且n≥2时，＋…＋＜．
[解]　(1)函数g(x)＝f (x)－m存在零点，即函数f (x)的图象与直线y＝m有交点．
由题意得函数f (x)＝4(x－1)－2x ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝4－2(1＋ln x)＝－2ln x＋2．
令－2ln x＋2＝0，解得x＝e．
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当x∈(0，e)时，f ′(x)＞0，f (x)在(0，e)上单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)在(e，＋∞)上单调递减．
所以f (x)的最大值为f (e)＝4(e－1)－2eln e＝2e－4，且f (e2)＝－4＜0．
即当x→＋∞时，f (x)→－∞，
故m≤2e－4．
所以实数m的取值范围是(－∞，2e－4]．
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(2)证明：由于f (1)＝0，由(1)知f (x)在(0，e)上单调递增，
故当0＜x≤1时，f (x)≤f (1)＝0，即f (x)＝4x－4－2x ln x≤0，得2x－x ln x≤2．
令x＝(n∈N*)，则ln ≤2，所以ln n≤2，
所以ln n≤n2－1，所以≤n－1，当且仅当n＝1时等号成立．
因为n∈N*，所以当n≥2时，＋…＋＜1＋2＋3＋…＋(n－1)＝．
THANK YOU