专题限时集训(十四)
1．解：(1)由题意知c＝，所以a2＝b2＋3．
将点Q代入＝1，解得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
设点P，则＝＝x2－3＋y2＝x2－2．
又因为x∈，所以的取值范围是．
(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋，M，N．
联立得y2＋my－＝0，Δ＞0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以S△F1MN＝×2
＝＝4，
又因为＝＝，
当且仅当m＝±时等号成立．
所以S△F1MN≤4＝2．
又因为三角形内切圆半径r满足r＝＝＝．
所以△F1MN的内切圆面积的最大值为．
2．解：(1)由题设可知
解得则双曲线C的方程为－y2＝1．
(2)设点M的横坐标为xM>0，
当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为2．
当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A，B，联立 整理得x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
联立整理得x2＋8kmx＋4m2＝0，Δ＞0，
则x1＋x2＝－＝－＝－，
则xM＝＝－>0，即km<0，
则＝＝4＋>4，即xM>2，
此时点M到y轴的距离大于2．
综上所述，点M到y轴的最小距离为2．
1/1专题限时集训(十四) 圆锥曲线中的最值、范围问题
1．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点Q在C上．
(1)P是C上一动点，求的取值范围；
(2)过C的右焦点F2，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值．
2．(2024·江苏盐城三模)已知双曲线C：＝1过点，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
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