【高考快车道】第三阶段 回归5 立体几何与空间向量 课件--2026版高考数学二轮专题复习与策略

(共21张PPT)
第三阶段　回归教材　追根溯源
回归5　立体几何与空间向量
[盲点19]　易混淆几何体的表面积与侧面积，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数．
案例19　(1) (教材人教A版改编)已知圆锥的侧面积为12π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为(　　)
A．6π B．　
C．6π D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 ________．
√
(1)B　(2)　[(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意可得
解得l＝3r＝6，
则圆锥的高h＝＝4，
所以此圆锥的体积为h×πr2＝．故选B．
(2)如图，设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面中心分别为M，N，
过A1作A1H⊥AC，垂足为点H，
由题意易知A1M＝HN＝，又AN＝，
∴AH＝AN－HN＝，又AA1＝，∴A1H＝MN＝，∴该四棱台的体积为×(1＋4＋)×＝．]
[盲点20]　不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m α的限制条件．
案例20　(教材人教A版改编)(1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中，正确命题的序号是________．
①若m α，n β，m⊥n，则α⊥β；②若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β．
②
(2)如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面BAC⊥平面DAC，则二面角B-CD-A的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(多选)(教材人教A版改编)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝4，AB＝3，BC＝4，则下列说法正确的是
(　　)
A．此三棱锥的四个面均为直角三角形
B．此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面
C．此三棱锥内切球的半径为
D．此三棱锥外接球的半径为
√
√
(1)②　(2)C　(3)AC　[(1)对于①，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面A1B1C1D1分别为α，β，
直线AB，B1C1分别为直线m，n，显然有m α，n β，m⊥n，而α∥β，①错误；
对于②，因为n∥β，α∥β，当n α时，由m⊥α，得m⊥n，
当n不在平面α内时，则存在过直线n的平面与β，α都相交，令交线分别为l，l′，
则有n∥l∥l′，而m⊥α，l′ α，于是m⊥l′，因此m⊥n，②正确；
对于③，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面DCC1D1分别为α，β，
直线BB1，AB分别为直线m，n，满足α⊥β，m⊥α，n∥β，而m⊥n，③错误；
对于④，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD、平面DCC1D1分别为α，β，
直线CD，DD1分别为直线m，n，满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，而n β，④错误．
所以正确命题的序号是②．
(2)设正方形的边长为a，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，过O作AD的平行线OE交CD于E，连接BE，如图所示．
因为平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO 平面BAC，
则BO⊥平面DAC，而CD 平面DAC，于是BO⊥CD，又OE⊥CD，BO∩OE＝O，BO，OE 平面BOE，则CD⊥平面BOE，
而BE 平面BOE，即有CD⊥BE，
因此∠BEO为二面角B-CD-A的平面角，显然BO＝a，OE＝，
因为BO⊥OE，所以△BOE为直角三角形，由BE2＝BO2＋OE2＝a2，
得BE＝a，所以cos ∠BEO＝＝＝．故选C．
(3)对于A，因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，因为AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，所以易知此三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确；
对于B，因为PA⊥平面ABC，PA 平面PAB，PA 平面PAC，所以平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
因为BC⊥平面PAB，BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，
此三棱锥的四个面中有三对相互垂直的面，故B不正确；
对于C，设内切球的半径为r，则此三棱锥的体积V＝S△ABC·PA＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PAC)r，
可得r＝＝＝，故C正确；
对于D，设外接球的半径为R，取PC的中点O，
由直角三角形的性质知，OA＝OB＝OC＝OP＝R，
所以点O为此三棱锥外接球的球心，
所以2R＝PC＝＝
＝＝，所以外接球的半径为，D错误．故选AC．]
[盲点21]　用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．
案例21　(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．点B到直线A1C1的距离为
B．直线CF到平面AEC1的距离为
C．直线A1C1与平面AEC1所成角的余弦值为
D．直线A1C1与直线B1F所成角的余弦值为
√
√
√
ABD　[由题意，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
则B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0)，
则点B到直线A1C1的距离为
d＝||·
＝2＝，故A正确；
A(2，0，0)，F(2，1，0)，E(2，1，2)，C(0，2，0)，
＝(2，－1，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，2)，＝(0，1，0)，设平面AEC1的法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，2，－1)为平面AEC1的一个法向量，
由于E，F分别为A1B1，AB的中点，
所以EF∥CC1 且EF＝CC1，
因此四边形FCC1E为平行四边形，故EC1∥CF，
又CF 平面AEC1，EC1 平面AEC1，
所以CF∥平面AEC1，
所以直线CF到平面AEC1的距离为d＝＝＝，故B正确；
设直线A1C1与平面AEC1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故C错误；
B1(2，2，2)，＝(0，－1，－2)，
设直线A1C1与直线B1F所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，故D正确．故选ABD．]
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