专题限时集训(十二)
1．D [令该圆圆心为，半径为r，则该圆的方程为＋y2＝r2，
则有解得
故该圆的方程为＋y2＝10．故选D．]
2．D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0化为标准方程为x2＋＝a2，所以圆心M，半径为a．
由点到直线的距离公式得＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N，半径为1，
所以＝＝＝．
由<，可得两圆内含．故选D．]
3．C [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，
设P(1，－2)．
圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
4．B [如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M．
因为A，B，所以圆M的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25．
依题意知圆M与圆C至少有一个公共点．
因为C(5，－2)，M(－3，4)，所以|CM|＝＝10．
由≤5＋r，解得5≤r≤15．
故选B．]
5．B [圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，设圆心为C，半径为r，则C(2，0)，r＝．
设P(0，－2)，切线为PA，PB，则|PC|＝＝2，
在△PAC中，sin ＝＝，所以cos ＝＝，
所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．
故选B．]
6．BCD [x2＋y2－6x－8y＋17＝0 (x－3)2＋(y－4)2＝8，圆C是以C(3，4)为圆心，2为半径的圆．
对于A，当动点P移动到圆C的最低点M时，△PAB的面积最小，yM＝4－2，
Smin＝·|AB|·yM＝×2×(4－2)＝4－2，故选项A错误；
对于B，连接AC交圆于R点，当点P移动到R点时，|AP|取得最小值，为|AC|－|RC|＝－2＝2，故选项B正确；
对于C，当AP移动到与圆C相切时，∠PAB取得最大值，设切点为Q，
sin ∠CAQ＝＝＝，∴∠CAQ＝，
tan ∠CAN＝＝＝1，∴∠CAN＝，
∴∠PAB＝∠CAQ＋∠CAN＝，故选项C正确；
对于D，＝||·||·cos ∠PAB，当点P移动到S点时，||·cos ∠PAB取得最大值，即在上的投影向量的长度，可知为在上的投影向量，所以()max＝＝2×(1＋3＋2)＝8＋4，故选项D正确．故选BCD．]
7．y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可) [因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，
故可设切线方程为y＝x＋b．
因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线y＝x＋b的距离为＝，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2．]
8．＋＝2 [依题意，设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y＋3＝0，
则其标准方程为＋＝2．]
9．(教材改编)已知A，B，C，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足＋＋＝13，则实数r的取值范围是________．
[设P，将坐标代入式子＋＋＝13，可得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，
即＋＝1，则点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
依题意，两圆有公共点，则≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1．]
1/1专题限时集训(十二) 直线与圆
一、单项选择题
1．(2024·辽宁大连一模)过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．＋y2＝8
C．＋y2＝5 D．＋y2＝10
2．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：＋＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
3．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
4．(2024·浙江嘉兴二模)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A，B，若圆C上存在点P，使得PA⊥PB，则r的取值范围为( )
A．
C．
5．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． C． D．
二、多项选择题
6．已知点A(－1，0)，B(1，0)，点P为圆C：x2＋y2－6x－8y＋17＝0上的动点，则( )
A．△PAB面积的最小值为8－4
B．|AP|的最小值为2
C．∠PAB的最大值为
D．的最大值为8＋4
三、填空题
7．(2024·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程：________．
8．(2024·广东佛山二模)在平面直角坐标系中，已知A，B，C，则△ABC的外接圆的标准方程为________．
9．(教材改编)已知A，B，C，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足＋＋＝13，则实数r的取值范围是________．
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