专题限时集训(十三)
1．C [由题意可知，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设P，x0≥0，则x0＋2＝4，解得x0＝2，
所以＝x0＋1＝3．故选C．]
2．C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝＝2．
故选C．]
3．D [由题意可知，点F的坐标为(2，0)，
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
又F为△ABC的重心，则＝2，即x1＋x2＋x3＝6，
由抛物线方程可得2p＝8 p＝4，
所以由抛物线的定义可知＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝6＋p＝12．
故选D．]
4．D [法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝＝
＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＝1，所以＝≤1，
所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，连接MN(如图)．
则＝＝＝－9＝－9
＝－9＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＝1，所以＝≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16．故选D．]
5．C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝．
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
6．ABD [因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以＝，
①若A在圆M内部，且不为圆心，则<4，＝＝4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确；
②若A在圆M外部，则＝＝＝4，|MA|>4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确；
③若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q点的轨迹为点M．
若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．
故选ABD．]
7．AC [对于A，∵＝1表示双曲线，
∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距为2c＝6，故C正确；
对于D，离心率e＝，∵－6<λ<3，∴0<<3，∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误．
故选AC．]
8．ABC [由题意，设lMP：y＝kx＋m，
联立得k2x2＋x＋m2＝0．
因为直线MP与抛物线相切，
所以Δ＝－4k2m2＝0，即km＝1，
所以xP＝m2，故P．
设Q，则由几何性质可知O，Q两点关于直线lMF：y＝－mx＋m对称，则
解得
故Q．
对于A，＝＝＝，显然MP∥OQ，故A正确；
对于B，＝＝0，即MP⊥MF，故B正确；
对于C，＝＝(m2－1，2m)＝(m2＋1)·，
所以P，Q，F三点共线，故C正确；
对于D，由几何性质易知M，O，F，Q四点共圆，且直径为MF，OQ为该圆的一条弦，点Q随M而动，OQ不一定为直径，故D错误．故选ABC．]
9．x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，且圆N：x2＋＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
10． [由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
1/1专题限时集训(十三) 圆锥曲线的定义、方程及性质
一、单项选择题
1．(2024·山东济南二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，该抛物线上一点P到直线x＝－2的距离为4，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
3．(2024·云南昆明模拟预测)设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则的值为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
4．已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为( )
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
5．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
二、多项选择题
6．已知定圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
7．(2024·河北邯郸三模)已知双曲线C：＝1，则( )
A．λ的取值范围是(－6，3)
B．C的焦点可以在x轴上也可以在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为(1，3)
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M分别向抛物线C与圆F：(x－1)2＋y2＝1作切线，切点分别为P，Q(P，Q不同于坐标原点O)，则下列判断正确的是( )
A．MP∥OQ
B．MP⊥MF
C．P，Q，F三点共线
D．＝
三、填空题
9．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
10．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
1/1
