【高考快车道】第二阶段 第13天 大题抢分练(三) 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略

(共19张PPT)
第二阶段　重点培优　定时训练
层级二　定时训练 突破提能
第13天　大题抢分练(三)
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解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)已知a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*)．
(1)求tan a1，tan a2，tan a3；
(2)证明：是等差数列，并求出tan2an；
(3)设bn＝，求的前n项和Sn．
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[解]　(1)a1＝，tan a1＝1，cos a1＝，tan a2＝，cos a2＝，tan a3＝．
(2)证明：tan2an＋1＝＝＝tan2an＋1，故是以1为首项，1为公差的等差数列，故tan2an＝n．
(3)因为bn＝＝＝，所以Sn＝－1．
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2．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，已知＝2S．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求b2＋c2的最大值．
[解]　(1)因为＝2S，所以bc cos A＝bc sin A，
可得tan A＝，因为02
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(2)由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ，即12＝b2＋c2－bc，
因为b2＋c2≥2bc，所以bc≤，
所以bc＝b2＋c2－12≤，可得b2＋c2≤24，
当且仅当b＝c＝2时，等号成立，所以b2＋c2的最大值为24．
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3．(15分)如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AB＝4，DD1＝3，∠BAD＝60°，点E为BC的中点，D1E⊥BC，D1E＝．
(1)证明：DD1⊥平面ABCD；
(2)若A1D1＝2，求平面A1C1E与平面
ABCD夹角的余弦值．
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[解]　(1)证明：连接DE，DB．
因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
所以△BDC是边长为4的正三角形，
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC，DE＝2，
又因为D1E⊥BC，D1E∩DE＝E，D1E，DE 平面D1DE，
所以BC⊥平面D1DE，又DD1 平面D1DE，所以BC⊥DD1．
又D1E＝，DD1＝3，DE＝2，
所以＋DE2＝D1E2，所以DD1⊥DE．
又因为DE∩BC＝E，DE，BC 平面ABCD，
所以DD1⊥平面ABCD．
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(2)因为直线DA，DE，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DE，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D，A，E，C(－2，2，0)，A1(2，0，3)，
所以＝＝＝(2，－2，3)．
设平面A1C1E的法向量为n＝，
则
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令x＝3，得y＝3，z＝4，所以n＝为平面A1C1E的一个法向量，
由题意知，m＝是平面ABCD的一个法向量，
设平面A1C1E与平面ABCD的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以平面A1C1E与平面ABCD夹角的余弦值为．
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4．(17分)甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题甲同学只能答对其中3道，从这5道题中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题答对得6分，答错得0分，两轮总得分不低于24分即可晋级决赛．
(1)求甲通过初试的概率；
(2)求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量X为甲的两轮总得分，求X的数学期望．
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[解]　(1)甲要通过初试，则需要答对2道或3道题，
所以甲通过初试的概率为＝．
(2)①若甲初试答对2道题，则甲晋级决赛，复试需要答对2题，
此时甲晋级决赛的概率为＝．
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②若甲初试答对3道题，则甲晋级决赛，复试需要答对1题或2题，
当复试答对1题时，甲晋级决赛的概率为＝，
当复试答对2题时，甲晋级决赛的概率为＝，
综上所述，甲晋级决赛的概率为＝．
在甲晋级决赛的情况下，随机变量X可取24，30，
P＝＝，P＝＝，
所以E＝24×＋30×＝．
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5．(17分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线交于位于y轴两侧的A，B两点，当|AF|＝4时，以AF为直径的圆与x轴相切于点D(，0)．
(1)求C的方程；
(2)若p＜3，过A，B两点作C的切线m，n相交于点P，直线m，n与直线y＝分别相交于点M，N，求△PMN面积的最小值．
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[解]　(1)设焦点F，A，不妨设A在y轴右侧，
以AF为直径的圆的圆心为E，
因为圆E与x轴相切于点D，
所以x3＝＝，y3＝，
所以|ED|＝＝2，
解得x1＝2，y1＝3，p＝2，或x1＝2，y1＝1，p＝6，
所以C的方程为x2＝4y或x2＝12y．
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(2)设B，因为直线l与抛物线交于位于y轴两侧的A，B两点，所以设直线AB的方程为y＝kx＋b，b＞0，
由 得x2－4kx－4b＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
则＝4．
由x2＝4y得y＝，所以y′＝x，
则直线m的方程为y－y1＝x1，
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整理得y＝①，
同理，直线n的方程为y＝②．
联立①②得xP＝，yP＝，
令y＝1，得M，N，
所以＝．
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因为点P到直线MN的距离为d＝1－，
所以S△PMN＝＝
＝≥2＋b．
设t＝，t∈(0，＋∞)，则令f (t)＝t3＋2t＋，
则f ′(t)＝3t2－＋2，令f ′(t)＝0，可得t＝，
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所以当0＜t<时，f ′(t)<0，f (t)单调递减；
当t>时，f ′(t)>0，f (t)单调递增，
故当t＝，即k＝0，b＝时，f 的最小值为f ＝．
即△PMN面积的最小值为．
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