专题限时集训(十一) 统计与成对数据的统计分析
一、单项选择题
1．(2024·四川成都二模)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i∈N*)，得散点图如图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i∈N*)，得散点图如图2．r1表示变量x，y之间的样本相关系数，r2表示变量u，v之间的样本相关系数，则下列说法正确的是( )
A．变量x与y呈现正相关，且<
B．变量x与y呈现负相关，且>
C．变量x与y呈现正相关，且>
D．变量x与y呈现负相关，且<
2．(2024·安徽蚌埠模拟)为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，某市物价部门对某商品在5家商场的售价x(元)及其一天的销售量y(件)进行调查，得到五对数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，经过分析、计算，得＝10＝8，y关于x的经验回归方程为＝－3x＋，则对于数据(9，10)的残差为( )
A．－1 B．1 C．－3 D．3
3．样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝4，方差s2＝1，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数，方差分别为( )
A．9，4 B．9，2
C．4，1 D．2，1
4．(2024·辽宁葫芦岛二模)某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层随机抽样的方法，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1．根据调查数据，估计该地区中学生每天睡眠时间的总体方差为( )
A．1.3 B．1.5
C．1.7 D．1.9
5．(2024·陕西西安模拟)某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生的成绩整理得到如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图(分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组)，下列结论中不正确的是( )
A．图中的a＝0.012
B．若从成绩在[70，80)，[80，90)内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，则成绩在[80，90)内的抽取3人
C．这100名学生成绩的中位数约为65
D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2
6．(2024·内蒙古锡林郭勒盟模拟)为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是( )
A．2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B．2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C．2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
二、多项选择题
7．(2024·福建莆田模拟)已知一组正实数样本数据xi(i＝1，2，3，…，10)，满足x1≤x2≤x3≤…≤x10，则( )
A．样本数据的第80百分位数为x8
B．去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变
C．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
D．将样本数据中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据的方差是原样本数据方差的2倍
8．(2024·河南洛阳模拟)某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b＝12a，则( )
单位：人
饮酒情况 疾病A 合计
患疾病A 不患疾病A
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：χ2＝
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A．任意一人不患疾病A的概率为0.9
B．任意一人不过量饮酒的概率为
C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
三、填空题
9．(2024·广东深圳模拟)某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数是________．
10．(2024·广东广州一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与脉搏率f (单位：心跳次数/分钟)的对应数据(Wi，f i)(i＝1，2，…，8)，根据生物学常识和散点图得出f 与W近似满足f ＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln f i，计算得＝8＝5，＝214．由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i(i＝1，2，…，8)，若残差平方和≈0.28，则决定系数R2≈________．
四、解答题
11．(2024·山东烟台二模)ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数；
(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民．
①完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析年龄与喜欢该程序是否有关联？
单位：人
喜欢情况 年龄 合计
青年 非青年
喜欢 20
不喜欢 60
合计 200
②按照等比例分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率．
参考公式：χ2＝其中n＝a＋b＋c＋d．
参考数据：
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
12．(2024·浙江台州二模)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示，令vi＝ln xi(i＝1，2，…，5)，数据经过初步处理，得如下统计表．
现有①y＝bx＋a和②y＝n ln x＋m两种作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数．
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6百万元时，产品的年销售量是多少？
(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费)．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N(600，σ2)，且满足P(ξ>800)＝0.3．在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1 000百万元的概率．(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量)
附：①样本相关系数
经验回归直线＝＋x中
②参考数据：＝8.06≈20.1，ln 5≈1.6，ln 6≈1.8．
1/1专题限时集训(十一)
1．C [由题意可知，变量x，y的散点图中，y随x的增大而增大，所以变量x与y呈现正相关；
再分别观察两个散点图，图1比图2的点更加集中，相关程度更高，所以>．故选C．]
2．A [因为经验回归直线过样本点中心()，即(10，8)，将其代入＝－3x＋，可得8＝－3×10＋，
解得＝38，当x＝9时，＝－3×9＋38＝11，所以残差为10－11＝－1．故选A．]
3．A [由＝4，得样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×4＋1＝9，
由s2＝1，得样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的方差为4s2＝4．故选A．]
4．D [该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：×8＋×7＝(小时)，
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：＝≈1.9．
故选D．]
5．C [由(0.008×2＋a＋0.020×2＋0.032)×10＝1，得a＝0.012，所以A正确；
这100名学生中成绩在[70，80)，[80，90)内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层随机抽样的方法抽取的10名学生中成绩在[80，90)内的有10×＝3(人)，故B正确；
根据频率分布直方图，因为0.08＋0.2＝0.28＜0.5，0.08＋0.2＋0.32＝0.6＞0.5，所以这100名学生成绩的中位数在[60，70)之间，设中位数为x，则(x－60)×0.032＝0.22，所以x＝66.875，故C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2，D正确．故选C．]
6．C [设2022年总收入为m，则2023年总收入为2m，
对于A，2022年种植收入为0.4m，2023年种植收入为0.2×2m＝0.4m，A正确；
对于B，2023年养殖收入和第三产业收入之和为0.35×2m＋0.2×2m＝1.1m，B正确；
对于C，2022年外出务工收入为0.15m，2023年外出务工收入为0.05×2m＝0.1m，是2022年外出务工收入的C不正确；
对于D，2022年其他收入为0.15m，2023年其他收入为0.2×2m＝0.4m，
由于0.4m>2×0.15m，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多，D正确．
故选C．]
7．BC [对于A，由10×80%＝8，所以样本数据的第80百分位数为故A错误；
对于B，由题意存在这样一种可能，若x1＝x2≤x3≤…≤x10，
则极差为x10－x1＝x10－x2，此时样本数据的极差不变，故B正确；
对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图．
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，
此时平均数大于中位数，故C正确；
对于D，s′2＝4s2，故D错误．故选BC．]
8．ACD [由已知得4a＋3b＝400，又b＝12a，所以a＝10，b＝120．
任意一人不患疾病A的概率为＝0.9，所以A正确；
任意一人不过量饮酒的概率为＝所以B错误；
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为＝所以C正确；
对于D，2×2列联表如下：
单位：人
饮酒情况 疾病A 合计
患疾病A 不患疾病A
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
零假设为H0：过量饮酒与患疾病A无关．
由列联表数据得χ2＝＝≈26.67，由于26.67>10.828＝x0.001，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确．故选ACD．]
9．97 [将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，因为7×75%＝5.25，所以这7人成绩的上四分位数是97．]
10．－0.3 0.98 [因为f ＝cWk，两边取对数可得ln f ＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln f i，
且经验回归方程＝x＋7.4必过样本点中心()，
所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3，
≈1－＝0.98．]
11．解：(1)由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为10×(0.010＋0.025＋0.030)＝0.65，
年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65＋10×0.020＝0.85，所以75%分位数位于[40，50)内，
由40＋10×＝45，
所以样本数据的75%分位数为45．
(2)①由题知，2×2列联表如下：
单位：人
喜欢情况 年龄 合计
青年 非青年
喜欢 90 20 110
不喜欢 60 30 90
合计 150 50 200
零假设为H0：年龄与是否喜欢该程序无关联．
根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈6.061>3.841＝x0.05．
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为年龄与是否喜欢该程序有关联．
②按照分层随机抽样，青年居民应抽取8×＝6(人)，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X，
P(X＝3)＝＝P(X＝4)＝＝
所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝
所以这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
12．解：(1)设模型①和②的样本相关系数分别为r1，r2．
由题意可得
≈≈0.97，
＝＝＝1．
所以<由样本相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好．
(2)因为＝＝5，
得m＝＝8.8－0.96×5＝4，
所以y＝5v＋4，即非线性经验回归方程为＝5ln x＋4．
当x＝6时，＝5ln 6＋4≈13，因此当年广告费为6百万元时，产品的年销售量大约是13百万辆．
(3)年净利润为200×(5ln x＋4)－200x－ξ(x>0)，令g(x)＝200×(5ln x＋4)－200x－ξ，
所以g′(x)＝－200．
可得g(x)在(0，5)上单调递增，在(5，＋∞)上单调递减．
所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln 5＋4－5)－ξ≈1 400－ξ，由题意得：1 400－ξ>1 000，即ξ<400，
P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3，
即该公司年净利润的最大值大于1 000百万元的概率为0.3．
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