【高考快车道】第二阶段 第15天 仿真模拟练 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略

(共52张PPT)
第二阶段　重点培优　定时训练
层级二　定时训练 突破提能
第15天　仿真模拟练
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝，B＝，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
题号
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√
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D　[由题意可得，A∩C＝，则∪B＝．故选D．]
2．已知等差数列的前n项和为Sn，a9＝5，则S17等于(　　)
A．80　 　 B．85　 　
C．90　 　 D．95
√
题号
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B　[由题意可得S17＝＝＝17×5＝85．故选B．]
3．已知双曲线C：＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．2或
√
题号
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A　[由双曲线方程＝1，令＝0，解得y＝±x，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝x，∴b＝1，又a＝，∴c＝＝2，∴e＝＝＝．故选A．]
题号
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4．已知复数z满足＝6，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为(　　)
A．线段 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
√
题号
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C　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为＝6，所以＝6＞4，则其几何意义为任意点(x，y)到点(－2，0)与到点(2，0)的距离和为6，根据椭圆的定义可知，复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆．故选C．]
题号
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5．若函数f ＝sin (0≤φ<π)在上单调递增，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． B．
√
题号
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B　[令2kπ－≤2x－φ≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
由于f (x)在上单调递增，
所以kπ－≤0即－kπ＋≤－kπ＋(k∈Z)，
因为0≤φ<π，所以当k＝0时，φ的最小值为．故选B．]
题号
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6．比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比．某地区进行调研考试，共10 000名学生参考，测试成绩(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为(　　)
附：若随机变量Z服从正态分布N，则P(<σ)≈0.68．
A．82 B．78
C．74 D．70
√
题号
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B　[根据题意得标准差为57.4×0.36＝20.664，所以测试结果(单位：分)近似服从正态分布N，
又因为84%＝0.5＋，且P(<σ)≈0.68，所以全体学生成绩的第84百分位数约为μ＋σ＝57.4＋20.664≈78．故选B．]
题号
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7．若α，β∈(0，π)，且＝sin ，则
(　　)
A．α＝β B．α＝2β　
C．α＋β＝ D．α＋β＝π
√
题号
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D　[由＝sin ，得＝sin ，
即＝(sin β－cos β)，整理得sin βcos α＝－cos βsin α，
即sin (α＋β)＝0，由α，β∈(0，π)，得α＋β∈(0，2π)，
所以α＋β＝π．故选D．]
题号
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8．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失)，则该正四面体外接球的体积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．9π
√
题号
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C　[设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为底面BCD的中心，E为CD的中点，F在BE上，
O为正四面体外接球的球心，则AF为四面体的高，O在AF上，
则BE＝a，BF＝a＝a，
则AF＝＝a，
题号
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即得V正四面体＝a2×a＝a3＝V正方体＝2，所以a3＝24．
设正四面体外接球的半径为R，
则OB2＝OF2＋BF2，即R2＝＋，即得R＝a，
故外接球体积V球＝＝＝×24＝3π．
故选C．]
题号
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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知a，b∈R，有一组样本数据为2＋a，3，6－b，7－a，8，10，11＋b，12，13，若在这组数据中插入一个数8，则(　　)
A．平均数不变 B．中位数不变　
C．方差不变 D．极差不变
√
题号
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√
AD　[对于A选项，原数据的平均数为8，插入一个数8，平均数不变，正确；
对于B选项，取a＝－2，b＝1，原数据的中位数为9，新数据的中位数为8.5，错误；
对于C选项，新数据的方差为s′2＝[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2＋(8－8)2]<[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2]＝s2，错误；
对于D选项，因为3<8<13，所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确．故选AD．]
题号
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10．已知向量a，b的夹角为，且＝1，＝2，则(　　)
A．⊥a
B．＝
C．＝
D．a在b上的投影向量为b
√
题号
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√
AB　[a·b＝cos ＝1×2×＝1，·a＝－a·b＝1－1＝0，故A正确；
＝＋＋2a·b＝1＋4＋2＝7，所以＝，故B正确；
＝4＋＋4a·b＝4＋4＋4＝12，所以＝2，
又因为＝4，所以≠，故C错误；
a在b上的投影向量为＝b，故D错误．故选AB．]
题号
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11．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与C交于A，B两点(点A在第一象限)，与C的准线交于点D，若|AF|＝4，则(　　)
A．p＝2 B．F为线段AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
√
题号
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√
√
ABC　[易知F，由题意可得直线l的方程为y＝．
由消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，
解得xA＝p，xB＝p．
由＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A正确；
∴＝xB＋＝，故D错误；
题号
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过点B作BN垂直准线于点N，易知∠DBN＝60°，
∴＝＝＝，
∴＝2，故C正确；
∵＝＝＝4，
∴F为线段AD的中点，故B正确．
故选ABC．]
题号
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况进行统计分析得到以下结果：若学生前一天不玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，则接下来一天也玩手机的概率为0.8． 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，他第二天玩手机的概率为________，第三天不玩手机的概率为________．
题号
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0.3
0.55
13．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第三象限，若≤3，则C的离心率的取值范围是
_______________．
题号
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　[如图所示，设＝n，＝m，因为点A在第一象限，所以n>m．
又因为A，B均在以线段F1F2为直径的圆上，
所以四边形AF1BF2为矩形，即＝．
因为≤3，所以n≤3m，即1<≤3．
因为m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
所以＝m2＋n2＋2mn＝4c2＋2mn＝4a2，即mn＝2a2－2c2．
题号
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因为＝＝，
设y＝，v＝∈，即y＝v＋，v∈．
因为y′＝1－＝>0，所以y＝v＋在区间上单调递增．
所以2当2<时，解得2c2>a2，即e2>，解得＜e＜1；
当时，解得8c2≤5a2，即e2≤，即0综上，题号
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14．已知函数f ＝和g＝b(b>0)有相同的最大值，则a＋的最小值为________．
题号
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e　[f ＝，f ′＝(x∈(0，＋∞))，
当a＝0时，f ＝0，最大值为0，
又g＝b＝b，所以当＝时，g＝，
e
由＝0得b＝0，与题设矛盾．
当a≠0时，令f ′＝0，得ln x＝1，即x＝e，
当x∈(0，e)时，1－ln x>0，当x∈(e，＋∞)时，1－ln x<0，
当a<0时，
当x∈(0，e)时，f ′<0，当x∈(e，＋∞)时，f ′>0，
∴f (x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴f (x)在x＝e处取到最小值，没有最大值，不符合题意；
题号
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当a>0时，
当x∈(0，e)时，f ′>0，当x∈(e，＋∞)时，f ′<0，
∴f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f (x)max＝f (e)＝．
∵f (x)与g(x)有相同的最大值，
∴＝，a＝，又∵a，b>0，
∴a＋＝≥2＝e，当且仅当＝，即b＝2时取等号．∴a＋的最小值为e．]
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若m＝，n＝，且m·n＝3b cos B．
(1)求cos B的值；
(2)若2a，b，c成等比数列，求的值．
题号
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[解]　(1)因为m＝，n＝，且m·n＝3b cos B，
所以a cos C＋c cos A＝3b cos B，
由正弦定理，可得
sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B，
所以sin ＝3sin B cos B，
即sin B＝3sin B cos B，
又B为三角形内角，所以sin B≠0，
所以cos B＝．
题号
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(2)因为2a，b，c成等比数列，所以b2＝2ac，
由正弦定理，可得sin2B＝2sinA sin C，
又cos B＝，B为三角形内角，所以sin B＝，
所以＝＝＝
＝＝＝＝．
题号
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16．(15分)已知函数f ＝．
(1)求曲线y＝f 在点处的切线方程；
(2)当x≥1时，f ≤a，求a的取值范围．
题号
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[解]　(1)由于f ＝0，则切点坐标为，
因为f ′(x)＝，所以切线斜率为f ′＝，
故切线方程为y－0＝(x－1)，即y＝x－．
(2)当x∈时，f ≤a等价于ln x≤a，
令g＝a－ln x，x∈，
ln x≤a恒成立，则g≥0恒成立，g′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，g′(x)＜0，函数g在上单调递减，g≤g＝0，不符合题意；
题号
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当01，
x∈时，g′(x)＜0，函数g单调递减，g≤g＝0，
不符合题意；
当a≥时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g′(x)≥0，
所以函数g在上单调递增，g≥g＝0，符合题意．
综上所述，a的取值范围为．
题号
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17．(15分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点是F，上顶点A是抛物线x2＝4y的焦点，直线AF的斜率为－．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(m≠1)与椭圆C交于P，Q两点，PQ的中点为M，当∠PMA＝2∠PQA时，证明：直线l过定点．
题号
1
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[解]　(1)由题意知A(0，1)，即b＝1，
∵F(c，0)，kAF＝－＝－，∴c＝2．
从而a2＝b2＋c2＝5，
故椭圆C的方程为＋y2＝1．
题号
1
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(2)证明：∵∠PMA＝∠MQA＋∠MAQ，
且∠PMA＝2∠PQA，
∴∠MQA＝∠MAQ，从而|MA|＝|MQ|＝|PQ|，
∴AP⊥AQ，
由 得x2＋10kmx＋5＝0，
Δ＝20(5k2－m2＋1)＞0，
题号
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设P，Q，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
则＝
＝x1x2＋
＝x1x2＋k(m－1)＋(m－1)2
＝＋(m－1)2＝＝＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)，所以直线l过定点．
题号
1
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18．(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2CD，三棱锥B-PCD的体积为，平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)求四棱锥P-ABCD的体积，并画出交线l；
(2)若AB＝2BC＝4，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD，
在l上是否存在点N，使平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由．
题号
1
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[解]　(1)记点P到平面ABCD的距离为h．
由VB-PCD＝VP-BCD＝·h·S△BCD＝，VP-ABCD＝·h·S四边形ABCD，
∵AB＝2CD，∴S△ADB＝2S△BCD，
∴S四边形ABCD＝3S△BCD，VP-ABCD＝3VP-BCD＝2．
延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，
则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM．
题号
1
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(2)取AD的中点E，连接PE，
∵PA＝PD，E是AD的中点，∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，VB-PCD＝VP-BCD＝·PE·S△BCD＝，S△BCD＝BC·CD＝2，解得PE＝．
题号
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以点B为坐标原点，以直线BA，BM分别为x，y轴，以过点B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．
则P，C，D，M(0，4，0)，∴＝＝＝(－3，3，－)，
设＝λ＝，则＝
＝
题号
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设平面PDC的法向量为m＝，
则即
令z1＝1，得m＝为平面PDC的一个法向量．
设平面DCN的法向量为n＝，
则即
令y2＝(1－λ)，可得n＝(0，(1－λ)，1－3λ)为平面DCN的一个法向量．
题号
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∵平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为，
∴＝＝＝，
整理得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3，
即在直线l上存在点N，使平面PDC与平面DCN夹角的余弦值为，此时＝或＝(－9，9，－3)，则PN＝＝或PN＝＝6．
题号
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19．(17分)甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为，当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
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(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率．
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5～25分之间选一个整数分数(含5分和25分)，且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为n的概率为P．
①证明：为等比数列．
②甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由．
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[解]　(1)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为P′(0)，P′(1)，P′(2)，
则P′(0)＝，P′(1)＝＝，P′(2)＝＝，
经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；
4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分，
所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率P＝＝．
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(2)①证明：记“累计积分之和为n＋2”为事件An＋2，“累计积分之和为n＋1”为事件An＋1，“累计积分之和为n”为事件An，
于是P(n＋2)＝P(An)P(An＋2|An)＋P(An＋1)·P(An＋2|An＋1)＝P(n)＋P(n＋1)，
则P(n＋2)－P(n＋1)＝－[P(n＋1)－P(n)]，
又P(1)＝，P(2)＝＝，P(2)－P(1)＝≠0，
所以是首项为，公比为－的等比数列．
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②由①得，当n≥2时，P(n)－P(n－1)＝＝，
累加得P(n)－P(1)＝＋＋…＋＝，
因此P(n)＝，当n≥5，n为奇数时，P(n)＝单调递增，且P(n)<，
当n≥5且n为偶数时，P＝单调递减，且P>，
则当n＝6时，P(n)最大，所以甲选择6分对自己最有利．
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THANK YOU